มีคลาสความซับซ้อนที่สร้างขึ้นพร้อมตัวเลขจริงหรือไม่?

เมื่อเร็ว ๆ นี้นักเรียนคนหนึ่งขอให้ฉันตรวจสอบหลักฐานความแข็ง NP สำหรับพวกเขา พวกเขาทำการลดตามแนวของ:

ฉันลดปัญหานี้ที่เป็นที่รู้จักกันว่า NP-complete กับปัญหาPของฉัน(ด้วยการลดโพลีเวลาหลายโพลี) ดังนั้นPคือ NP-hard$P'$$P$$P$

คำตอบของฉันเป็นพื้น:

เนื่องจากมีอินสแตนซ์ที่มีค่าจากRจึงไม่มีการคำนวณทัวริงเล็กน้อยดังนั้นคุณสามารถข้ามการลดลงได้$P$$\mathbb{R}$

ในขณะที่เป็นจริงอย่างเป็นทางการฉันไม่คิดว่าวิธีการนี้มีความชาญฉลาด: เราต้องการที่จะได้รับ "ความซับซ้อนโดยธรรมชาติ" ของการตัดสินใจที่มีคุณค่าจริง ๆ (หรือการเพิ่มประสิทธิภาพ) ปัญหาโดยไม่คำนึงถึงข้อ จำกัด ที่เราเผชิญ หมายเลข; การตรวจสอบปัญหาเหล่านี้เป็นอีกวัน

แน่นอนว่ามันไม่ง่ายเหมือนการพูดเสมอว่า "ผลรวมย่อยของเซ็ตย่อยไม่สมบูรณ์ดังนั้นรุ่นต่อเนื่องคือ 'NP-hard' เช่นกัน" ในกรณีนี้การลดลงทำได้ง่าย แต่มีกรณีที่โด่งดังของรุ่นต่อเนื่องที่ง่ายขึ้นเช่นการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและจำนวนเต็ม

มันเกิดขึ้นกับฉันว่ารุ่น RAM นั้นขยายไปถึงจำนวนจริง อนุญาตให้ทุก register เก็บหมายเลขจริงและขยายการดำเนินงานขั้นพื้นฐานตามลำดับ รูปแบบค่าใช้จ่ายสม่ำเสมอยังคงสมเหตุสมผล - ในกรณีที่ไม่ต่อเนื่องในขณะที่แบบลอการิทึมไม่มี

ดังนั้นคำถามของฉันถึง: มีการกำหนดความซับซ้อนของปัญหาที่มีคุณค่าจริงหรือไม่? พวกเขาเกี่ยวข้องกับคลาสที่ไม่ต่อเนื่อง "มาตรฐาน" อย่างไร

^{การค้นหาของ Google ให้ผลลัพธ์บางอย่างเช่นนี้แต่ฉันไม่มีวิธีบอกสิ่งที่สร้างขึ้นและ / หรือมีประโยชน์และสิ่งที่ไม่}

ใช่. มี

มีรุ่น real-RAM / BSS ที่กล่าวถึงในคำตอบอื่น ๆ โมเดลมีปัญหาบางอย่างและ AFAIK ไม่มีกิจกรรมการวิจัยเกี่ยวกับเรื่องนี้มากนัก เนื้อหามันไม่ได้เป็นรูปแบบที่มีเหตุผลของการคำนวณ

แนวคิดที่ใช้งานได้จริงของการคำนวณจริงคือโมเดลการคำนวณชนิดที่สูงขึ้น แนวคิดพื้นฐานคือคุณกำหนดความซับซ้อนสำหรับฟังก์ชั่นประเภทที่สูงขึ้นแล้วใช้ฟังก์ชั่นประเภทที่สูงขึ้นเพื่อเป็นตัวแทนของจำนวนจริง

การศึกษาความซับซ้อนของฟังก์ชันประเภทที่สูงกว่ากลับไปที่ [1] เป็นอย่างน้อย สำหรับการทำงานล่าสุดตรวจสอบเอกสารAkitoshi Kawamuraเกี่ยวกับความซับซ้อนของผู้ปฏิบัติงานจริง

การอ้างอิงแบบดั้งเดิมสำหรับความซับซ้อนของฟังก์ชั่นที่แท้จริงคือหนังสือของ Ker-I Ko [2] บทที่ 6 ยิ่งล่าสุดหนังสือโดย Klause Weihrauch [3] ยังกล่าวถึงความซับซ้อนของการคำนวณจริง (แต่มันก็เน้นไปที่การคำนวณมากกว่าความซับซ้อน)

• [1] สตีเฟ่นคุกและบรูซแคปรอน "ลักษณะของฟังก์ชันพื้นฐานที่เป็นไปได้ของประเภท จำกัด ", 1990

