ผลรวมทั่วไปของตัวแปรสุ่มแกมมา

35

ฉันได้อ่านแล้วว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มแกมมาที่มีพารามิเตอร์ระดับเดียวกันเป็นตัวแปรสุ่มแกมมาอีกตัว ฉันยังได้เห็นกระดาษโดยMoschopoulosอธิบายวิธีการรวมของชุดสุ่มของตัวแปรสุ่มแกมมา ฉันได้ลองใช้วิธีการของ Moschopoulosแต่ยังไม่ประสบความสำเร็จ

การสรุปชุดตัวแปรสุ่มแบบทั่วไปของแกมมามีลักษณะอย่างไร ในการทำให้คำถามนี้เป็นรูปธรรมสิ่งที่ดูเหมือนจะเป็น:

$\text{Gamma}(3,1) + \text{Gamma}(4,2) + \text{Gamma}(5,1)$

หากพารามิเตอร์ด้านบนไม่แสดงเป็นพิเศษโปรดแนะนำผู้อื่น

— OSE
แหล่งที่มา

4

วิธีการแก้ปัญหาที่ชัดเจนสำหรับผลรวมของการใด ๆสองแจกแจงแกมมาได้รับการโพสต์ที่stats.stackexchange.com/a/252192

— whuber

ตัวอย่างที่พิเศษนี้ที่ทุกแจกแจงแกมมามีรูปร่าง 1 พารามิเตอร์ (นั่นคือพวกเขาจะชี้แจง) ที่เรียกว่าการกระจาย hypoexponential (ครอบครัว) สำหรับกรณีของเพียงสองแจกแจงชี้แจงนอกจากนี้ยังมีสูตรอย่างชัดเจนให้ที่stats.stackexchange.com/questions/412849

— whuber

37

ก่อนอื่นรวมผลรวมใด ๆ ที่มีสเกลแฟกเตอร์เดียวกัน : aบวก aรูปแบบที่หลากหลายผันแปร $\Gamma(n, \beta)$ $\Gamma(m,\beta)$ $\Gamma(n+m,\beta)$

ถัดไปให้สังเกตว่าฟังก์ชันคุณลักษณะ (cf) ของคือดังนั้น cf ของผลรวมของการแจกแจงเหล่านี้คือผลิตภัณฑ์ $\Gamma(n, \beta)$ $(1-i \beta t)^{-n}$

\prod_{j} \frac{1}{(1 - i β_{j} t)^{n_{j}}} .

$\prod_{j} \frac{1}{(1-i \beta_j t)^{n_j}}.$

เมื่อมีทั้งหมดหนึ่ง, ผลิตภัณฑ์นี้ขยายเป็นส่วนบางส่วนเป็นเส้นตรงกันของที่เป็นจำนวนเต็มระหว่างและn_jในตัวอย่างที่มี (จากผลรวมของและ ) และเราพบ $n_j$ $(1-i \beta_j t)^{-\nu}$ $\nu$ $1$ $n_j$ $\beta_1 = 1, n_1=8$ $\Gamma(3,1)$ $\Gamma(5,1)$ $\beta_2 = 2, n_2=4$

\frac{1}{(1 - i t)^{8}} \frac{1}{(1 - 2 i t)^{4}} = \frac{1}{(x + i)^{8}} - \frac{8 i}{(x + i)^{7}} - \frac{40}{(x + i)^{6}} + \frac{160 i}{(x + i)^{5}} + \frac{560}{(x + i)^{4}} - \frac{1792 i}{(x + i)^{3}} - \frac{5376}{(x + i)^{2}} + \frac{15360 i}{x + i} + \frac{256}{(2 x + i)^{4}} + \frac{2048 i}{(2 x + i)^{3}} - \frac{9216}{(2 x + i)^{2}} - \frac{30720 i}{2 x + i} .

