เราสามารถสร้างการลด Karp จากการลด Cook ระหว่างปัญหา NP ได้หรือไม่?

เรามีหลายคำถามเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของการปรุงอาหารและการลดคาร์พ เป็นที่ชัดเจนว่าการลด Cook (การลดจำนวนพหุนามพหุนามเวลา) ไม่ได้กำหนดแนวความคิดความสมบูรณ์แบบเดียวกับการลด Karp (การลดจำนวนพหุนามเวลาหลายครั้ง) ซึ่งมักใช้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการลด Cook ไม่สามารถแยก NP จาก co-NP แม้ว่า P NP ดังนั้นเราไม่ควรใช้ Cook Reduction ในการพิสูจน์การลดลงโดยทั่วไป$\neq$

ตอนนี้นักเรียนพบงานที่ได้รับการตรวจสอบโดยเพื่อน [1] ที่ใช้การลด Cook เพื่อแสดงว่าปัญหานั้นยากลำบาก ฉันไม่ได้ให้คะแนนเต็มกับพวกเขาสำหรับการลดที่พวกเขาทำจากที่นั่น แต่ฉันสงสัย

เนื่องจากการลดลงของ Cook ทำให้นิยามความแข็งคล้ายกันกับการลด Karp ฉันรู้สึกว่าพวกเขาควรจะแยก P ออกจาก NPC resp co-NPC โดยสมมติว่า P NP โดยเฉพาะอย่างยิ่ง (คล้าย) ต่อไปนี้ควรเป็นจริง:$\neq$

$\qquad\displaystyle L_1 \in \mathrm{NP}, L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}, L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1 \implies L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}${คาร์พ}}

นักเก็ตที่สำคัญคือดังนั้นการหลีกเลี่ยงความรู้สึกไวที่กล่าวมาข้างต้นจะถูกหลีกเลี่ยง ตอนนี้เรา "รู้" - ตามคำนิยามของ NPC - ที่L_1L 2 ≤ K a r p L $L_1 \in \mathrm{NP}$$L_2 \leq_{\mathrm{Karp}} L_1$

ดังที่ได้รับการบันทึกโดย Vorมันไม่ง่ายเลย (ดัดแปลงจากรูปแบบ):

สมมติว่าจากนั้นตามคำนิยามสำหรับทุกภาษาเรา มี ; และถ้าความหมายข้างต้นเป็นจริงแล้วและซึ่งยังคงเป็นคำถามเปิด L 2 ∈ N P C K R พี ⊆ N P L 2 ≤ C o o k L 1 L 1 ∈ N P C K R P N P C K R P = N P C C o o $L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Cook}}$$L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}} \subseteq \mathrm{NP}$$L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1$$L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$$\mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}} = \mathrm{NPC}_{\mathrm{Cook}}$

อาจมีความแตกต่างอื่น ๆ ระหว่าง NPC สองตัว แต่เป็น co-NP

ความล้มเหลวนั้นมีเงื่อนไขใด ๆ ที่รู้ (ไม่สำคัญ) เมื่อมีการปรุงอาหารโดยนัยหมายถึง Karp-NP- ความแข็งนั่นคือเรารู้ predicatesด้วยหรือไม่$P$

$\qquad\displaystyle L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}, L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1, P(L_1,L_2) \implies L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$ ?

1. ในความซับซ้อนของการจัดตำแหน่งหลายลำดับโดย L. Wang และ T. Jiang (1994)

มันเป็นปัญหา TCS แบบเปิดโดยทั่วไปภายใต้การวิจัยอย่างต่อเนื่องว่า & เงื่อนไขที่แน่นอนการลดลงของ Cook & Karp นั้นเท่ากันและเห็นได้ชัดว่าเกี่ยวข้องกับคำถาม NP =? coNP แบบเปิดและการแยกชั้นความซับซ้อนอื่น ๆ เช่น E =? NE (wrt sparse language)

ต่อไปนี้เป็นบทความวิจัยสองเรื่องเกี่ยวกับเรื่อง & นำไปสู่ ​​tcs.se ผ่านคำถามที่คล้ายกัน:

• Cook และ Karp เหมือนกันไหม? Beigel, Fortnow

• คุกกับคาร์ป - เลวิน: การแยกความเชื่อที่สมบูรณ์ถ้า NP ไม่เล็ก (1995) Lutz, Mayordomo

• การลดลงหนึ่งครั้งเทียบกับการลดอัตราทัวริงเพื่อกำหนด NPC , tcs.se

โดยทั่วไปแล้วในการเปลี่ยนปัญหา Cook-complete ให้เป็นปัญหาที่สมบูรณ์โดย Karp จะต้องมีบางสิ่งที่พิเศษสำหรับภาษานั้น ๆ

ตัวอย่างเช่นแม้แต่รุ่นที่ จำกัด ของการลดคุกคือการลดเชิงลบ (ลดไปหนึ่งตัวอย่างเช่น Karp ทำขอคำตอบแล้วลบล้าง) จะต้องมีสิ่งพิเศษในภาษา$L$ที่จะกลายเป็นลดคาร์มาตรฐานได้อย่างง่ายดาย

เราสามารถพูดได้ว่าถ้า$L$มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ :

ในกรณีของ$x$เราสามารถในเวลาพหุนามสร้าง$x'=f(x)$เช่น$L(x)\neq L(x')$ )

ดังนั้นเราสามารถมีการลดคาร์ปมาตรฐานโดยการลดครั้งแรกถึง$g(x)$โดยการลดเชิงลบจากนั้นจึงส่งออก$f(g(x))$ )

อย่างที่คุณเห็นคุณสมบัติเหล่านี้มักจะไม่เห็นในทฤษฎีความซับซ้อนทฤษฎีการคำนวณ สรุปแล้วมันไม่น่าเป็นไปได้อย่างยิ่งที่จะเปลี่ยน Cook เป็น Karp