Hidoku NP สมบูรณ์หรือไม่

Hidoku เป็นตารางที่มีบางจำนวนเต็มก่อนที่เต็มไปตั้งแต่ 1 ถึง 2 เป้าหมายคือการหาเส้นทางของจำนวนเต็มต่อเนื่อง (จาก 1 ถึง ) ในตาราง ยิ่งคอนกรีตแต่ละเซลล์ของตารางจะต้องมีจำนวนเต็มที่แตกต่างกันตั้งแต่ 1 ถึงและแต่ละเซลล์ที่มีค่าจะต้องมีเซลล์เพื่อนบ้านที่มีค่า (สามารถเป็นแนวทแยงมุม) $n \times n$ $n^2$ $n^2$ $n^2$ $z ≠ n^{2}$ $z + 1$

NP ยากที่จะตัดสินว่า Hidoku ที่ให้นั้นสามารถแก้ไขได้หรือไม่? การลดขนาดไหนที่สามารถใช้ได้

แก้ไข: ตามความเห็นฉันให้ความกระจ่างเล็กน้อย รับเป็นตารางของเซลล์บางคนมีค่า (จำนวนเต็มจาก 1 ถึงn²) เราต้องเติมเซลล์ที่เหลือทั้งหมดที่มีจำนวนเต็มจาก 1 ถึงเช่นว่าไม่มีสองเซลล์มีค่าเดียวกันและว่าเซลล์ที่มีค่าทุกมีเพื่อนบ้านที่มีค่า1 นั่นคือหลังจากกรอกเซลล์ที่เราจะต้องพบเส้นทางที่ 2 ในตารางซึ่งเข้าชมแต่ละเซลล์อย่างมีเหตุผล $n^2$ $z ≠ n²$ $z + 1$ $1, 2, 3,\cdots, n^2$

ตัวอย่างของการ Hidoku woud จะhttp://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gif Hidoku ที่แก้ไขแล้วคือhttp://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20100810172340.gifที่ซึ่งคุณสามารถดูเส้นทางที่ฉันอ้างถึง

complexity-theory reductions np-hard

— IPSec
แหล่งที่มา

อย่างสังหรณ์ใจโดยไม่ต้องคิดมากมันจะฟังได้ในทันทีที่เห็นโพลีไทม์ บางอย่างเช่นการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกในค่าที่อนุญาต (

1, \dots, n^{2}

$1, \dots, n^2$ ) และจุดยอด (

v_{1}, \dots v_{n}

$v_1, \dots v_n$ ) เสียงการแก้ไขในเวลา

O (n^{3})

$O(n^3)$ 3)

— Pål GD

นี้สามารถจำลองเท่าเป็นกราฟที่เชื่อมต่อโหนดที่มีขอบหากพวกเขาเป็นผู้สืบทอดใน

N

$\mathbb{N}$ {N} จากนั้นคุณกำลังมองหาเส้นทางแฮมิลตัน ตามเส้นทางแฮมิลตันในกราฟกริดโดย Itai และคณะ (1982) ปัญหานี้คือปัญหา NP-complete ในกราฟกริด สิ่งนี้ไม่เหมาะกับปัญหาของคุณทันทีเนื่องจากคุณอนุญาตการเชื่อมต่อในแนวทแยง แต่ลางไม่ดี

— ราฟาเอล

@ ราฟาเอลไม่ใช่กราฟที่สร้างขึ้นเป็น DAG ใช่ไหม

— Pål GD

ฉันไม่เห็นว่านี่เป็น DAG อย่างไร เท่าที่ฉันเข้าใจอินพุตเป็นกราฟกริด (undirected) (ที่มีขอบแนวทแยงมุม) และเป้าหมายคือการหาเส้นทาง Hamiltonian ที่ซึ่งมีตำแหน่งของโหนดบางอันบนเส้นทาง

— George

@ George Okey ฉันตีความคำถามเพื่อค้นหาเส้นทางสูงสุดของการเพิ่มค่าในกริด!

— Pål GD

คำตอบ:

ฉันคิดว่ามันเป็นสมบูรณ์: ตามที่สังเกตโดย Raphael วงจร Hamiltonian บนกราฟกริดที่มีปัญหาหลุมคือ NP-complete ( Alon Itai, Christos H. Papadimitriou, Jayme Luiz Szwarcfiter: เส้นทาง Hamilton ใน Grid Grids คำนวณ 11 (4): 676-686 (1982 ) $\sf{NP}$

เมื่อให้กราฟกริดกับรูคุณสามารถสร้างเกม Hidoku ที่เทียบเท่าได้โดยที่เซลล์คงที่เริ่มต้นเติมเส้นทแยงมุมทั้งหมด diagonals แปลก ๆ ที่ว่างเปล่าสร้างกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางซึ่งเทียบเท่ากับกราฟกริดดั้งเดิมและ Hidoku มีวิธีแก้ปัญหาหากกราฟกริดดั้งเดิมมีเส้นทาง Hamiltonian $G$ $G$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

รูปที่ 1: กราฟกริดที่มีรูและปริศนา Hidokuกัน (เซลล์สีน้ำเงินแสดงเซลล์ที่มีหมายเลขคงที่เริ่มต้น (คืออันแรกคือเป็นครั้งสุดท้าย) เซลล์สีขาวเป็นเซลล์ที่ผู้เล่นต้องเติมสีม่วง บรรทัดระบุลำดับของเซลล์ที่มีหมายเลขคงที่เริ่มต้น) $12 \times 12$ $1$ $144$