$\frac{1}{(1-i t)^{8}}\frac{1}{(1- 2i t)^{4}} = \\ \frac{1}{(x+i)^8}-\frac{8 i}{(x+i)^7}-\frac{40}{(x+i)^6}+\frac{160 i}{(x+i)^5}+\frac{560}{(x+i)^4}-\frac{1792 i}{(x+i)^3}\\-\frac{5376}{(x+i)^2}+\frac{15360 i}{x+i}+\frac{256}{(2 x+i)^4}+\frac{2048 i}{(2 x+i)^3}-\frac{9216}{(2 x+i)^2}-\frac{30720 i}{2 x+i}.$

สิ่งที่ตรงกันข้ามกับการรับ cf คือการแปลงฟูริเยร์ผกผันซึ่งเป็นเส้นตรง : นั่นหมายความว่าเราอาจใช้เทอมตามคำศัพท์ แต่ละคำเป็นที่จดจำได้เป็นหลาย CF ของการแจกแจงแกมมาและเพื่อให้เป็นที่พร้อมกลับให้ผลผลิตไฟล์ PDF ในตัวอย่างที่เราได้รับ

\frac{e^{- t} t^{7}}{5040} + \frac{1}{90} e^{- t} t^{6} + \frac{1}{3} e^{- t} t^{5} + \frac{20}{3} e^{- t} t^{4} + \frac{8}{3} e^{- \frac{t}{2}} t^{3} + \frac{280}{3} e^{- t} t^{3} - 128 e^{- \frac{t}{2}} t^{2} + 896 e^{- t} t^{2} + 2304 e^{- \frac{t}{2}} t + 5376 e^{- t} t - 15360 e^{- \frac{t}{2}} + 15360 e^{- t}

$\frac{e^{-t} t^7}{5040}+\frac{1}{90} e^{-t} t^6+\frac{1}{3} e^{-t} t^5+\frac{20}{3} e^{-t} t^4+\frac{8}{3} e^{-\frac{t}{2}} t^3+\frac{280}{3} e^{-t} t^3\\ -128 e^{-\frac{t}{2}} t^2+896 e^{-t} t^2+2304 e^{-\frac{t}{2}} t+5376 e^{-t} t-15360 e^{-\frac{t}{2}}+15360 e^{-t}$

สำหรับ PDF ของผลรวม

นี่เป็นส่วนผสมที่แน่นอนของการแจกแจงแกมมาที่มีสเกลแฟคเตอร์เท่ากับค่าที่อยู่ในผลรวมและปัจจัยรูปร่างน้อยกว่าหรือเท่ากับค่ารวมภายในผลรวม ยกเว้นในกรณีพิเศษ (ซึ่งอาจมีการยกเลิกบางอย่าง) จำนวนคำที่กำหนดโดยพารามิเตอร์รูปร่างรวม (สมมติว่าทั้งหมดแตกต่างกัน) $n_1 + n_2 + \cdots$ $n_j$

ในการทดสอบนี่คือฮิสโตแกรมของผลลัพธ์ได้จากการเพิ่มการจับฉลากอิสระจากและการแจกแจง เมื่อมันถูกซ้อนทับกราฟของครั้งฟังก์ชั่นก่อนหน้า พอดีเป็นสิ่งที่ดีมาก $10^4$ $\Gamma(8,1)$ $\Gamma(4,2)$ $10^4$

รูป

Moschopoulos นำความคิดนี้ไปอีกขั้นหนึ่งโดยการขยาย cf ของผลรวมเป็นฟังก์ชันอนันต์อนุกรมของฟังก์ชันแกมมาเมื่อใดก็ตามที่หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นไม่อินทิกรัล $n_i$

— whuber
แหล่งที่มา

2

ความคิดเห็นเล็กน้อย: โดยทั่วไปการ จำกัด แน่นอนหมายถึง pdf ของรูปแบบโดยที่และนั่นคือคือ ความน่าจะเป็นและรูปแบบไฟล์ PDF สามารถตีความเป็น (กฎของความน่าจะรวม) น้ำหนักรวมของเงื่อนไขไฟล์ PDF ที่กำหนดเงื่อนไขต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นกับความน่าจะเป็นÄ_iอย่างไรก็ตามในผลรวมข้างต้นสัมประสิทธิ์บางตัวเป็นค่าลบดังนั้นจึงไม่สามารถใช้การตีความมาตรฐานของส่วนผสมได้

f (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} f_{i} (x)

