บทนำ

วันนี้เราจะดูแลความหายนะของนักเรียนพีชคณิตเชิงเส้นในปีแรก: เมทริกซ์แน่นอน! เห็นได้ชัดว่านี่ยังไม่มีความท้าทายดังนั้นเราไปที่นี่:

อินพุต

• $n\times n$ สมมาตรเมทริกซ์ในรูปแบบที่สะดวกใด ๆ (ที่คุณอาจยังแน่นอนใช้เวลาเพียงบนหรือส่วนล่างของเมทริกซ์)$A$
• ทางเลือก: ขนาดของเมทริกซ์$n$

จะทำอย่างไร?

ความท้าทายนั้นง่าย: การให้เมทริกซ์ที่มีมูลค่าจริง$n\times n$เมทริกซ์ตัดสินว่ามันเป็นผลบวกแน่นอนหรือไม่โดยการส่งออกค่าความจริงหากเป็นเช่นนั้นและค่าความเท็จหากไม่

คุณอาจสันนิษฐานว่าบิวด์อินของคุณทำงานได้อย่างแม่นยำจริง ๆ และไม่จำเป็นต้องพิจารณาปัญหาเชิงตัวเลขซึ่งอาจนำไปสู่พฤติกรรมที่ไม่ถูกต้องหากกลยุทธ์ / รหัส "พิสูจน์ได้" ควรให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง

ใครชนะ?

นี่คือโค้ดกอล์ฟดังนั้นโค้ดที่สั้นที่สุดเป็นไบต์ (ต่อภาษา) ชนะ!

---

เมทริกซ์ที่เป็นบวกแน่นอนคืออะไร

เห็นได้ชัดว่ามีสูตรเทียบเท่ากัน 6 สูตรเมื่อเมทริกซ์สมมาตรเป็นบวกแน่นอน ฉันจะทำซ้ำสามคนง่ายขึ้นและอ้างอิงคุณถึงวิกิพีเดียสำหรับคนที่ซับซ้อนมากขึ้น

• ถ้า$\forall v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}: v^T Av>0$ดังนั้น$A$เป็นค่าบวกแน่นอน
  สิ่งนี้สามารถกำหนดสูตรใหม่ได้เช่น:
  หากสำหรับเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์$v$ผลิตภัณฑ์จุด (มาตรฐาน) ของ$v$และ$Av$เป็นค่าบวกดังนั้น$A$จะเป็นค่าบวกแน่นอน
• ให้$\lambda_i\quad i\in\{1,\ldots,n\}$เป็นค่าลักษณะเฉพาะของ$A$ , ถ้าตอนนี้$\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\lambda_i>0$ (นั่นคือค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นค่าบวก) จากนั้น$A$เป็นค่าบวกแน่นอน
  หากคุณไม่ทราบว่าค่าลักษณะเฉพาะคืออะไรฉันขอแนะนำให้คุณใช้เครื่องมือค้นหาที่คุณชื่นชอบเพื่อค้นหาเพราะคำอธิบาย (และกลยุทธ์การคำนวณที่จำเป็น) นั้นยาวเกินกว่าที่จะอยู่ในบทความนี้
• ถ้าCholesky-Decompositionของ$A$มีอยู่นั่นคือมีเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง$L$เช่นนั้น$LL^T=A$ดังนั้น$A$จะเป็นบวกแน่นอน โปรดทราบว่านี่เทียบเท่ากับการคืนค่า "เท็จ" แต่เนิ่น ๆ หากการคำนวณของรูทระหว่างอัลกอริทึมล้มเหลวเนื่องจากข้อโต้แย้งเชิงลบ

ตัวอย่าง

สำหรับการส่งออกจริง

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&5&0\\2&0&30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45\\2.45&9.37\end{pmatrix}$$

สำหรับผลลัพธ์ที่ผิดพลาด

(อย่างน้อยหนึ่งค่าลักษณะเฉพาะคือ 0 / บวกกึ่งแน่นอน)

$$\begin{pmatrix}3&-2&2\\-2&4&0\\2&0&2\end{pmatrix}$$

(ค่าลักษณะเฉพาะมีสัญญาณที่แตกต่างกัน / ไม่ จำกัด )

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

(ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดมีค่าน้อยกว่า 0 / ลบแน่นอน)

$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดน้อยกว่า 0 / ลบแน่นอน)

$$\begin{pmatrix}-2&3&0\\3&-5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดน้อยกว่า 0 / ลบแน่นอน)

$$\begin{pmatrix}-7.15&-2.45\\-2.45&-9.37\end{pmatrix}$$

(สามค่าบวกค่าลักษณะเฉพาะเชิงลบหนึ่งค่า / ไม่ จำกัด )

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45&1.23&3.5\\2.45&9.37&2.71&3.14\\1.23&2.71&0&6.2\\3.5&3.14&6.2&0.56\end{pmatrix}$$

C, 108 ไบต์

-1 byte ต้องขอบคุณ Logern
-3 bytes ขอบคุณไปที่ catcat

f(M,n,i)double**M;{for(i=n*n;i--;)M[i/n][i%n]-=M[n][i%n]*M[i/n][n]/M[n][n];return M[n][n]>0&(!n||f(M,n-1));}

ลองออนไลน์!

