คำถามบางข้อเกี่ยวกับการคำนวณแบบขนานและคลาส NC

14

ฉันมีคำถามที่เกี่ยวข้องจำนวนมากเกี่ยวกับสองหัวข้อนี้

ขั้นแรกให้ข้อความที่ซับซ้อนมากที่สุดจะปัดเฉพาะคลาส $\mathbb{NC}$ เท่านั้น มีทรัพยากรที่ดีที่ครอบคลุมการวิจัยในเชิงลึกมากขึ้นหรือไม่? ตัวอย่างเช่นสิ่งที่กล่าวถึงคำถามทั้งหมดของฉันด้านล่าง นอกจากนี้ฉันสมมติว่า $\mathbb{NC}$ ยังคงเห็นงานวิจัยจำนวนพอสมควรเนื่องจากลิงก์เชื่อมโยงไปยังการขนาน แต่ฉันอาจผิด ส่วนในสวนสัตว์ที่ซับซ้อนไม่ได้ช่วยอะไรมาก

ประการที่สองการคำนวณบน semigroup อยู่ในหากเราถือว่าการดำเนินการของ semigroup นั้นต้องใช้เวลาคงที่ แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าการดำเนินการไม่ใช้เวลาคงที่เช่นเดียวกับจำนวนเต็มที่ไม่ได้ จำกัด มีปัญหาใด ๆ ที่ยังไม่ทราบหรือไม่? $\mathbb{NC}^1$ $\mathbb{NC}^i$

ประการที่สามเนื่องจากมีอัลกอริทึมในการแปลงอัลกอริธึม logspace ใด ๆ ให้เป็นเวอร์ชั่นคู่ขนานหรือไม่? $\mathbb{L} \subseteq \mathbb{NC}^2$

ประการที่สี่เสียงเหมือนคนส่วนใหญ่คิดว่าในลักษณะเดียวกับที่ Pสัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังสิ่งนี้คืออะไร? $\mathbb{NC} \ne \mathbb{P}$ $\mathbb{P} \ne \mathbb{NP}$

ประการที่ห้าข้อความที่ฉันได้อ่านทุกกล่าวถึงชั้นแต่ให้ตัวอย่างของปัญหามันไม่มี ยังมี .... บ้าง? $\mathbb{RNC}$

สุดท้ายคำตอบนี้กล่าวถึงปัญหาในมีเวลาดำเนินการแบบขนานเชิงเส้นย่อย ตัวอย่างของปัญหาเหล่านี้มีอะไรบ้าง มีคลาสความซับซ้อนอื่น ๆ ที่มีอัลกอริทึมแบบขนานที่ไม่ทราบว่าอยู่ในหรือไม่ $\mathbb{P}$ $\mathbb{NC}$

— Mike Izbicki
แหล่งที่มา

1

นอกจากนี้โปรดทราบนี้คำถามที่คล้ายกัน

— Nicholas Mancuso

9

ประการที่สามเนื่องจากมีอัลกอริทึมในการแปลงอัลกอริธึม logspace ใด ๆ ให้เป็นเวอร์ชั่นคู่ขนานหรือไม่? $\sf{L} \subseteq \sf{NC}^2$

ก็สามารถที่จะแสดงอยู่ (ร่าและบาราคตำราเรียน) ได้รับ -time TM , ว่าลบเลือน TM TM ที่มีการเคลื่อนไหวใหญ่เป็นอิสระจากการป้อนข้อมูลของ ) สามารถสร้างวงจรในการคำนวณที่ไหน $t(n)$ $M$ $M'$ $x$ $C_n$ $M(x)$ n $|x| = n$

หลักฐานภาพร่างเป็นไปตามแนวของการมีจำลองและกำหนด "ภาพรวม" ของสถานะ (เช่นตำแหน่งหัวสัญลักษณ์ที่หัว) ในแต่ละครั้งที่ขั้นตอน (คิดว่าบันทึกการคำนวณ) แต่ละขั้นตอนสามารถคำนวณได้จากและรัฐ 1เนื่องจากแต่ละสแน็ปช็อตเกี่ยวข้องกับสตริงที่มีขนาดคงที่เท่านั้นและมีสตริงของขนาดนั้นจำนวนคงที่ดังนั้นสแน็ปช็อตที่จึงสามารถคำนวณได้โดยวงจรขนาดคงที่ $M'$ $M$ $t_i$ $t_i$ $x$ $t_{i-1}$ $t_i$

