การหาพยานนั้นเป็นเรื่องยากลำบากแม้ว่าเราจะรู้แล้วว่ามีพยานอยู่หรือเปล่า?

10

ตัวอย่างทั่วไปของปัญหา NP-hard (clique, 3-SAT, cover vertex, ฯลฯ ) เป็นประเภทที่เราไม่ทราบว่าคำตอบคือ "ใช่" หรือ "ไม่" ล่วงหน้า

สมมติว่าเรามีปัญหาที่เรารู้ว่าคำตอบคือใช่นอกจากนี้เราสามารถตรวจสอบพยานในเวลาพหุนาม

เราสามารถหาพยานในเวลาพหุนามได้หรือไม่? หรือ "ปัญหาการค้นหา" นี้เป็นปัญหาหรือไม่

complexity-theory np-hard search-problem

— ปริญญาโทบริหารธุรกิจ
แหล่งที่มา

1

มันไม่น่าเป็นไปได้ สามารถ PPAD- ยากแม้ว่า

— RB

ผมไม่ทราบว่านี้เป็นเรื่องบังเอิญหรือไม่ แต่บล็อกโพสต์นี้ถูกโพสต์วันนี้: ... เตือนว่าปัญหาการค้นหาทั้งหมดไม่ได้ NP-สมบูรณ์

— Pål GD

6

TFNP เป็นคลาสของฟังก์ชันที่มีหลายค่าพร้อมค่าที่ตรวจสอบความถูกต้องและรับประกันว่ามีอยู่

มีปัญหาใน TFNP ที่เสร็จสมบูรณ์ FNP ถ้าหาก NP = co-NP ดูที่ Theorem 2.1 in:

Nimrod Megiddo และ Christos H. Papadimitriou 2534 ในหน้าที่ทั้งหมดทฤษฎีการดำรงอยู่และความซับซ้อนในการคำนวณ theor คอมพิวเต วิทย์ 81, 2 (เมษายน 1991), 317-324 DOI: 10.1016 / 0304-3975 (91) 90200-L

และการอ้างอิง [6] และ [11] ภายใน รูปแบบไฟล์ PDF ที่มีอยู่ที่นี่

— ราหุลซาวานี
แหล่งที่มา

2

ไม่คุณไม่สามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้ในเวลาพหุนามแม้ว่าคุณจะรู้ว่ามีทางออกก็ตาม

ตามที่คันนา, ลิเนียลและซาฟรา [1] (ดูย่อหน้าที่ 3) มันตามมาจากงานคลาสสิกปี 1972 ของคาร์ปว่าการวาดกราฟ 3 สีที่มี 3 สีนั้นคือ NP-hard (งานของพวกเขาขยายออกไปเพื่อแสดงให้เห็นว่ากราฟ 3 สี 4 สียังคงเป็นปัญหาที่ยาก)

ทราบว่านี้ไม่ได้ขัดแย้งกับคำตอบโดยราหุลซาวานี นี่เป็นเพราะสำหรับความสัมพันธ์แบบไบนารีทั้งหมดใน FNP เราต้องสามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามหากอยู่ในความสัมพันธ์ เนื่องจากการตัดสินใจว่ากราฟ 3-colorable ที่มี 3 สีคือ NP-complete มันไม่น่าเป็นปัญหาในการค้นหา 4-colouring ในกราฟ 3-colorable ที่อยู่ใน FNP เนื่องจากเราไม่สามารถตรวจสอบความถูกต้องของอินพุตในเวลาพหุนาม . ดังนั้นจึงไม่มีความขัดแย้งกับผลลัพธ์ของ Megiddo-Papadimitriou $P$ $P(x,y)$ $x$

[1] Khanna, Sanjeev, Nathan Linial และ Shmuel Safra "ความแข็งของการประมาณค่าสี" ทฤษฎีและระบบคอมพิวเตอร์, 1993. , การประชุมทางวิชาการครั้งที่ 2 ของอิสราเอลใน IEEE, 1993

— Juho
แหล่งที่มา

1

ถ้าความสัมพันธ์ NP เป็น NP-hard เทียบกับ
การลดพหุนามพหุนามเวลา - พหุนามร่วมเท่านั้น $\: NP = coNP \;$ .

หลักฐาน:

หากความสัมพันธ์ NP เป็น NP-hard เทียบกับ yes-answer-only
co-nondeterministic polynomial-time การลดทัวริง

ให้เป็นเช่นความสัมพันธ์ที่ยากและให้จะร่วม nondeterministic ลดทัวริงพหุนามเวลาใช่คำตอบเดียวจากเพื่อR $R$ $M'$ $SAT$ $R$ $\:$ ให้เป็นอัลกอริทึม coNP ที่กำหนดโดย: $M$
$\;$ พยายามที่จะแยกการต่อต้านใบรับรองที่ถูกกล่าวหาเป็นใบรับรองภายในและการตอบสนอง
$\;$ ถ้าสิ่งนั้นล้มเหลวก็ให้ส่งออก YES, พยายามที่จะเรียกใช้บน anti-certificate ด้านในโดยให้ $M'$
$\;$ การตอบสนองเช่นเดียวกับที่ได้รับมาก่อนสำหรับการสอบถามซ้ำและการใช้การตอบสนองจาก
$\;$ anti-certificate (outer) สำหรับการสอบถาม oracle อื่น ๆ ทั้งหมด $\:$ ถ้าจะทำให้ชัดเจนมากขึ้น $M'$
$\;$ แบบสอบถามมากกว่าจำนวนการตอบกลับหรือข้อความค้นหาใด ๆ จะไม่เกี่ยวข้องกับถึง $R$
$\;$ การตอบสนองของแบบสอบถามนั้นหรือจะเอาท์พุท YES, เอาท์พุท YES, มิฉะนั้นเอาท์พุท NO ตั้งแต่การเป็น Oracle สำหรับเพียงแค่กำหนดเงื่อนไขอิสระเกี่ยวกับการตอบสนอง oracle ของ และการลดลงใช่คำตอบเดียวคู่แบบสอบถามการตอบสนองที่ผลิตโดย ที่ถูกต้องและป้องกันใบรับรองจะสามารถขยายไปยัง Oracle สำหรับดังนั้นจึงแก้ $M'$ $M$ $M$
$R$
$M'$ $M'$
$R$ $M$ $SAT\hspace{-0.02 in}$ .
ดังนั้น $\: SAT\in coNP \;$ .
เนื่องจากคือ -hard ที่เกี่ยวกับการลดจำนวนพหุนามแบบกำหนดเวลา $SAT$ $NP$ $\: NP\subseteq coNP \;$ .
โดยสมมาตร $\: coNP \subseteq NP \;$ . $\;\;\;\;$ ดังนั้น $\: NP = coNP \;$ .