$f(x) = \sum_{i=1}^n a_i f_i(x)$

a_{i} > 0

$a_i > 0$

\sum_{i} a_{i} = 1

$\sum_i a_i = 1$

a_{i}

$a_i$

a_{i}

$a_i$

— Dilip Sarwate

@Dilip นั่นเป็นจุดที่ดี สิ่งที่ทำให้กรณีนี้น่าสนใจคือแม้ว่าค่าสัมประสิทธิ์บางอย่างอาจเป็นค่าลบ แต่ชุดค่าผสมนี้ยังคงมีการแจกแจงที่ถูกต้อง

— whuber

วิธีการนี้สามารถขยายไปยังบัญชีเพื่อเพิ่มตัวแปรตามหรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันต้องการเพิ่มการแจกแจง 6 รายการโดยแต่ละรายการมีความสัมพันธ์กับผู้อื่น

— masher

11

ฉันจะแสดงวิธีแก้ปัญหาอื่นที่เป็นไปได้ซึ่งค่อนข้างใช้งานได้อย่างกว้างขวางและด้วยซอฟต์แวร์ R ในปัจจุบันค่อนข้างง่าย นั่นคือการประมาณความหนาแน่นของอานม้าซึ่งเป็นที่รู้กันดีว่ากว้างกว่า!

สำหรับคำศัพท์เกี่ยวกับการแจกแจงแกมม่าฉันจะติดตามhttps://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution ด้วยการกำหนดรูปร่าง / มาตราส่วนพาราเมตริกคือเป็นพารามิเตอร์รูปร่างและคือสเกล สำหรับการประมาณ saddlepoint ฉันจะติดตาม Ronald W Butler: "การประมาณ Saddlepoint กับแอปพลิเคชัน" (Cambridge UP) การประมาณ saddlepoint อธิบายไว้ที่นี่: การประมาณ saddlepoint ทำงานอย่างไร ที่นี่ฉันจะแสดงวิธีการใช้งานในแอปพลิเคชันนี้ $k$ $\theta$

ให้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ที่มีอยู่ ซึ่งต้องมีอยู่สำหรับในช่วงเวลาเปิดที่มีศูนย์ จากนั้นกำหนดฟังก์ชั่นการสร้าง cumulant โดย เป็นที่รู้จักกันว่า'(0) สมการ saddlepoint คือซึ่งปริยายกำหนดเป็นฟังก์ชันของ (ซึ่งต้องอยู่ในช่วง ) เราเขียนนี้ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ implicitely เป็น (x) โปรดทราบว่าสมการ saddlepoint จะมีทางออกเดียวเสมอเพราะฟังก์ชั่น cumulant เป็นแบบนูน $X$

M (s) = E e^{s X}

$M(s) = E e^{sX}$

s

$s$

K (s) = \log M (s)

$K(s) = \log M(s)$

E X = K^{'} (0), Var (X) = K^{″} (0)

$E X = K'(0), \text{Var} (X) = K''(0)$

K^{'} (\hat{s}) = x

$K'(\hat{s}) = x$

s

$s$

x

$x$

X

$X$

\hat{s} (x)

$\hat{s}(x)$

จากนั้นประมาณ saddlepoint ความหนาแน่นของจะได้รับจาก ฟังก์ชันความหนาแน่นโดยประมาณนี้ไม่รับประกันว่าจะรวมเข้ากับ 1 ดังนั้นการประมาณ saddlepoint ที่ผิดปกติ เราสามารถรวมเข้าด้วยกันเป็นตัวเลขและการทำให้เป็นปกติเพื่อให้ได้การประมาณที่ดีขึ้น แต่การประมาณนี้รับประกันว่าจะไม่เป็นลบ $f$ $X$

\hat{f} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π K^{″} (\hat{s})}} \exp (K (\hat{s}) - \hat{s} x)

$\hat{f}(x) = \frac1{\sqrt{2\pi K''(\hat{s})}} \exp(K(\hat{s}) - \hat{s} x)$

ตอนนี้ขอเป็นแกมมาตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการจัดจำหน่ายที่มีพารามิเตอร์theta_i) จากนั้นฟังก์ชั่นการสร้าง cumulant คือ กำหนดไว้สำหรับtheta_n) อนุพันธ์อันดับแรกคือ และอนุพันธ์อันดับที่สองคือ ในต่อไปนี้ฉันจะให้โค้ดที่ใช้ในการคำนวณสิ่งนี้และจะใช้ค่าพารามิเตอร์ , , $X_1, X_2, \dots, X_n$ $X_i$ $(k_i, \theta_i)$

