มีแบบทดสอบความเท่ากันอย่างง่ายของการทดสอบ Kolmogorov

มีการทดสอบด้านเดียวสองด้านสำหรับความเท่าเทียมกัน (TOST) สำหรับการทดสอบ Kolmogorov – Smirnov เพื่อทดสอบสมมุติฐานเชิงลบว่าการแจกแจงสองครั้งนั้นแตกต่างกันอย่างน้อยระดับการระบุที่นักวิจัยกำหนดหรือไม่?

ถ้าไม่ใช่ TOST แล้วรูปแบบอื่น ๆ ของการทดสอบความเท่ากัน?

Nick Stauner ชี้ให้เห็นอย่างชาญฉลาดว่า (ฉันควรรู้แล้ว;) ว่ามีการทดสอบความเท่าเทียม TOST แบบ nonparametric อื่น ๆ สำหรับสมมติฐานว่างสำหรับการสุ่มเชิงเปรียบเทียบและมีข้อ จำกัด ที่เข้มงวดมากขึ้น

kolmogorov-smirnov equivalence tost

— อเล็กซิส
แหล่งที่มา

ที่เกี่ยวข้อง: การทดสอบความเท่าเทียมกันสำหรับข้อมูลที่ไม่ใช่ข้อมูลปกติหรือไม่

— Nick Stauner

ตกลงนี่เป็นความพยายามครั้งแรกของฉัน ปิดการตรวจสอบและแสดงความคิดเห็นชื่นชม!

สมมติฐานสองตัวอย่าง
ถ้าเราสามารถวางกรอบการทดสอบสมมติฐาน Kolmogorov-Smirnov ด้านเดียวได้สองตัวอย่างโดยมีสมมติฐานว่างและสมมติฐานสำรองตามบรรทัดเหล่านี้:

Hและ $_{0}\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$

Hอย่างน้อยหนึ่งโดยที่: $_{\text{A}}\text{: }F_{Y}\left(t\right) < F_{X}\left(t\right)$ $t$

สถิติการทดสอบ สอดคล้องกับ H ; $D^{-}=\left|\min_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$
สถิติการทดสอบ สอดคล้องกับ H ; และ $D^{+}=\left|\max_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \leq F_{X}\left(t\right)$
$F_{Y}\left(t\right)$ และเป็นCDFS เชิงประจักษ์ของตัวอย่างและ , $F_{X}\left(t\right)$ $Y$ $X$

จากนั้นควรมีเหตุผลที่จะสร้างสมมติฐานช่วงเวลาทั่วไปสำหรับการทดสอบความเท่ากันตามเส้นเหล่านี้ (สมมติว่าช่วงเวลาที่เท่าเทียมกันนั้นสมมาตรในขณะนั้น):

Hและ $^{-}_0\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| \geq \Delta$

Hอย่างน้อยหนึ่งที $^{-}_{\text{A}}\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| < \Delta$ $t$

สิ่งนี้จะแปลเป็นสมมติฐานว่างสองด้านเดียว "negativist" เพื่อทดสอบความเท่าเทียม (สมมติฐานทั้งสองนี้ใช้รูปแบบเดียวกันเนื่องจากทั้ง และนั้นไม่เป็นลบอย่างเด็ดขาด): $D^{+}$ $D^{-}$

Hหรือ $^{-}_{01}\text{: }D^{+} \geq \Delta$

H\ $^{-}_{02}\text{: }D^{-} \geq \Delta$

การปฏิเสธทั้ง Hและ Hจะนำไปสู่การสรุปว่า<\ แน่นอนช่วงเวลาความเท่าเทียมไม่จำเป็นต้องมีความสมมาตรและและสามารถแทนที่ด้วย (ต่ำกว่า) และ (บน) สำหรับสมมติฐานว่างด้านเดียว $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$ $-\Delta < F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right) < \Delta$ $-\Delta$ $\Delta$ $\Delta_{2}$ $\Delta_{1}$

สถิติการทดสอบ (อัปเดต: เดลต้าอยู่นอกเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์)
สถิติการทดสอบและ (ออกจากและโดยนัย) สอดคล้องกับ Hและ Hตามลำดับและคือ: $D^{+}_{1}$ $D^{-}_{2}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$