• [2] Ker-I Ko, "ความซับซ้อนในการคำนวณของฟังก์ชั่นของจริง", 1991

• [3] Klaus Weihrauch '"การวิเคราะห์ที่คำนวณได้", 2000

แบบจำลองที่คุณอธิบายนั้นเรียกว่าแบบจำลองBlum-Shub-Smale (BSS) (เช่นรุ่น Real RAM) และใช้เพื่อกำหนดคลาสความซับซ้อน

บางปัญหาที่น่าสนใจในโดเมนนี้เป็นชั้นเรียน , N P Rและแน่นอนคำถามที่ว่าP R = N P R โดยP Rเราหมายถึงปัญหาคือการตัดสินใจแบบพหุนาม, N P Rคือปัญหาที่สามารถตรวจสอบได้ทางพหุนาม มีคำถามที่แข็ง / ครบถ้วนเกี่ยวกับคลาสที่มีN P R ตัวอย่างของปัญหาที่สมบูรณ์แบบN P RคือปัญหาของQ P S , ระบบพหุนาม Quadratic ซึ่งอินพุตเป็นพหุนามจริงใน$P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$NP_R$$NP_R$$QPS$ตัวแปรและ P 1 , . . , P n ⊆ R [ x 1 , . . , x n ]ของระดับสูงสุด 2 และพหุนามแต่ละอันมีตัวแปรได้สูงสุด 3 ตัว คำถามว่ามีวิธีการแก้ปัญหาที่พบบ่อยจริง R nเช่นว่าพี1 ( ) , P 2 ( ) , . . p n ( a ) = $m$$p_1, ..., p_n$ $\subseteq$ $R[x_1, ..., x_n]$$R^n$$p_1(a), p_2(a), ... p_n(a) = 0$. นี่เป็นปัญหาที่สมบูรณ์แบบ$NP_R$

แต่ที่น่าสนใจยิ่งกว่านั้นก็คืองานบางอย่างเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่าง , (หลักฐานพิสูจน์ได้แบบ Probalistically Checkable) เหนือ Reals เช่นคลาสP C P Rและวิธีการที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองการคำนวณพีชคณิต โมเดล BSS หันหน้าไปทางN P ส่วนเกินทั้งหมด นี่คือมาตรฐานในวรรณคดีและสิ่งที่เรารู้ในวันนี้คือN P Rมี "การพิสูจน์แบบยาวที่โปร่งใส" และ "การพิสูจน์แบบสั้นแบบโปร่งใส" โดย "การพิสูจน์แบบยาวโปร่งใส" ข้อมูลต่อไปนี้ถูกบอกเป็นนัย: N P Rมีอยู่ในP C P R ( p o l $PCP$$PCP_R$$NP$$NP_R$$NP_R$$PCP_R(poly, O(1))$. นอกจากนี้ยังมีส่วนขยายที่กล่าวว่า "รุ่นสั้นเกือบ (โดยประมาณ)" ก็เป็นจริงเช่นกัน เราสามารถทำให้เสถียรของการพิสูจน์และตรวจจับความผิดพลาดได้โดยการตรวจสอบส่วนประกอบ (ของจริง) น้อยกว่ามากหรือไม่? สิ่งนี้นำไปสู่คำถามเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของศูนย์สำหรับ (ระบบของ) ชื่อพหุนามแบบไม่รวมที่กำหนดโดยโปรแกรมเส้นตรง นอกจากนี้เรายังหมายถึง "การพิสูจน์ความโปร่งใสที่ยาวนาน"$n$

1. "โปร่งใส" - เท่านั้นต้องอ่าน ( 1 )เท่านั้น$O(1)$

2. long - polynomial จำนวนมากของส่วนประกอบจริง

$3SAT$$FP$$NP_R$$NP_R$ $=$ $co\text{-}NP_R$

While thinking of the class $NP_R$, there are counting classes also defined to allow for reasoning about polynomial arithmetic. While $\#P$ is the class of functions $f$ defined over $\{0,1\}^\infty$ $\rightarrow$ $\mathbb{N}$ for which there exists a polynomial time Turing machine $M$ and a polynomial $p$ with the property that $\forall n$$\in$$\mathbb{N}$, and $x$$\in$$\{0,1\}^{n}$, $f(x)$ counts the number of strings $y \in$$\{0,1\}^{p(n)}$that the Turing Machine $M$ accepts $\{x,y\}$. For reals we extend this idea there are additive BSS machines - BSS machines that do only addition, and multiplications (no divisions, no subtractions). With additive BSS machines(nodes in computation only allow addition, and multiplication) the model for $\# P$ becomes one in which the count is over the vectors that the additive BSS machines accepts. So, the counting class is $\#P_{add}$ this class is useful in the study of Betti numbers, and also the Euler characteristic.