สามารถเพิ่มบรรทัด Auxiliary (Fill) ลงในด้านล่างหรือด้านขวาเพื่อให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

อีกตัวอย่างหนึ่งของการลดขนาดจากกราฟกริดไปเป็นตัวต่อ Hidoku: กราฟกริดขนาด 6x4 ถูกฝังอยู่ในกริดขนาด 13x13 อันใหญ่กว่า เส้นทแยงมุมทั้งคู่จะถูกเติมด้วยจำนวนคงที่และเซลล์ว่างที่เหลือจะเทียบเท่ากับกราฟกริดเดิม

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ภาพที่เต็มไปด้วยการเปลี่ยนแปลงสามารถดาวน์โหลดได้ที่นี่

หมายเหตุเพิ่มเติมบางประการเพื่อตอบคำถามให้สมบูรณ์:

ปัญหายังเป็นที่รู้จักกันในนามHidato ; คณะกรรมการสามารถมีรูปร่างโดยพลการ (แต่เป็นลักษณะทั่วไปของกรณีสี่เหลี่ยมมันยังคง NP- ยาก);
เป็นหลักฐานอย่างถูกต้องโดยสตีเว่น Stadnicki ในคำตอบของเขาก็ไม่ได้เป็นที่ชัดเจนว่าปัญหาอยู่ใน NP ถ้าเริ่มต้นตารางที่เต็มไปด้วยบางส่วนไม่ได้รับเป็นอาร์เรย์ของจำนวนเต็ม แต่จะได้รับในบางรวบรัดตัวแทน; อย่างไรก็ตามมันชัดเจนใน NP หากบอร์ดเริ่มต้นให้ใช้รายการที่เหมาะสมของการเป็นตัวแทนจำนวนเต็ม; $n \times n$
ผมคิดว่ากฎระเบียบเดิมของเกมกล่าวว่าการแก้ปัญหาต้องไม่ซ้ำกัน ; ดังนั้นปัญหาอยู่ที่US (US-hard) และไม่น่าจะเป็น NP

โดยสรุปหากเราทิ้งข้อ จำกัด การแก้ปัญหาเฉพาะและระบุบอร์ดเริ่มต้นด้วยรายการจำนวนเต็มเกมคือ - สมบูรณ์ $n^2$ $\sf{NP}$

— Vor
แหล่งที่มา

นี่ไม่ใช่ DAG หรือ ฉันเข้าใจผิดคำถามทั้งหมดหรือไม่?

— Pål GD

@ PålGD: ไม่ฉันไม่คิดว่ามันเป็น DAG มันเป็นกราฟเส้นที่ไม่ได้บอกทิศทางด้วยเส้นทแยงมุม เกมเริ่มต้นด้วยคณะกรรมการที่เต็มไปด้วยบางส่วนและผู้เล่นจะต้องเริ่มต้นจากเซลล์ 1 และเข้าถึงคนสุดท้ายที่ทำตามขั้นตอนฉากหรือแนวทแยง ( แต่บางทีผมไม่ rememeber กฎได้เป็นอย่างดี ... ตอนนี้ฉันจะตรวจสอบได้)

— Vor

แต่มันบอกว่า "หาเส้นทางของจำนวนเต็มต่อเนื่อง"

— Pål GD

บางทีมันอาจหมายความว่ามันไม่สามารถเยี่ยมชมเซลล์เดียวกันสองครั้งและทุกเซลล์ต้องได้รับการเยี่ยมชม

— Vor

1

$1$

n^{2}

$n^2$

$n\times n$ $\Omega(n)$ $n$ $\lg n$ $(x_i, y_i, w_i): x_i, y_i\leq n, w_i\leq n^2$ $(x_i, y_i)$ $w_i$ $\lg n + \lg n + \lg n^2 = 4\lg n\in O(\lg n)$ $\Omega(n)$ $o(n)$

$\Omega(n)$

(สำหรับการอภิปรายของปัญหาที่คล้ายกันดูคำถามของฉันในขณะที่กลับมาเกี่ยวกับความซับซ้อนของ Nurikabe รวบรัดบนเว็บไซต์ cstheory.SE)

— Steven Stadnicki
แหล่งที่มา

การไม่ระบุขนาดกระดานเป็นเอกภาพทำให้ฉันตีความว่าไม่มีเหตุผล

— David Eisenstat

@DavidEisenstat มันไม่จำเป็นต้องเป็นการตีความตามธรรมชาติแต่ดูเหมือนว่าเป็นสิ่งที่ถูกต้องสำหรับฉัน

— Steven Stadnicki

@StevenStadnicki: ฉันเห็นด้วยกับคุณฉันทำบันทึกที่คล้ายกันในการพิสูจน์ปัญหา NP-ครบถ้วนสมบูรณ์ของ Binary Puzzleที่ฉันเพิ่งโพสต์เมื่อ cstheory.stackexchange.com แม้ว่าการเป็นตัวแทนที่ไม่ใช่เอกเทศก็ไม่สมเหตุสมผล :-) ฉันจะเพิ่มบันทึกย่อในคำตอบของฉัน และฉันควรแก้ไขปัญหาของความเป็นเอกลักษณ์ในการแก้ปัญหาด้วย เพราะฉันคิดว่ากฎดั้งเดิมบอกว่าการแก้ปัญหาควรไม่ซ้ำกัน

— Vor