ดำเนินการกำจัดแบบเกาส์เซียนและตรวจสอบว่าองค์ประกอบแนวทแยงทั้งหมดเป็นค่าบวกหรือไม่ (เกณฑ์ของ Sylvester) อาร์กิวเมนต์nคือขนาดของเมทริกซ์ลบหนึ่ง

MATLAB / Octave , 19 17 12 ไบต์

@(A)eig(A)>0

ลองออนไลน์!

ฟังก์ชัน eig จัดเตรียมค่าลักษณะเฉพาะในลำดับจากน้อยไปหามากดังนั้นหากค่าลักษณะเฉพาะแรกมีค่ามากกว่าศูนย์

เจลลี่ , 11 10 ไบต์

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0

ใช้เกณฑ์ซิลเวสของ

ลองออนไลน์!

มันทำงานอย่างไร

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0  Main link. Argument: M (matrix)

   $Ƭ       Do the following until a fixed point is encountered.
Ṗ             Pop; remove the last row of the matrix.
 Ṗ€           Pop each; remove the last entry of each row.
     ÆḊ     Take the determinants of the resulting minors.
       Ṃ    Take the minimum.
        >0  Test if the least determinant is positive, i.e., if all determinants are.

R , 29 ไบต์

function(m)all(eigen(m)$va>0)

ลองออนไลน์!

---

ทางเลือกโดยใช้ cholesky:

R , 34 33 ไบต์

function(m)is.array(try(chol(m)))

ลองออนไลน์!

-1 ไบต์ขอบคุณ @Giuseppe

Haskell , 56 ไบต์

f((x:y):z)=x>0&&f[zipWith(-)v$map(u/x*)y|u:v<-z]
f[]=1>0

ลองออนไลน์!

โดยทั่วไปพอร์ตของคำตอบของ nwellnhof ดำเนินการกำจัดเกาส์เซียนและตรวจสอบว่าองค์ประกอบต่าง ๆ ในแนวทแยงมุมเป็นบวกหรือไม่

ล้มเหลวในการส่งออก falsey แรกเนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษ แต่ในทางทฤษฎีมันจะทำงานกับความแม่นยำที่ไม่มีที่สิ้นสุด ขอบคุณคำแนะนำของ Curtis Bechtelตอนนี้ผลลัพธ์ถูกต้องทั้งหมด

ภาษา Wolfram (Mathematica)ขนาด 20 ไบต์

0<Min@Eigenvalues@#&

ลองออนไลน์!

MATL , 4 ไบต์

Yv0>

ลองออนไลน์!

[3 -2 2; -2 4 0; 2 0 2]0$10^{-18}$ 18สิ่งนี้จึงล้มเหลวในกรณีทดสอบที่ผิดพลาดครั้งแรกเนื่องจากปัญหาความแม่นยำ ขอบคุณ Luis Mendo สำหรับการชี้ให้เห็นว่าอาเรย์ที่ไม่ว่างนั้นเป็นความจริงหากรายการทั้งหมดต่างจาก 0 ทำให้ประหยัด 1 ไบต์

Mathematica, 29 28 ไบต์

AllTrue[Eigenvalues@#,#>0&]&

คำจำกัดความ 2

Julia 1.0 , 28 ไบต์

using LinearAlgebra
isposdef

ลองออนไลน์!

---

Julia 0.6 , 8 ไบต์

isposdef

ลองออนไลน์!

MATL , 6 ไบต์

เป็นไปได้ที่จะทำโดยใช้ไบต์ที่น้อยลง @Mr Xcoder จัดการเพื่อหาคำตอบ 5 ไบต์ MATL !

YvX<0>

คำอธิบาย

Yv     compute eigenvalues
  X<   take the minimum
    0> check whether it is greather than zero

ลองออนไลน์!

เมเปิ้ล 33 ไบต์

(เช่น 2 เซ็นต์ของฉัน)

with(LinearAlgebra):
IsDefinite(A)

JavaScript (ES6)  99 95  88 ไบต์

วิธีการเช่นเดียวกับคำตอบของ nwellnhof ผลตอบแทน$0$ หรือ $1$.

f=(m,n=0,R=m[n])=>R?f(m,n+1)&R[m.map((r,y)=>y<n&&R.map((v,x)=>r[x]-=v*r[n]/R[n])),n]>0:1

ลองออนไลน์!