ถ้าคุณเขียนวงจรอย่างต่อเนื่องขนาดสำหรับแต่ละเรามีวงจรที่คำนวณ )การใช้ความจริงนี้พร้อมกับข้อ จำกัด ที่ภาษาของอยู่ในเราเห็นว่าวงจรของเราคือนิยามlogspace-uniformโดยที่ความสม่ำเสมอนั้นหมายถึงวงจรของเราในวงจรครอบครัวของเราคำนวณทั้งหมดมีอัลกอริทึมเดียวกัน ไม่ใช่อัลกอริทึมที่กำหนดเองสำหรับแต่ละวงจรที่ทำงานกับขนาดอินพุต $t_i$ $M(x)$ $M$ $\sf{L}$ $C_n$ $\{C_n\}$ $M(x)$ n $n$

อีกครั้งจากความหมายของความสม่ำเสมอที่เราเห็นว่าวงจรการตัดสินใจใด ๆ ในภาษาต้องมีฟังก์ชั่นคำนวณในวงจรตระกูลมีค่ามากที่สุด $\sf{L}$ $\text{size}(n)$ $O(\log n).$ $\sf{AC}^1$ ความลึกสูงสุด $O(\log n)$

ในที่สุดก็สามารถแสดงให้เห็นว่า $\sf{AC}^1 \subseteq \sf{NC}^2$ ให้ความสัมพันธ์ในคำถาม

ประการที่สี่เสียงเหมือนคนส่วนใหญ่คิดว่าในลักษณะเดียวกับที่ Pสัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังสิ่งนี้คืออะไร? $\sf{NC} \neq \sf{P}$ $\sf{P} \neq \sf{NP}$

ก่อนที่เราจะไปไกลกว่านั้นให้เรานิยามความหมายของความสมบูรณ์แบบ $\sf{P}$

ภาษาคือสมบูรณ์ถ้าและทุกภาษาในเป็น logspace ลดลงไป นอกจากนี้หากเป็น complete ดังนั้นสิ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง $L$ $\sf{P}$ $L \in \sf{P}$ $\sf{P}$ $L$ $\sf{P}$

$L \in \sf{NC} \iff \sf{P} = \sf{NC}$
$L \in \sf{L} \iff \sf{P} = \sf{L}$

ตอนนี้เราคิดว่าเป็นคลาสของภาษาที่ตัดสินใจอย่างมีประสิทธิภาพโดยคอมพิวเตอร์ขนาน มีปัญหาบางอย่างใน $\sf{NC}$ $\sf{P}$ ที่ดูเหมือนจะต้านทานความพยายามในการขนานใด ๆ (เช่นการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและปัญหาวงจรค่า) กล่าวคือปัญหาบางอย่างจำเป็นต้องใช้การคำนวณในแบบที่ชาญฉลาด

ตัวอย่างเช่นปัญหาค่าวงจรถูกกำหนดเป็น:

รับวงจร , อินพุต , และเกต , เอาต์พุตของบนคืออะไร? $C$ $x$ $g \in C$ $g$ $C(x)$

เราไม่ทราบวิธีการคำนวณนี้ที่ดีกว่าการคำนวณประตูทั้งหมดที่มาก่อนกรัมได้รับบางส่วนของพวกเขาอาจจะถูกคำนวณในแบบคู่ขนานเช่นถ้าพวกเขาทั้งหมดเกิดขึ้นในบาง timestep แต่เราไม่ทราบวิธีการคำนวณการส่งออกของประตูที่ timestep และ timestep สำหรับความยากลำบากที่เห็นได้ชัด ประตูที่ต้องการเอาท์พุทของประตูที่ ! $g'$ $g$ $t_i$ $t_i$ $t_{i+1}$ $t_{i+1}$ $t_i$

นี่คือสัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลัง P $\sf{NC} \neq \sf{P}$

Limits to Parallel Computationเป็นหนังสือเกี่ยวกับความสมบูรณ์แบบของในความคล้ายคลึงของ Garey & Johnson's สมบูรณ์ของหนังสือ $\sf{P}$ $\sf{NP}$

— Nicholas Mancuso
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการอ้างอิง 2 ข้อและคำตอบบางส่วน หนังสือ Limits to Parallel Computation นั้นทำได้ดีกว่าหนังสือเล่มอื่น ๆ ที่ฉันเคยดู แต่ก็ยังค่อนข้างเก่าและไม่ละเอียดเท่าที่ฉันต้องการ

— Mike Izbicki

3

ประการที่ห้าทุกข้อความที่ฉันอ่านได้กล่าวถึงคลาส RNC แต่ไม่มีตัวอย่างของปัญหา ยังมี .... บ้าง?

กระดาษ "การจับคู่เป็นเรื่องง่ายเป็นเมทริกซ์ผกผัน" โดย Mulmuley, Vazirani และ Vazirani มีหลายตัวอย่างของปัญหาที่เกิดขึ้นในชั้นเรียน 2หลักสำคัญคือการค้นหาการจับคู่สูงสุดจากนั้นพวกเขาลดปัญหาอื่น ๆ ให้กับสิ่งนี้ $\mathbb{RNC}^2$

— Mike Izbicki
แหล่งที่มา