สูตรทดสอบเบื้องต้น

เป้าหมายของคุณคือการตรวจสอบว่าตัวเลขที่กำหนดnเป็นจำนวนเฉพาะในไบต์ที่น้อยที่สุดหรือไม่ แต่รหัสของคุณจะต้องเป็นนิพจน์Python 2เดียวสำหรับตัวเลขที่ประกอบด้วยเท่านั้น

ผู้ประกอบการ
ตัวแปรอินพุต n
ค่าคงที่จำนวนเต็ม
วงเล็บ

ไม่มีลูปไม่มีการมอบหมายไม่มีฟังก์ชั่นในตัวเฉพาะสิ่งที่ระบุไว้ข้างต้น ใช่มันเป็นไปได้

ผู้ประกอบการ

นี่คือรายการของตัวดำเนินการทั้งหมดใน Python 2ซึ่งรวมถึงตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์บิตและตรรกะ:

+    adddition
-    minus or unary negation
*    multiplication
**   exponentiation, only with non-negative exponent
/    floor division
%    modulo
<<   bit shift left
>>   bit shift right
&    bitwise and
|    bitwise or
^    bitwise xor
~    bitwise not
<    less than
>    greater than
<=   less than or equals
>=   greater than or equals
==   equals
!=   does not equal

ค่ากลางทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม (หรือเท็จ / จริงซึ่งโดยนัยเท่ากับ 0 และ 1) การยกกำลังอาจไม่สามารถใช้ร่วมกับเลขชี้กำลังเป็นค่าลบได้เนื่องจากอาจทำให้เกิดการลอยได้ โปรดทราบว่า/การแบ่งพื้นไม่เหมือนกับ Python 3 ดังนั้นจึง//ไม่จำเป็น

แม้ว่าคุณจะไม่คุ้นเคยกับ Python ตัวดำเนินการควรจะเข้าใจได้ง่าย ดูตารางนี้สำหรับความสำคัญของโอเปอเรเตอร์และส่วนนี้และด้านล่างสำหรับข้อกำหนดรายละเอียดของไวยากรณ์ คุณสามารถเรียกใช้งูหลาม 2 TIO

I / O

อินพุต:จำนวนเต็มบวกnที่อย่างน้อย 2

เอาต์พุต: 1 ถ้าnเป็นจำนวนเฉพาะและ 0 เป็นอย่างอื่น TrueและFalseอาจใช้ ไบต์ที่น้อยที่สุดจะเป็นผู้ชนะ

เนื่องจากรหัสของคุณเป็นนิพจน์มันจะเป็นข้อมูลโค้ดโดยคาดว่าค่าอินพุตจะถูกเก็บไว้เป็นnและประเมินผลลัพธ์ที่ต้องการ

รหัสของคุณจะต้องใช้งานได้สำหรับnระบบที่ใหญ่และ จำกัด เนื่องจากชนิดจำนวนเต็มของ Python นั้นไม่มีขอบเขตจึงไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับตัวดำเนินการ รหัสของคุณอาจใช้เวลานาน

— XNOR
แหล่งที่มา

บางทีนี่ควรจะมีแท็กหลาม?

— fəˈnɛtɪk

คำตอบ:

43 ไบต์

(4**n+1)**n%4**n**2/n&2**(2*n*n+n)/-~2**n<1

ลองออนไลน์!

วิธีนี้คล้ายกับคำตอบที่สอง (ถูกลบ) ของเดนนิส แต่คำตอบนี้ง่ายกว่าที่จะพิสูจน์ว่าถูกต้อง

พิสูจน์

แบบสั้น

ตัวเลขที่สำคัญที่สุดของ(4**n+1)**n%4**n**2ในฐานที่ไม่หารด้วยจะทำให้หลักถัดไป (สำคัญน้อยกว่า) เป็นศูนย์ (ถ้า "เลขตัวถัดไป" ไม่ได้อยู่ในส่วนที่เป็นเศษส่วน) จากนั้นbitmask จะถูกดำเนินการเพื่อตรวจสอบ หากตัวเลขใด ๆ ที่ตำแหน่งคี่เป็นศูนย์ $2^n$ $n$ (4**n+1)**n%4**n**2/n&2**(2*n*n+n)/-~2**n

แบบยาว

Let เป็นจำนวนที่มีฐานตัวแทนคือและจะเป็นหลักที่ " ตำแหน่ง " ในการแทนฐาน $[a_n,\dots,a_1,a_0]_b$ $b$ $a_nb^n+\dots+a_1b^1+a_0b^0$ $a_i$ $i$ $b$

