เพียงแค่ทราบจำนวนฟันบน chainring เราสามารถกำหนดขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางที่ถูกต้องได้อย่างไร

chainring เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติด้านnโดยที่nคือจำนวนฟัน ความยาวด้านsของรูปหลายเหลี่ยมคือระยะทางจากปลายถึงปลายของฟันโซ่แต่ละอัน

สูตรสำหรับรัศมีของรูปหลายเหลี่ยมปกติคือ:

_{(ที่มา: mathopenref.com )}

เมื่อใช้ขนาด 12.75 มม. ของ zenbike สำหรับsเราจะได้รัศมี 107.61 หรือเส้นผ่านศูนย์กลาง 215.22 มม. ซึ่งใกล้เคียงกับการประมาณของเขามาก

การเปรียบเทียบสูตรทั้งสองแสดงให้เห็นว่าสามารถกำจัดความยาวได้ตามที่คาดไว้ สิ่งนี้ทำให้เรามี:

1 / sin ( pi / n ) กับn / pi

สำหรับnขนาดใหญ่คำเหล่านั้นมาบรรจบกันแนะนำข้อผิดพลาดเพียง 0.12 มม. เมื่อn = 53 มันใหญ่ขึ้นเล็กน้อยเมื่อnเล็กลงแตกต่างกันโดย. 64mm สำหรับ n = 11

สำหรับการใช้งานจริงทั้งหมดฉันแค่ใช้s * n / piแม้แต่ฟันเฟืองที่เล็กที่สุดที่คุณจะเจอมันจะอยู่ในระยะไม่กี่มิลลิเมตร

หากคุณรู้ว่าระยะห่างของโซ่ (มาตรฐานสำหรับจักรยานส่วนใหญ่) และจำนวนฟันคุณจะสามารถอธิบายวงกลม (และ n-gon) ผ่านศูนย์พินได้อย่างเต็มที่เท่านั้น ฉันจะทำให้ดีที่สุดในการทำสูตรคณิตศาสตร์ในแบบที่อ่านได้ด้วยข้อความ แต่ฉันจะอธิบายแต่ละวงกลม / n-gons แต่ละวงอย่างเต็มที่:

ปล่อย:

n = จำนวนฟัน

L = ระยะห่างโซ่ (ความยาวลิงก์) (12.7 มม. สำหรับจักรยานส่วนใหญ่)

ดูด้านล่างสำหรับการวัดหุบเขาลูกกลิ้งและฟันบน โปรดทราบว่าท็อปส์ซูฟันอาจแตกต่างกันระหว่างผู้ผลิตและจะแตกต่างกันไปตามอายุของแหวน วิธีอื่นที่ด้านล่างอาจเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการใช้สำหรับการล้างเฟรม

เมื่อคุณรู้ว่าระยะห่างของโซ่ (1/2 "หรือ 12.7 มม. เป็นโซ่ 40 ชุดโดยทั่วไปใช้กับจักรยาน) โซ่หมุดจะกลายเป็น n-gon ปกติ (รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากัน) โดยแต่ละด้านมีขนาดเท่ากับ 12.7 มม. สูตรสำหรับเส้นรอบนอกของ n-gon นี้ค่อนข้างง่าย (ด้านล่าง) และจะดีสำหรับการประมาณส่วนใหญ่โปรดทราบว่านี่ก็เท่ากับความยาวโซ่ที่จะพันรอบ แหวน (โซ่จะตาม n-gon ไม่ใช่วงกลม)

ปริมณฑลของ n-gon ทำโดยศูนย์พิน

ปริมณฑลของ n-gon = L * n = 12.7 * n mm

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ถูกต้องทั้งหมดในการอธิบายวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางพิน สูตรที่แม่นยำยิ่งขึ้นอยู่ด้านล่าง:

วงกลมผ่านจุดกึ่งกลาง

เส้นรอบวง = pi * L / (sin (180 / n)) = 39.8982 / (sin (180 / n)) mm

รัศมี = L / (2 บาป (180 / n)) = 6.35 / บาป (180 / n) mm = 'pcRad' (รัศมีพินกลาง)

เส้นผ่านศูนย์กลาง = L / บาป (180 / n) = 12.7 / บาป (180 / n) mm = 'pcD' (เส้นผ่านศูนย์กลางกลางเข็ม)