K (s) = - \sum_{i = 1}^{n} k_{i} \ln (1 - θ_{i} s)

$K(s) = -\sum_{i=1}^n k_i \ln(1-\theta_i s)$

s < 1 / max (θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n})

$s<1/\max(\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n)$

K^{'} (s) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{k_{i} θ_{i}}{1 - θ_{i} s}

$K'(s) = \sum_{i=1}^n \frac{k_i \theta_i}{1-\theta_i s}$

K^{″} (s) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{k_{i} θ_{i}^{2}}{(1 - θ_{i} s)^{2}} .

$K''(s) = \sum_{i=1}^n \frac{k_i \theta_i^2}{(1-\theta_i s)^2}.$ R

n = 3

$n=3$

k = (1, 2, 3)

$k=(1,2,3)$

θ = (1, 2, 3)

$\theta=(1,2,3)$ . โปรดทราบว่าRรหัสต่อไปนี้ใช้อาร์กิวเมนต์ใหม่ในฟังก์ชั่น uniroot ที่นำมาใช้ใน R 3.1 ดังนั้นจะไม่ทำงานใน R ที่เก่ากว่า

shape <- 1:3 #ki
scale <- 1:3 # thetai
# For this case,  we get expectation=14,  variance=36
make_cumgenfun  <-  function(shape, scale) {
      # we return list(shape, scale, K, K', K'')
      n  <-  length(shape)
      m <-   length(scale)
      stopifnot( n == m, shape > 0, scale > 0 )
      return( list( shape=shape,  scale=scale, 
                    Vectorize(function(s) {-sum(shape * log(1-scale * s) ) }),
                    Vectorize(function(s) {sum((shape*scale)/(1-s*scale))}) ,
                    Vectorize(function(s) { sum(shape*scale*scale/(1-s*scale)) }))    )
}

solve_speq  <-  function(x, cumgenfun) {
          # Returns saddle point!
          shape <- cumgenfun[[1]]
          scale <- cumgenfun[[2]]
          Kd  <-   cumgenfun[[4]]
          uniroot(function(s) Kd(s)-x,lower=-100,
                  upper = 0.3333, 
                  extendInt = "upX")$root
}

make_fhat <-  function(shape,  scale) {
    cgf1  <-  make_cumgenfun(shape, scale)
    K  <-  cgf1[[3]]
    Kd <-  cgf1[[4]]
    Kdd <- cgf1[[5]]
    # Function finding fhat for one specific x:
    fhat0  <- function(x) {
        # Solve saddlepoint equation:
        s  <-  solve_speq(x, cgf1)
        # Calculating saddlepoint density value:
        (1/sqrt(2*pi*Kdd(s)))*exp(K(s)-s*x)
    }
    # Returning a vectorized version:
    return(Vectorize(fhat0))
} #end make_fhat

 fhat  <-  make_fhat(shape, scale)
plot(fhat, from=0.01,  to=40, col="red", main="unnormalized saddlepoint approximation\nto sum of three gamma variables")

ส่งผลให้พล็อตต่อไปนี้: ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ฉันจะปล่อยให้การประมาณค่าปกติของอานม้าเป็นแบบฝึกหัด

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

1

สิ่งนี้น่าสนใจ แต่ฉันไม่สามารถทำให้Rโค้ดของคุณใช้งานได้เพื่อเปรียบเทียบการประมาณกับคำตอบที่แน่นอน ความพยายามที่จะก่อให้เกิดใด ๆ ที่ก่อให้เกิดข้อผิดพลาดที่เห็นได้ชัดในการใช้งานของfhat uniroot

— whuber

3

รุ่น R ของคุณคืออะไร? รหัสใช้อาร์กิวเมนต์ใหม่เพื่อ uniroot, expandInt ซึ่งแนะนำใน R เวอร์ชัน 3.1 หาก R ของคุณเก่ากว่าคุณอาจลองลบออก (และขยายช่วงเวลาที่กำหนดให้ uniroot) แต่นั่นจะทำให้รหัสมีความแข็งแกร่งน้อยลง!