⌋ $\texttt{2**(2*n*n+n)/-~2**n} =\lfloor{2^{(2n+1)n}\over1+2^n}\rfloor =\lfloor{4^{n^2}\times 2^n\over1+2^n}\rfloor =\lfloor{{(4^{n^2}-1)\times 2^n\over1+2^n} +{2^n\over1+2^n}}\rfloor$

เพราะ(ด้วยs) เป็นจำนวนเต็มและ $2^n\times{4^{n^2}-1\over1+2^n} =2^n(2^n-1)\times{(4^n)^n-1\over4^n-1} =[2^n-1,0,2^n-1,0,2^n-1,0]_{2^n}$ $n$ $2^n-1$ , =n $\lfloor{2^n\over1+2^n}\rfloor=0$ 2**(2*n*n+n)/-~2**n $[2^n-1,0,2^n-1,0,2^n-1,0]_{2^n}$

ถัดไปให้พิจารณา

\begin{aligned} (4 ** 1 + n) ** n & = (4^{n} + 1)^{n} \\ = (\binom{n}{0}) 4^{0 n} + (\binom{n}{1}) 4^{1 n} + \dots + (\binom{n}{n}) 4^{n^{2}} \\ = {[(\binom{n}{n}), 0, ..., 0, (\binom{n}{1}), 0, (\binom{n}{0})]}_{2^{n}} \end{aligned}

$\begin{align} \texttt{(4**n+1)**n} &=(4^n+1)^n \\ &=\binom n04^{0n}+\binom n14^{1n}+\dots+\binom nn4^{n^2} \\ &=\left[\binom nn,0,\dots,0,\binom n1,0,\binom n0\right]_{2^n} \end{align}$

ดังนั้นจะตัดทอนตัวเลขเป็นหลักสุดท้าย - ซึ่งไม่รวม $4^{n^2}=(2^n)^{2n}$ %4**n**2 $2n$ (ซึ่งคือ 1) แต่รวมสัมประสิทธิ์ทวินามอื่น ๆ ทั้งหมด $\binom nn$

เกี่ยวกับ/n:

ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะผลลัพธ์จะเป็น $n$ . ตัวเลขทั้งหมดที่ตำแหน่งคี่เป็นศูนย์ $\left[\binom n{n-1}/n,0,\dots,0,\binom n1/n,0,0\right]_{2^n}$
ถ้าไม่ใช่ค่าเฉพาะ: $n$

ให้เป็นที่ใหญ่ที่สุดจำนวนเต็มเช่นว่า $a$ () เขียนเงินปันผลเป็น $n\nmid\binom na$ $n>a>0$

$\left[\binom n{n-1},0,\binom n{n-2},0,\dots,\binom n{a+1}, 0,0,0,\dots,0,0,0\right]_{2^n} + \left[\binom na,0,\binom n{a-1},0,\dots,\binom n0\right]_{2^n}$

การสรุปครั้งแรกมีตัวเลขทั้งหมดหารด้วยและตัวเลขที่ตำแหน่งศูนย์ $n$ $2a-1$

summand ที่สองมีตัวเลขที่สำคัญที่สุด (ที่ตำแหน่ง ) ไม่สามารถหารด้วยและ (ฐาน)ดังนั้นหารด้วยหารด้วยจะมีตัวเลขที่ตำแหน่งไม่ใช่ศูนย์ $2a$ $n$ $2^n>n$ $n$ $2a-1$

ดังนั้นผลลัพธ์สุดท้าย ( (4**n+1)**n%4**n**2/n) ควรมีตัวเลข (ฐาน , แน่นอน) ที่ตำแหน่งไม่ใช่ศูนย์ $2^n$ $2a+1$

สุดท้ายค่าที่เหมาะสมและ ( &) ดำเนินการบิต vectorized และในตัวเลขในฐาน (เพราะฐานเป็นอำนาจของ 2) และเพราะทั้งหมด , เป็นศูนย์ IFF ได้ตัวเลขทั้งหมดในครั้งแรกตำแหน่งคี่เป็นศูนย์ - ซึ่งเทียบเท่ากับเป็นนายก $2^n$ $a\texttt &0=0,a\texttt&(2^n-1)=a$ $0\le a<2^n$ (4**n+1)**n%4**n**2/n&2**(2*n*n+n)/-~2**n(4**n+1)**n%4**n**2/n $n$ $n$

