ชุด NP-complete เกิดขึ้นจากชุดอื่นสองชุดหากอย่างน้อยหนึ่งชุด NP-hard หรือไม่

คำถามนี้ค่อนข้างจะสนทนากับคำถามก่อนหน้านี้ในชุดที่เกิดขึ้นจากการดำเนินงานชุดในชุดสมบูรณ์ NP:

หากชุดที่เป็นผลมาจากการรวมกันการแยกหรือผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของสองชุด decidable และเป็น NP-complete อย่างน้อยหนึ่งจำเป็นต้อง NP-hard หรือไม่ ฉันรู้ว่าพวกเขาทั้งคู่ไม่สามารถอยู่ใน P (สมมติว่า P! = NP) เนื่องจาก P ถูกปิดภายใต้การดำเนินการที่กำหนดไว้เหล่านี้ ฉันก็รู้ว่าเงื่อนไขของ "decidable" และ "NP-hard" เป็นสิ่งจำเป็นเนื่องจากถ้าเราพิจารณาชุด NP ที่สมบูรณ์และชุดอื่นนอก NP (ไม่ว่าจะเป็น NP-hard หรือ undecidable) เราสามารถสร้างสองรูปแบบใหม่ได้ ชุด NP-hard ไม่ได้อยู่ใน NP ซึ่งเป็นจุดตัดของ NP-complete ตัวอย่างเช่น: และ00B อย่างไรก็ตามฉันไม่ทราบวิธีการดำเนินการหลังจากนั้น $L_1$ $L_2$ $L_1, L_2$ $L$ $B$ $L_1:= 01L \cup 11B$ $L_2:= 01L \cup 00B$

ฉันคิดว่ากรณีของสหภาพอาจจะไม่เป็นจริงนับตั้งแต่ที่เราสามารถใช้ชุด NP-สมบูรณ์และดำเนินการก่อสร้างใน Ladner ทฤษฎีบทที่จะได้รับชุด NPI ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ จากนั้นเป็นชุด NP-Complete ดั้งเดิม อย่างไรก็ตามฉันไม่รู้ว่ายังอยู่ใน NPI หรือ NP-hard ฉันไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะเริ่มจากกรณีของการแยกและผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน $A$ $B \in$ $A$ $B \cup (A \setminus B) = A$ $A \setminus B$

complexity-theory np-hard np np-intermediate

— อารีย์
แหล่งที่มา

ปัญหาใน P อาจเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ถ้า P = NP ซึ่งทำให้การอ้างสิทธิ์ของคุณ "พวกเขาไม่สามารถอยู่ใน P" เท็จได้

— Wojowu

@Wojowu ขอบคุณคุณถูกต้อง ฉันเพิ่งสันนิษฐานว่าเป็นที่เข้าใจกันว่าคำถามนี้ทั้งหมดตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่า P! = NP ไม่อย่างนั้นมันไร้สาระ / ไร้สาระเพราะเราจะมี NPC = P. ฉันจะแก้ไขคำถาม

— Ari

@Ari จริงแม้ว่าP

N P C \neq P

$NPC\not = P$

P = N P

$P=NP$

— Tom van der Zanden

@TomvanderZanden เป็นไปได้อย่างไร? ดังนั้นถ้า P = NP ดังนั้นทุกปัญหาใน NP สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามรวมถึงปัญหาใน NPC

N P C \subseteq N P

$NPC \subseteq NP$

— Ari

@Ari ชุดที่ว่างเปล่าและชุดของสตริงทั้งหมดอยู่ในแต่พวกเขาไม่ใช่สมบูรณ์ คุณไม่สามารถลดสิ่งใดเป็นชุดว่าง (หรือชุดของสตริงทั้งหมด) เพราะมันเป็นอินสแตนซ์ที่ไม่มี (resp. yes) เสมอ

