การพิสูจน์แบบสั้นและลื่นไหลของทฤษฎีคู่ที่แข็งแกร่งสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

พิจารณาโปรแกรมเชิงเส้น

\begin{array}{ccc} P r i m a l : & A \vec{x} \leq \vec{b} & max {\vec{c}}^{T} \vec{x} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$

\begin{array}{ccc} D u a l : & \vec{c} \leq {\vec{y}}^{T} A & min {\vec{y}}^{T} \vec{b} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$

อ่อนแอรัฐคู่ทฤษฎีบทว่าถ้า $\vec{x}$ และ $\vec{y}$ ตอบสนองข้อ จำกัด แล้ว $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ {ข} มันมีหลักฐานที่สั้นและลื่นไหลโดยใช้พีชคณิตเชิงเส้น: $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ .

ทฤษฎีบททวิภาคีที่แข็งแกร่งระบุว่าถ้า $\vec{x}$ เป็นทางออกที่ดีที่สุดสำหรับปฐมนั้นมี $\vec{y}$ ซึ่งเป็นวิธีการแก้ปัญหาสำหรับคู่และ $\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$ {ข}

มีหลักฐานที่สั้นและลื่นไหลในทำนองเดียวกันสำหรับทฤษฎีบททวิภาคีที่แข็งแกร่งหรือไม่?

— Kaveh
แหล่งที่มา

บทที่ 4 ของหลักสูตรออนไลน์ MIT ของweb.mit.edu/15.053/wwwโดยแบรดลีย์, แฮ็ก, และแมกนันติแสดงหลักฐานสั้น ๆ ตามแนวนี้ นี่คือสิ่งที่คุณกำลังมองหา?

— ดี้

@ โคดีดูเหมือนว่าจะเป็นหลักเหมือนกับ CLRS มันสามารถใช้ได้ถ้าคุณสามารถแสดงมันในวิธีพีชคณิตเชิงเส้นเรียบ (เช่นไม่มีผลรวม)

— Kaveh

ดูเหมือนว่าสิ่งที่ฉันต้องการอาจเป็นไปไม่ได้ Farkas ใช้การปิดพื้นที่ซึ่งหมายความว่าอาจไม่มีการพิสูจน์พีชคณิตเชิงเส้นบริสุทธิ์

— Kaveh

พยายามหาบางอย่างที่ไม่ยุ่งยากเกินไปเพื่อแสดงให้นักเรียนเห็น (ดังนั้นพวกเขาไม่จำเป็นต้องมีความเชื่อมั่นเป็นอย่างมาก) และสิ่งที่ฉันได้เจอส่วนใหญ่เป็นเรื่องที่ยุ่งยากเกินไป เพิ่งพบข้อโต้แย้งในบันทึกจากคลาสของ Dan Spielman ซึ่งค่อนข้างสั้นและเรียบง่าย ไม่แน่ใจว่าซ่อนความซับซ้อนหรือไม่ (ยังไม่ได้ตรวจสอบอย่างละเอียดพอที่จะบอกได้) cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect12.pdf

— Magnus Lie Hetland

อาฉันคิดว่าจุดศูนย์กลางคือการตีความทางเรขาคณิตในการบรรยายครั้งก่อนซึ่งพาเรากลับไปยังครอบครัวพิสูจน์ Simplex: cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect11/lect11.pdf

— Magnus Lie Hetland

อาจจะไม่. นี่คือการโต้แย้งแนวคิดตาม

Farkas Lemma : หนึ่งในตัวเลือกต่อไปนี้มีวิธีแก้ไข:

$Ax \le b$ และ $x \ge 0$

$y^TA\ge 0$ และ $y^Tb < 0$

ตอนนี้ให้เป็นค่าวัตถุประสงค์ที่เหมาะสมที่สุดของ primal ให้ผิดพลาด ให้ เป็นด้วยเป็นแถวสุดท้าย ให้เป็นด้วยส่วนเพิ่มเติมเป็นค่าสุดท้าย $\delta$ $\epsilon > 0$ $A'$ $A$ $-c^T$ $b'$ $b$ $-\delta - \epsilon$

ระบบไม่มีทางออก โดย Farkas มีเช่นนั้น: $A'x'\le b'$ $y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$ และ epsilon) $y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

โปรดทราบว่าถ้าเราอยู่ในทางเลือกอื่นของ Farkas ดังนั้น0 $\epsilon = 0$ $\alpha > 0$

ชั่งเพื่อให้1 เป็นไปได้คู่ เป็นคู่ที่อ่อนแอหมายถึง\ $y'$ $\alpha = 1$ $y$ $\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$

— หลุยส์
แหล่งที่มา

ผมคิดว่านี่เป็นหลักฐานในเจฟฟ์เอริกเอกสารประกอบการบรรยาย ฉันกำลังมองหาบางอย่างที่หลีกเลี่ยงสิ่งเอปไซลอน (เช่นพีชคณิตเชิงเส้นบริสุทธิ์)

— Kaveh

สิ่งที่เจฟอีมีแตกต่างกันเล็กน้อยและอธิบายรูปทรงเรขาคณิตได้มากขึ้น อย่างไรก็ตามคุณจะไม่พบสิ่งที่คุณต้องการในแง่ที่ว่าพื้นที่ที่เป็นไปได้นั้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมไม่ใช่พื้นที่เชิงเส้นดังนั้นในที่สุดบางสิ่งก็จำเป็นต้องใช้ประโยชน์ (นี่มันซ่อนตัวอยู่ใน Farkas หนังสือของGärtnerและMatoušekเป็นการอ้างอิงที่ดีมากสำหรับสิ่งนี้ฉันค่อนข้างแน่ใจว่ามีหลักฐานนี้อยู่)

— Louis