— user202729
แหล่งที่มา

จะ(4**n+1)**n%2**n**2/n&2**n**2/-~2**n<1ทำงานอย่างไร

— Dennis

ถ้าง่ายต่อการพิสูจน์ความถูกต้องคุณสามารถรวมหลักฐานไว้ในคำตอบได้หรือไม่? เรามี MathJax ในขณะนี้จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้หลักฐานอันชัดเจนและผมก็ไม่สามารถดูเหตุผลที่ชัดเจนสำหรับการแบ่งโดยไม่ก่อให้เกิดการมีปฏิสัมพันธ์ที่ไม่พึงประสงค์ระหว่างฐานตัวเลขn 4**n

— Peter Taylor

"ฉันได้ค้นพบหลักฐานที่น่าทึ่งอย่างแท้จริงของคำตอบนี้ซึ่งความคิดเห็นนี้มีขนาดเล็กเกินกว่าที่จะบรรจุ ... "

— Digital Trauma

ข้อเสนอแนะสำหรับการทำให้หลักฐานสั้นลงยินดีต้อนรับ

— user202729

ทำได้ดีมาก! นี่เป็นวิธีเดียวกับที่ฉันคิดขึ้นมา (4**n+1)**n%4**n**2/n<<n&4**n**2/-~2**n<1ผมพบว่าคู่ของไบต์สามารถตัดกับ ฉันสงสัยว่าความท้าทายนี้เป็นไปได้หรือไม่หากไม่มีตัวดำเนินการระดับบิต

— xnor

Python 2 , 56 ไบต์

n**(n*n-n)/(((2**n**n+1)**n**n>>n**n*~-n)%2**n**n)%n>n-2

ลองออนไลน์!

นี่คือหลักฐานของแนวคิดที่ท้าทายนี้เป็น doable กับผู้ประกอบการทางคณิตศาสตร์เท่านั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยไม่ต้องบิต|, หรือ& ^รหัสใช้ตัวดำเนินการระดับบิตและการเปรียบเทียบสำหรับการเล่นกอล์ฟเท่านั้นและสามารถแทนที่ได้อย่างง่ายดายด้วยการเทียบเท่าเลขคณิต

อย่างไรก็ตามการแก้ปัญหาคือช้ามากและฉันยังไม่ได้สามารถที่จะเรียกใช้ `ขอบคุณเลขยกกำลังสองระดับเช่น n $n=6$ $2^{n^n}$

ความคิดหลักคือการแสดงออกสำหรับแฟคทอเรียลซึ่งช่วยให้เราทำการทดสอบทฤษฎีบทของวิลสันโดยที่เป็นตัวดำเนินการโมดูโล $n!$ $(n-1)! \mathbin{\%} n > n-2$ $\mathbin{\%}$

เราสามารถสร้างนิพจน์สำหรับสัมประสิทธิ์ทวินามซึ่งทำจากแฟคทอเรียล

(\binom{ม.}{n}) = \frac{ม.!}{n! (ม. - n)!}

$\binom{m}{n} \ = \frac{m!}{n!(m-n)!}$

แต่มันไม่ชัดเจนว่าจะดึงแฟคทอเรียลเพียงหนึ่งในนี้ออกมาได้อย่างไร เคล็ดลับคือการทุบออกจากกันด้วยการทำให้ขนาดใหญ่มาก $n!$ $m$

(\binom{ม.}{n}) = \frac{ม. (ม. - 1) \dots (ม. - n + 1)}{n!} = \frac{{ม.}^{n}}{n!} \cdot (1 - \frac{1}{ม.}) (1 - \frac{2}{ม.}) \dots (1 - \frac{n - 1}{ม.})

$\binom{m}{n} \ = \frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}= \frac{m^n}{n!}\cdot \left(1-\frac{1}{m}\right)\left(1-\frac{2}{m}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{m}\right)$

ดังนั้นถ้าเราให้เป็นผลคูณ $c$ เรามี $\left(1-\frac{1}{m}\right)\left(1-\frac{2}{m}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{m}\right)$

n! = \frac{{ม.}^{n}}{(\binom{ม.}{n})} \cdot ค

$n! = \frac{m^n}{\binom{m}{n}} \cdot c$

ถ้าเราไม่สนใจเราก็เสร็จแล้ว ส่วนที่เหลือของโพสต์นี้จะดูว่าเราต้องทำให้มีขนาดใหญ่เพื่อให้สามารถทำเช่นนี้ได้ $c$ $m$

โปรดทราบว่าเข้าใกล้จากด้านล่างเป็น ∞เราแค่ต้องทำให้ขนาดใหญ่พอที่ตัดให้ค่ากับจำนวนเต็มส่วนเพื่อเราจะคำนวณ $c$ $1$ $m \to \infty$ $m$ $c$ $n!$

n! = ⌊ \frac{m^{n}}{(\binom{m}{n})} ⌋

$n! = \left\lfloor \frac{m^n}{\binom{m}{n}} \right\rfloor$

สำหรับสิ่งนี้มันพอเพียงที่จะมีเพื่อหลีกเลี่ยงอัตราส่วนที่ผ่านจำนวนเต็มถัดไป 1 $1 - c < 1/n!$ $n!+1$