$D^{+}_{1} = \Delta - D^{+} = \Delta - \left|\max_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$ และ

$D^{-}_{2} = \Delta - D^{-} = \Delta - \left|\min_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

The Equivalence / Threshold Threshold
ช่วงเวลา - หรือหากใช้ช่วงเวลาที่ไม่สมดุลแบบอสมมาตร - จะแสดงเป็นหน่วยและหรือขนาดของความน่าจะเป็นที่ต่างกัน เมื่อและเข้าหาอนันต์CDF ของ หรือสำหรับเข้าหาสำหรับและสำหรับ : $[-\Delta, \Delta]$ $[\Delta_{2}, \Delta_{1}]$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y},n_{X}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

lim_{n_{Y}, n_{X} \to \infty} p^{+} = P (\sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$\lim_{n_{Y},n_{X}\to \infty}p^{+} = \text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+} \le t\right) = 1 - e^{-2t^{2}}$

$CDF ของ $ D ^ {+} $ (หรือ $ D ^ {-} $)$

ดังนั้นสำหรับฉันแล้ว PDF สำหรับขนาดที่ปรับขนาดตัวอย่าง (หรือขนาดที่ปรับขนาดตัวอย่าง ) ต้องเป็นสำหรับและสำหรับ : $D^{+}$ $D^{-}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

f (t) = 1 - e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f(t) = {1 - e^{-2t^{2}}}\frac{d}{dt} = 4te^{-2t^{2}}$

$PDF ของ $ D ^ {+} $ (หรือ $ D ^ {-} $)$

Glen_b ชี้ให้เห็นว่านี่คือการกระจาย Rayleighกับ{2} ดังนั้นฟังก์ชั่นควอไทล์ขนาดใหญ่สำหรับขนาดตัวอย่างและคือ: $\sigma=\frac{1}{2}$ $D^{+}$ $D^{-}$

{CDF}^{- 1} = Q (p) = \sqrt{\frac{- \ln (1 - p)}{2}}

$\text{CDF}^{-1} = Q\left(p\right) = \sqrt{\frac{-\ln{\left(1 - p\right)}}{2}}$

และตัวเลือกเสรีของอาจเป็นค่าวิกฤตและทางเลือกที่เข้มงวดยิ่งขึ้นค่าวิกฤต{8} $\Delta$ $Q_{\alpha}+\sigma/2 = Q_{\alpha}+\frac{1}{4}$ $Q_{\alpha}+\sigma/4=Q_{\alpha}+\frac{1}{8}$

— อเล็กซิส
แหล่งที่มา

ในบรรทัดที่คุณส่งจาก cdf ไปยัง pdf ฉันคิดว่าคุณผิด ให้ดังนั้น (เหยียดหยาม สัญกรณ์) ในวงเงิน{2}} จากนั้น (หมายเหตุหลังจาก ) (โปรดสังเกตเครื่องหมายที่หายไปของเลขชี้กำลังในบรรทัดด้านบนของการลอกเลียนแบบนอกจากนี้ฉันไม่แน่ใจว่าทำไมคุณถึงมีส่วนประกอบสำคัญที่นั่น แต่บางทีฉันอาจเข้าใจผิดบางอย่าง)

K_{n_{Y}, n_{X}} = \sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+}

$K_{n_{Y},n_{X}}=\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+}$

P (K_{\infty, \infty} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$P(K_{\infty,\infty}\leq t) = 1 - e^{-2t^{2}}$

f_{K} (t) = \frac{d}{d t} 1 - e^{- 2 t^{2}} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f_K(t) = \frac{d}{dt} 1 - e^{-2t^2} = 4t\, e^{-2t^2}\quad$

t

$t$

4

$4$

— Glen_b

@stochazesthaiและเป็นสถิติการทดสอบด้านเดียวสองรายการ ต่อ TOST คุณต้องปฏิเสธทั้งสมมติฐานว่างที่ใช้กับสถิติการทดสอบเหล่านี้ เป็นค่าที่สำคัญจาก CDFบนบรรทัดด้านบนและตำแหน่งที่คุณต้องการย่อยในสำหรับ (เช่น ) ตัวเลือกของขึ้นอยู่กับว่าผ่านมา (ค่าการปฏิเสธที่สำคัญสำหรับผู้นิยมโพ ) ที่คุณต้องไปก่อนที่จะสรุปความแตกต่างที่เกี่ยวข้อง (เช่น 'ความเท่าเทียม' เสรีนิยมคือ

