เหตุใดปัญหาทั้งหมดใน FPTAS จึงอยู่ใน FPT ด้วย

จากบทความของ Wikipedia เกี่ยวกับแผนการประมาณเวลาพหุนาม :

ปัญหาทั้งหมดใน FPTAS สามารถแก้ไขได้ซึ่งสามารถเลือกพารามิเตอร์ได้

ผลลัพธ์นี้ทำให้ฉันประหลาดใจ - ชั้นเรียนเหล่านี้ดูเหมือนจะแตกต่างจากที่อื่นอย่างสิ้นเชิง FPTAS อธิบายลักษณะปัญหาโดยการประมาณโดยง่ายขณะที่ FPT อธิบายลักษณะปัญหาด้วยความยากลำบากเมื่อเทียบกับพารามิเตอร์บางตัว น่าเสียดายที่ Wikipedia (ตามเวลาที่ฉันถามคำถามนี้) ไม่ได้ให้การอ้างอิงสำหรับเรื่องนี้

มีหลักฐานมาตรฐานของผลลัพธ์นี้หรือไม่? หรือมีแหล่งที่ฉันสามารถปรึกษาเพื่อเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการเชื่อมต่อนี้หรือไม่

— templatetypedef
แหล่งที่มา

นี่เป็นทฤษฎีบทของ Cai และ Chen (JCSS97) โดยระบุว่า " หากปัญหาการปรับ NP ให้เหมาะสมมีรูปแบบการประมาณเวลาแบบพหุนามอย่างสมบูรณ์จากนั้นจะเป็นการแก้ไขพารามิเตอร์ที่สามารถจัดการได้ง่าย " ดูบทความเกี่ยวกับการแก้ไขพารามิเตอร์ ปัญหาที่เกิดขึ้น

— Pål GD

และแน่นอนว่าในฐานะที่เป็นข้อพิสูจน์คุณจะได้รับ " ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด NP ที่ยากภายใต้การลดลงอย่างสม่ำเสมอไม่มีแผนการประมาณพหุนามแบบเต็มเวลายกเว้น $W[1]$ $W[1] = FPT$ "

— Pål GD

@ PålGD-แม้ว่ามันจะดูเหมือนว่าทางเลือกของการกำหนดพารามิเตอร์ค่อนข้างโดยพล; พวกเขาเลือกพารามิเตอร์ที่จะเป็นมูลค่าของทางออกที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาการป้อนข้อมูล ฉันคิดว่ามันใช้งานได้ดีในทางเทคนิคแม้ว่ามันจะไม่ได้ผลจริง

— templatetypedef

ลุคมาติสันให้คำตอบที่ดีมากด้านล่างและฉันคิดว่าพอเพียงที่จะตอบคำถามของคุณ

— Pål GD

จริงๆแล้วมีผลลัพธ์ที่ดีกว่า ปัญหาอยู่ในชั้นถ้ามันมีfptas ¹ : การ -approximation ทำงานในเวลา จำกัด โดย $\mathrm{FPTAS}$ $\varepsilon$ (เช่นพหุนามทั้งในขนาดและปัจจัยการประมาณ) มีคลาสทั่วไปมากกว่าซึ่งทำให้เวลาผ่อนคลายลงถึง $(n+\frac{1}{\varepsilon})^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{EPTAS}$ - โดยหลักแล้วคือเวลาการทำงานแบบเช่นเดียวกับปัจจัยการประมาณ $f(\frac{1}{\varepsilon})\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{FPT}$

เห็นได้ชัดว่าเป็นส่วนหนึ่งของและปรากฎว่าเป็นส่วนหนึ่งของในแง่ต่อไปนี้: $\mathrm{FPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

ทฤษฎีบท หากปัญหา NPO มี $\Pi$ eptas ดังนั้นแปรปรวนโดยค่าใช้จ่ายของการแก้ปัญหาเป็นพารามิเตอร์คงที่เวิ้งว้าง $\Pi$

ทฤษฎีและบทพิสูจน์ได้ให้ไว้ใน Flum & Grohe [1] ในฐานะทฤษฎีบท 1.32 (หน้า 23-24) และพวกมันให้ความสำคัญกับ Bazgan [2] ซึ่งวางไว้เมื่อสองปีก่อนผลลัพธ์ที่อ่อนแอของ Cai & Chen (แต่เป็นภาษาฝรั่งเศส รายงานทางเทคนิค).

ฉันจะให้ภาพร่างของการพิสูจน์เพราะฉันคิดว่ามันเป็นบทพิสูจน์ที่ดีของทฤษฎีบท เพื่อความเรียบง่ายฉันจะทำเวอร์ชันย่อเล็กสุดเพียงแค่ทำใจให้เหมาะกับการเพิ่มสูงสุด

$A$ $\Pi$ $A'$ $\Pi$ $k$ $(x,k)$ $A$ $x$ $\varepsilon := \frac{1}{k+1}$ $1+\frac{1}{k+1}$ $y$ $\text{cost}(x,y)$ $y$ $r(x,y)$ $y$ $\text{opt}(x)$ $\text{cost}(x,y) = r(x,y)\cdot \text{opt}(x)$

$\text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{opt}(x) \leq \text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{cost}(x,y) > k$ $r(x,y) \leq 1+\frac{1}{k+1}$ $A$

opt (x) = \frac{cost (x, y)}{r (x, y)} \geq \frac{k + 1}{1 + \frac{1}{k + 1}} > k

$\text{opt}(x) = \frac{\text{cost}(x,y)}{r(x,y)} \geq \frac{k+1}{1+\frac{1}{k+1}} > k$

$A'$ $A$ $\Box$

$\mathrm{FPT}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

เชิงอรรถ:

$\mathrm{FPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{PTAS}$ $\mathrm{NPO}$

[1]: J. Flum และ M. Grohe, Parityized Complexity Theory , Springer, 2006.
[2]: C. Bazgan Schémas d'approximation และcomplexitéparamétrée , Rapport de DEA, Université Paris Sud, 1995

— ลุคมาติสัน
แหล่งที่มา