ตอนนี้เราจะต้องการข้อมูลเพิ่มเติมเพื่ออธิบายวงกลม / n-gons ที่เกี่ยวข้อง:

สำหรับพื้นหุบเขาและท็อปส์ซูลเลอร์เราจำเป็นต้องทราบรัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกกลิ้งลูกโซ่รอบหมุด อ้างอิงจากhttp://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chainโซ่ซีรีย์ 40 มีเส้นผ่านศูนย์กลางลูกกลิ้ง 0.312 "(7.92 มม.) เนื่องจากระยะห่างจากพินกึ่งกลางจนถึงก้นหุบเขานั้นเป็นรัศมีของ ลูกกลิ้ง:

วงกลม / n-gon เกี่ยวกับพื้นหุบเขา

rRad = รัศมีลูกกลิ้ง (3.96 มม. สำหรับจักรยานส่วนใหญ่)

ปริมณฑลของ n-gon ของพื้นหุบเขา = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3.96) * sin (180 / n) mm

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3.96 มม

floorDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7.92 มม

วงกลม / n-gon ของท็อปส์ซูของลูกโซ่ลูกกลิ้ง

ปริมณฑลของ n-gon ของ tops roller = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3.96) * sin (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3.96 มม

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7.92 มม.

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7.92) มม.

ทีนี้เพื่อที่จะอธิบายวงกลมสุดท้าย / n-gon เราต้องการความสูงของฟันเหนือจุดศูนย์กลาง ฉันคาดหวังว่าสิ่งนี้จะเป็นผลดีกับวงแหวนโซ่ใหม่และลบต่อแหวนที่สวมใส่:

วงกลม / n-gon ของเคล็ดลับฟัน

t = ความสูงของปลายฟันเหนือจุดศูนย์กลาง (ลบถ้าด้านล่าง)

ขอบเขตของเคล็ดลับ n-gon ของฟัน = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

อีกวิธีหนึ่งเพื่อให้การคำนวณนี้ง่ายขึ้นเล็กน้อย (แต่แม่นยำน้อยกว่าเล็กน้อยบนวงแหวนโซ่ที่สึกกร่อน) คุณสามารถวัดระยะห่างของฟันแต่ละซี่ได้ จะเป็นการดีที่พวกเขาจะยาวกว่าระยะห่างของโซ่เล็กน้อย แต่จะเปลี่ยนไปตามที่โซ่สวม:

วงกลม / n-gon ของเคล็ดลับฟัน - สลับ

tSpacing = ระยะห่างเฉลี่ยระหว่างปลายฟัน

ปริมณฑลของ n-gon ของเคล็ดลับฟัน = n * t ระยะห่าง

tipRadius = tSpacing / (2 บาป (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

แก้ไข:

ฉันโพสต์คำถามนี้ใน math.seและได้รับคำตอบที่น่าสนใจซึ่งโดยทั่วไปยืนยันคำตอบของ Lantius ว่าเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น

มีเพียงจำนวนฟันเท่านั้น

แต่ด้วยจำนวนฟันและระยะห่างที่ต้องการจากปลายถึงปลายของฟันแต่ละซี่เพื่อจับคู่โซ่สำหรับแบรนด์ของแหวนโซ่ที่ใช้คุณสามารถกำหนดเส้นรอบวงได้อย่างง่ายดาย

ด้วยเส้นรอบวงมันเป็นคณิตศาสตร์ง่าย ๆ ในการหาเส้นผ่านศูนย์กลาง

หารเส้นผ่าศูนย์กลางด้วย Pi (3.14159 ถึงทศนิยม 5)

C = D / 3.14159

ดังนั้นหากจำนวนฟันคือ 53 และระยะห่างเป็น 12.75 มม. เรามีเส้นรอบวง 675.75 มม.

675.75 มิลลิเมตรหารด้วย 3.14159 มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 215.1 มิลลิเมตร แปลงและปัดเศษเป็น 2 แห่งคือ 8.46 นิ้ว

ฉันวัดเส้นผ่านศูนย์กลางของวงแหวนโซ่ Shimano 53 ฟันและมันคือ 8.51 นิ้ว ดังนั้นฉันเชื่อว่าคณิตศาสตร์ของฉันควรมีความแม่นยำเท่ากับความคลาดเคลื่อนในการวัดของฉัน