D_{1}

$D_{1}$

D_{2}

$D_{2}$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

^{- 1}

$^{-1}$

1 - α

$1-\alpha$

p

$p$

Q_{α} = \sqrt{\frac{- \ln (1 - (1 - α))}{2}}

$Q_{\alpha} = \sqrt{\frac{-\ln{(1-(1-\alpha))}}{2}}$

Δ

$\Delta$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

H_{0}

$H_{0}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

σ

$\sigma$ เกิน )

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

— Alexis

@stochazesthai (ต่อเนื่อง) ดังนั้นหากทั้ง และแล้วคุณปฏิเสธ{-}

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{0}^{-}

$H_{0}^{-}$

— อเล็กซิส

@stochazesthai อ๊ะ! ฉันควรจะได้นำคำพูดรอบคำเสรีนิยมมากกว่าเท่าเทียมกันทั้งสองแสดงความคิดเห็นกลับ :)

— อเล็กซิส

@stochazesthai หากแล้วปฏิเสธถ้าแล้วไม่ปฏิเสธ{01} หากแล้วปฏิเสธถ้าแล้วไม่ปฏิเสธ{02} หากปฏิเสธทั้งและแล้วปฏิเสธมิฉะนั้นไม่ปฏิเสธ{0}

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{1} < Δ

$D_{1} < \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

D_{2} < Δ

$D_{2} < \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

— Alexis

อีกทางเลือกหนึ่งสำหรับ TOST ในการทดสอบความเท่ากันนั้นยึดตามวิธีช่วงความเชื่อมั่น:

ให้แทนส่วนต่างที่เทียบเท่าและ ระยะทาง Kolmogorov-Smirnov ระหว่างฟังก์ชันการแจกแจงแบบไม่ทราบค่าพื้นฐาน $\Delta$

θ := sup_{t} | F_{X} (t) - F_{Y} (t) |

$\theta := \sup_t |F_X(t) - F_Y(t)|$

ตอนนี้ถ้าช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับนั้นสมบูรณ์ภายในดังนั้นเราอาจมั่นใจ 95% ว่านั้นใกล้เคียงกับ 0 มากพอที่จะพูดถึง "ความเท่าเทียม" $\theta$ $[-\Delta, \Delta]$ $\theta$

โดยไม่ทราบว่าการกระจายต้นแบบมันน่าจะเป็นความหวังที่จะได้รับช่วงความเชื่อมั่นโดยประมาณวิเคราะห์ดังนั้นเราอาจจำเป็นต้องพึ่งพา (อคติแก้ไข) ช่วงความเชื่อมั่นบูตขึ้นอยู่กับ resampling จากคู่และY(ฉันไม่ต้องการค้นหาเงื่อนไขสำหรับความถูกต้องของแอปพลิเคชั่นนี้โดยเฉพาะ ... ) $X$ $Y$

— Michael M
แหล่งที่มา

ยอดเยี่ยม คุณมีการอ้างอิงสำหรับทุกคนที่ทำ CI ของ (bootstrap หรืออย่างอื่น) หรือไม่?

D_{n_{1}, n_{2}}

$D_{n_{1},n_{2}}$

— Alexis

จุดที่ดี ... กระดาษสั้น tomswebpage.net/images/K-S_test.doc กล่าวถึง "คู่มือขั้นตอนทางสถิติแบบพารามิเตอร์และแบบไม่อิงพารามิเตอร์รุ่นที่ห้าโดย David J.Sheskin (27 เม.ย. 2011)" เพื่อเสนอข้อ จำกัด กรณีสองตัวอย่างสำหรับ D. แต่ในขณะนี้ฉันไม่สามารถเข้าถึงหนังสือเล่มนี้

— Michael M

มีแบบทดสอบความเท่ากันอย่างง่ายของการทดสอบ Kolmogorov – Smirnov หรือไม่?