N P

$NP$

N P

$NP$

— Tom van der Zanden

จุดตัดของสองภาษาที่ไม่ใช่ NP-hard อาจเป็น NP-hard ตัวอย่าง: การแก้ปัญหาของอินสแตนซ์ 3SAT ใด ๆ คือการตั้งค่าจุดตัดของโซลูชันของอินสแตนซ์ HORN-3SAT และอินสแตนซ์ ANTIHORN-3SAT นี่เป็นเพราะประโยค 3CNF ต้องเป็นทั้งประโยค Horn หรือ anti-Horn และอินสแตนซ์ 3SAT คือการรวมกันของประโยคดังกล่าว 3SAT นั้นแน่นอนว่าเป็นปัญหาสมบูรณ์ HORN-3SAT และ ANTIHORN-3SAT นั้นมีทั้งใน P

— ไคล์โจนส์
แหล่งที่มา

ฉันทำตามตัวอย่างคุณไม่ได้ จุดตัดของ HORN-SAT และ ANTIHORN-SAT เป็นภาษาที่ค่อนข้างน่าเบื่อที่อยู่ใน P.

— Yuval Filmus

HORN-3SAT สามารถกำหนดได้หลายวิธี วิธีหนึ่งคือแก้ไขการเข้ารหัสของอินสแตนซ์ HORN-3SAT โดยแต่ละสตริงจะเข้ารหัสอินสแตนซ์ดังกล่าวและจากนั้น HORN-3SAT จะประกอบด้วยอินสแตนซ์ที่น่าพอใจ การเข้ารหัสนี้น่าจะแตกต่างจากการเข้ารหัสที่คุณจะใช้สำหรับ ANTIHORN-3SAT ดังนั้นจึงไม่ชัดเจนว่าภาษาทางแยกเป็นอะไรแน่นอน - ไม่ใช่ SAT แน่นอน

— Yuval Filmus

ความเป็นไปได้อีกอย่างคือการกำหนด HORN-3SAT เป็นภาษาของ 3SAT ซึ่งเป็น (i) ในรูปแบบ Horn (ii) เป็นที่พอใจ ตอนนี้จุดตัดของ HORN-3SAT และ ANTIHORN-3SAT นั้นสมเหตุสมผล: ประกอบด้วย 3SAT ทั้งหมดซึ่งเป็น (i) ทั้งในรูปแบบ Horn และ anti-Horn (ii) ที่น่าพอใจ สิ่งนี้สามารถทำได้ง่ายกว่าแต่ละ HORN-3SAT และ ANTIHORN-3SAT

— Yuval Filmus

นี่เป็นคำนิยามที่แปลกมากของการแยกภาษาที่แตกต่างจากที่นี่หมายถึง หากและภาษา (เช่น 3SAT) จากการตัดกันของพวกเขาที่เราหมายถึงL_2

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

— Yuval Filmus

@ KyleJones @ Yuval ฉันคิดว่าอาจมีความสับสนเกี่ยวกับอินสแตนซ์และภาษา ในขณะที่ทุกคนอินสแตนซ์ของ 3SAT ประกอบด้วยแน่นอน แต่เพียงผู้เดียวของข้อฮอร์นและข้อต่อต้านฮอร์นมันเป็นไม่ได้กรณีที่ภาษา เท่ากับหรือหรือเนื่องจากชุดเหล่านี้มีตัวอย่างแต่ละอย่างประกอบด้วยHorn clauses หรือ Anti-Horn clauses ในขณะที่แต่ละ 3SAT สามารถมีส่วนผสมของอนุประโยคทั้งสองชนิดนี้ได้

3 S A T

$\mathsf{3SAT}$

H O R N 3 S A T \cap A N T I H O R N 3 S A T

$\mathsf{HORN3SAT}\cap\mathsf{ANTIHORN3SAT}$

H O R N 3 S A T \cup A N T I H O R N 3 S A T

$\mathsf{HORN3SAT}\cup\mathsf{ANTIHORN3SAT}$

— Ari