— kjetil b halvorsen

10

สมการWelch – Satterthwaiteสามารถใช้เพื่อให้คำตอบโดยประมาณในรูปแบบของการแจกแจงแกมม่า นี่เป็นคุณสมบัติที่ดีในการให้เราจัดการกับการแจกแจงแกมมาว่าเป็น (โดยประมาณ) ปิดลงนอกจากนี้ นี่คือการประมาณในการทดสอบ t-test ของ Welch ที่ใช้กันทั่วไป

(การแจกแจงแกมม่าสามารถดูเป็นการกระจายไคสแควร์ที่ปรับขนาดและอนุญาตให้ใช้พารามิเตอร์รูปร่างที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม)

ฉันได้ปรับค่าประมาณเป็น parametrization ของการกระจายตัวของแกมม่า: $k, \theta$

k_{s u m} = \frac{(\sum_{i} θ_{i} k_{i})^{2}}{\sum_{i} θ_{i}^{2} k_{i}}

$k_{sum} = { (\sum_i \theta_i k_i)^2 \over \sum_i \theta_i^2 k_i }$

θ_{s u m} = \frac{\sum θ_{i} k_{i}}{k_{s u m}}

$\theta_{sum} = { { \sum \theta_i k_i } \over k_{sum} }$

ให้ , $k=(3,4,5)$ $\theta=(1,2,1)$

เราได้ค่ารังสีแกมม่าประมาณ 10.666, 1.5

เราเห็นว่าพารามิเตอร์รูปร่างมีจำนวนรวมกันมากหรือน้อย แต่น้อยลงเล็กน้อยเนื่องจากพารามิเตอร์ระดับอินพุตมีค่าแตกต่างกันเป็นเช่นนั้นว่าผลรวมมีค่าเฉลี่ยที่ถูกต้อง $k$ $\theta_i$ $\theta$

— พอลแฮร์ริสัน
แหล่งที่มา

6

วิธีการแก้ปัญหาที่แน่นอนในการโน้มน้าว (เช่นผลรวม) ของการแจกแจงแกมมาเป็น Eq (1) ในรูปแบบไฟล์ PDF การเชื่อมโยงโดยDiSalvo เนื่องจากนี่ใช้เวลาค่อนข้างนานจึงใช้เวลาพอสมควรในการคัดลอกที่นี่ สำหรับการแจกแจงแกมม่าเพียงสองครั้งผลรวมที่แน่นอนในรูปแบบปิดจะถูกระบุด้วย Eq (2) ของ DiSalvo และไม่มีน้ำหนักโดย Eq (5) ของWesolowski และคณะ ซึ่งปรากฏบนไซต์ CVเป็นคำตอบสำหรับคำถามนั้น นั่นคือ, $n$

G D C (a, b, α, β; τ) = {\begin{array}{cc} \frac{b^{a} β^{α}}{Γ (a + α)} e^{- b τ} {τ^{a + α}}^{- 1}_{1} F_{1} [α, a + α, (b - β) τ], & τ > 0 \\ 0, τ \leq 0 \end{array},

$\mathrm{G}\mathrm{D}\mathrm{C}\left(\mathrm{a}\kern0.1em ,\mathrm{b}\kern0.1em ,\alpha, \beta; \tau \right)=\left\{\begin{array}{cc}\hfill \frac{{\mathrm{b}}^{\mathrm{a}}{\beta}^{\alpha }}{\Gamma \left(\mathrm{a}+\alpha \right)}{e}^{-\mathrm{b}\tau }{\tau^{\mathrm{a}+\alpha}}^{-1}{}_1F_1\left[\alpha, \mathrm{a}+\alpha, \left(\mathrm{b}-\beta \right)\tau \right],\hfill & \hfill \tau >0\hfill \\ {}\hfill \kern2em 0\kern6.6em ,\hfill \kern5.4em \tau \kern0.30em \le \kern0.30em 0\hfill \end{array}\right.,$ ที่สัญกรณ์ในคำถามข้างต้น; ที่นี่ นั่นคือและเป็นค่าคงที่อัตราที่นี่และไม่ใช่สเกลาร์เวลา

G a m m a (a, b) \to Γ (a, 1 / b)

$Gamma(a,b) \rightarrow \Gamma(a,1/b)$

b

$b$

β

$\beta$

— คาร์ล
แหล่งที่มา