ดังนั้นหากความสัมพันธ์ NP เป็น NP-hard ด้วยความเคารพใช่ - คำตอบเท่านั้น
ร่วมลดพหุนามพหุนาม - nondeterministic เวลาทัวริงแล้ว $\: NP = coNP \;$ .

1

ฉันไม่เข้าใจสิ่งนี้ คุณสามารถกำหนด "การลดพหุนามร่วมแบบพหุนาม - เวลา - ร่วม - ลดมลทินทัวริง", "แอนตี้ - ออกใบรับรอง" และยังชี้แจงว่า

เป็นอะไรกันแน่ ("การลดจาก R SAT" ไม่สมเหตุสมผลสำหรับฉัน)?

M^{'}

$M'$

— Sasho Nikolov

"ใช่ - คำตอบเท่านั้น - พหุนาม - ลด - ทัวริงร่วมทัวริงทัวริงลด" เป็นเครื่องจักร oracle coNP oracle ซึ่งเป็นสิ่งที่จะลดลงพยากรณ์เช่นนั้นจะไม่สอบถามในพยากรณ์ที่ไม่มีขนาดพหุนาม - สตริงว่าแบบสอบถามที่เกี่ยวข้องกับโดยR

R

$R$

$\:$ (ต่อ ... )

$\;\;\;\;$

(... ต่อไป)

$\:$ แอนตี้ - ใบรับรองคืออะนาล็อกของใบรับรองโดยมี YES และ NO interchanged

$\:$

คือการลดที่กล่าวถึงในประโยคที่นำ

'

M^{'}

$M'$

M^{'}

$M'$

$\:$ (ฉันแก้ไขตัวพิมพ์ผิดเมื่อสิ้นสุดประโยคนั้น)

$\;\;\;\;$

1

นี้ขึ้นเล็กน้อยในการตีความแม่นยำของคำถามของคุณ แต่ผมคิดว่าสถานการณ์ของคุณสามารถอธิบายโดยทั่วไปเป็นปัญหา 'คำนวณ Y' ที่ได้รับบางขั้นตอนวิธีการแก้ไขในระดับสากลพหุนามเวลาและพหุนามในการป้อนข้อมูลเอาท์พุท สตริงเช่นว่าขาออก 1 และอยู่เสมอสำหรับเป็นไปได้ทั้งหมดx $T$ $p$ $\langle x, 1^n \rangle$ $y \in \{0,1\}^{p(n)}$ $T(x,y,1^n)$ $y$ $x$

คำถามหนึ่งอาจเป็นได้ว่าอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับ 'COMPUTE Y' แสดงถึง $P = NP$

ในกรณีนี้สมมติว่าคุณสามารถแก้ (พูด) 3SAT ในเวลาพหุนามด้วยจำนวนการเรียกไปยัง oracle ที่แก้ไข 'COMPUTE Y' ได้อย่างคงที่นั่นคืออัลกอริทึมที่ iff เป็นที่พอใจมิฉะนั้น พลิกบิตเอาต์พุตเพื่อรับอัลกอริทึมที่ iff เป็นที่พอใจและถ้า $A$ $A(\phi) = 1$ $\phi$ $A(\phi)=0$ $\bar{A}$ $\bar{A}(\phi) = 0$ $\phi$ $\bar{A}(\phi) = 1$ $\phi$ ไม่น่าพอใจ

แปลงขั้นตอนวิธีนี้ (ซึ่งใช้ Oracle สำหรับ 'คำนวณ Y') ที่เป็นอัลกอริทึม nondeterministic (ที่ใช้ไม่มีออราเคิล) แค่เปลี่ยนการโทรแต่ละ oracle กับการคาดเดา nondeterministic ของที่คุณสามารถตรวจสอบกับการเรียกไปยังTตอนนี้คุณมีอัลกอริทึมแบบ nondeterministic ซึ่งตัดสินใจอินสแตนซ์ 3CNF ที่ไม่น่าพอใจได้สำเร็จดังนั้น $\bar{A}$ $y$ $T$ $NP = coNP$

เช่นกันถ้าที่แสดงให้เห็นว่าทุกปัญหาฉบับสมบูรณ์ (เช่น -clique หรือ 3SAT) มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่มีปัญหาการตัดสินใจเป็นเรื่องง่าย (เสมอ 'ใช่') ยังมีรุ่นค้นหาเป็น -hard $NP = coNP$ $NP$ $k$ $NP$

— Joe Bebel
แหล่งที่มา