สังเกตว่าเป็นผลคูณของเทอมที่เล็กที่สุดคือ $c$ $n$ )ดังนั้นเรามี $\left(1-\frac{n-1}{m}\right)$

c > {(1 - \frac{n - 1}{m})}^{n} > 1 - \frac{n - 1}{m} n > 1 - \frac{n^{2}}{m},

$c > \left(1-\frac{n-1}{m}\right)^n > 1 - \frac{n-1}{m} n > 1-\frac{n^2}{m},$

ซึ่งหมายถึง . เนื่องจากเราต้องการให้มีมันพอเพียงที่จะเอา2 $1 - c < \frac{n^2}{m}$ $1 - c < 1/n!$ $m \geq n! \cdot n^2$

ในรหัสที่เราจะใช้ nเนื่องจากทฤษฎีบทของวิลสันใช้จริง ๆ แล้วเราแค่ต้องการ 2มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าตอบสนองความผูกพันค่าขนาดเล็กได้อย่างรวดเร็วและเติบโตเกินกว่าด้านขวามือ asymptotically พูดกับการประมาณของสเตอร์ลิง $m=n^n$ $(n-1)!$ $m \geq (n-1)! \cdot (n-1)^2$ $m=n^n$

— XNOR
แหล่งที่มา

$1 \leq i,j < n$ $i \times j = n$

Python 2 มีจำนวนไบต์มากเกินไป (278 ขอบคุณ Jo King ในคอมเม้นท์!)

((((((2**(n*n)/(2**n-1)**2)*(2**((n**2)*n)/(2**(n**2)-1)**2))^((n*((2**(n*n-n)/(2**n-1))*(2**((n**2)*(n-1))/(2**n**2-1))))))-((2**(n*n-n)/(2**n-1))*(2**((n**2)*(n-1))/(2**(n**2)-1))))&(((2**(n*(n-1))/(2**n-1))*(2**((n**2)*(n-1))/(2**(n**2)-1)))*(2**(n-1)))==0))|((1<n<6)&(n!=4))

ลองออนไลน์!

นี่เป็นจำนวนไบต์ที่มากกว่าคำตอบอื่น ๆ ดังนั้นฉันจึงทิ้งมันไว้ตอนนี้ ข้อมูลโค้ดด้านล่างมีฟังก์ชั่นและการกำหนดตัวแปรเพื่อความชัดเจน แต่การแทนที่จะเปลี่ยน isPrime (n) เป็นนิพจน์ Python เดียว

def count(k, spacing):
    return 2**(spacing*(k+1))/(2**spacing - 1)**2
def ones(k, spacing):
    return 2**(spacing*k)/(2**spacing - 1)

def isPrime(n):
    x = count(n-1, n)
    y = count(n-1, n**2)
    onebits = ones(n-1, n) * ones(n-1, n**2)
    comparison = n*onebits
    difference = (x*y) ^ (comparison)
    differenceMinusOne = difference - onebits
    checkbits = onebits*(2**(n-1))
    return (differenceMinusOne & checkbits == 0 and n>1)or 1<n<6 and n!=4

ทำไมมันทำงาน

ฉันจะทำอัลกอริทึมเดียวกันที่นี่ในฐาน 10 แทนไบนารี ดูเศษส่วนที่ประณีตนี้:

\frac{1.0}{999^{2}} = 1.002003004005 ...

$\frac{1.0}{999^2} = 1.002003004005\dots$

$10^{15}/(999^2) = 1002003004$ $1,2,3,4$

สมมุติว่าเราคูณสองตัวเลขเช่นนี้ด้วยระยะห่างระหว่างศูนย์ ฉันจะใส่เครื่องหมายจุลภาคในผลิตภัณฑ์

1002003004 \times 1000000000002000000000003000000000004 =

$1002003004 \times 1000000000002000000000003000000000004 =$

1002003004, 002004006008, 003006009012, 004008012016

$1002003004,002004006008,003006009012,004008012016$

$005$

$005005005\dots005$ $001001001\dots001$ $d$ $005$ $999$ $d$

$d$ $900900900\dots900$

— Lopsy
แหล่งที่มา

การแสดงออกอย่างรวดเร็วทำให้278 ไบต์ (แม้ว่าฉันไม่แน่ใจว่าจำเป็นต้องใส่วงเล็บจำนวนมาก)

— Jo King