ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นของ Integer ทั้งหมดเป็นปัญหาหรือไม่

ดังที่ฉันเข้าใจปัญหาการมอบหมายอยู่ใน P เนื่องจากอัลกอริทึมของฮังการีสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม - O (n ³ ) ฉันยังเข้าใจว่าปัญหาการกำหนดเป็นปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มแต่หน้า Wikipedia ระบุว่านี่คือ NP-Hard สำหรับฉันแล้วนี่แสดงว่าปัญหาการมอบหมายอยู่ใน NP-Hard

แต่แน่นอนปัญหาการมอบหมายไม่สามารถเป็นได้ทั้ง P และ NP-Hard มิฉะนั้น P จะเท่ากับ NP หรือไม่ หน้า Wikipedia หมายความว่าอัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหา ILP ทั้งหมดนั้นคือ NP-Hard หรือไม่? แหล่งข้อมูลอื่นไม่กี่แห่งระบุว่า ILP คือ NP-Hard ดังนั้นนี่จึงทำให้ฉันเข้าใจความซับซ้อนของคลาสที่ซับซ้อนโดยทั่วไป

หากปัญหาคือ NP-Hard แสดงว่ามีคลาสของอินสแตนซ์ของปัญหานั้นที่มี NP-Hard อยู่ มันเป็นไปได้อย่างสมบูรณ์แบบสำหรับคลาสที่เจาะจงของอินสแตนซ์อื่น ๆ ที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม

พิจารณาเช่นปัญหาการหา 3 สีของกราฟ มันเป็นปัญหา NP-Hard ที่รู้จักกันดี ทีนี้ลองจินตนาการว่าอินสแตนซ์ของมันถูก จำกัด เฉพาะกราฟที่เป็นต้นไม้ เห็นได้ชัดว่าคุณสามารถหาต้นไม้ 3 สีในเวลาพหุนาม (แน่นอนคุณสามารถหา 2 สี)

พิจารณาปัญหาการตัดสินใจในครั้งที่สอง วิธีการพิสูจน์ความแข็งของปัญหาการตัดสินใจ$P$กำลังวางแผนลดพหุนาม (Karp)จากปัญหาอื่น$Q$ที่เป็นที่รู้จักกันว่า NP-Hard ในการลดลงนี้คุณแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชั่นอยู่$f$ แผนที่แต่ละตัวอย่าง $q$ ของปัญหา $Q$ ไปยังอินสแตนซ์ของปัญหา $P$ ดังนั้น: $q$ เป็นตัวอย่างที่ใช่สำหรับ $Q \iff f(q)$ เป็นตัวอย่างที่ใช่สำหรับ $P$. นี่ก็หมายความว่าการแก้ปัญหา$f(q)$ จะต้อง "อย่างน้อยยาก" ในการแก้ปัญหา $q$ ตัวเอง

สังเกตว่ามันไม่จำเป็นสำหรับรูปภาพของ $f$ ให้เท่ากับชุดของอินสแตนซ์ของ $P$. ดังนั้นจึงเป็นไปได้อย่างสมบูรณ์แบบสำหรับปัญหา$P$ จำกัด เฉพาะบางส่วนของอินสแตนซ์ที่จะไม่ยาก

หากต้องการกลับไปที่คำถามดั้งเดิมของคุณ:

• ปัญหาการมอบหมายสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามนั่นคือคำตอบสำหรับแต่ละอินสแตนซ์ของปัญหาการมอบหมายสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม
• ILP คือ NP-Hard: โดยทั่วไปอาจเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของ ILP นั่นคือมีบางกรณีของ ILP ที่ยาก
• บางกรณีที่เฉพาะเจาะจงของ ILP สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม

ไม่ได้กรณีพิเศษสามารถทำได้ง่ายขึ้น

พิจารณา IP นี้ยกตัวอย่างเช่น $a_i \geq 0$ สำหรับ $i \in [1..n]$:

$\qquad\displaystyle \min \sum_{i=1}^n x_ia_i$

เซนต์ และสำหรับ[1..n]$\quad\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \geq 1$
$\ \displaystyle x_i \in \mathbb{N}$$i \in [1..n]$

พบว่าค่าต่ำสุดระหว่าง (ซึ่งเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ในการแก้ปัญหาที่ดีที่สุด) การค้นหาจำนวนน้อยของจำนวนเป็นปัญหาที่ชัดเจนว่าพหุนาม$a_1, \dots, a_n$$x_i=1$$n$

คุณสามารถสร้างแบบจำลองปัญหาที่แก้ไขได้แบบพหุนามเป็น IP นี่ไม่ได้หมายความว่าปัญหาคือปัญหา NP-hard มันก็หมายความว่าไม่มีอัลกอริทึมพหุนามรู้จักสำหรับการแก้ปัญหาแบบ IP ของคุณ (ยกเว้น P = NP)

ดังนั้นตามที่คุณแนะนำปัญหาการมอบหมายอยู่ใน P แต่โมเดล IP ของคุณคือ NP-hard

ไม่ได้มีโปรแกรมจำนวนเต็มชนิดพิเศษหากเมทริกซ์ข้อ จำกัด คือ TUM (เมทริกซ์ unimodular ทั้งหมด) จากนั้นก็สามารถผ่อนคลายในโปรแกรมเชิงเส้นซึ่งสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม

ปัญหาการมอบหมายไม่ใช่ ILP แต่เป็นปัญหา LP ดังนั้นจึงไม่ใช่ปัญหายาก