ปัญหาการตัดสินใจกับปัญหา“ ของจริง” ที่ไม่ใช่ใช่หรือไม่

ดังที่คุณกล่าวว่าไม่มีการตัดสินใจใด ๆ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีคลาสความซับซ้อนและการลดประเภทใหม่เพื่อให้ได้คำจำกัดความที่เหมาะสมของความแข็งของNPสำหรับปัญหาการปรับให้เหมาะสม

วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือมีสองคลาสใหม่NPOและPOที่มีปัญหาการปรับให้เหมาะสมและพวกเขาเลียนแบบคลาสNPและPสำหรับปัญหาการตัดสินใจ จำเป็นต้องลดใหม่ จากนั้นเราสามารถสร้างNP-hardnessรุ่นใหม่สำหรับปัญหาการปรับให้เหมาะสมตามบรรทัดที่ประสบความสำเร็จสำหรับปัญหาการตัดสินใจ แต่ก่อนอื่นเราต้องยอมรับว่าการเพิ่มประสิทธิภาพปัญหาคืออะไร

คำที่เกี่ยวข้อง: Let จะเป็นการเพิ่มประสิทธิภาพปัญหา คือชุดของอินพุตหรืออินสแตนซ์ที่เหมาะสมที่เข้ารหัสเป็นสตริง คือฟังก์ชั่นที่แผนที่แต่ละเช่นลงบนชุดของสตริงที่การแก้ปัญหาเป็นไปได้ของอินสแตนซ์xเป็นชุดเนื่องจากมีวิธีแก้ไขปัญหาการปรับให้เหมาะสมมากมาย ดังนั้นเราจึงมีฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ที่บอกเราทุกคู่ $O=(X,L,f,opt)$ $X$ $L$ $x\in X$ $x$ $f$ ของอินสแตนซ์และการแก้ปัญหาค่าใช้จ่ายหรือค่า บอกเราว่าเรากำลังเพิ่มหรือย่อขนาดเล็กสุด $(x, y)$ $y\in L(x)$ $opt$

สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถกำหนดสิ่งที่เป็นทางออกที่ดีที่สุด : ให้เป็นทางออกที่ดีที่สุดของอินสแตนซ์ของการเพิ่มประสิทธิภาพ - ปัญหาด้วย $y_{opt}\in L(x)$ $x\in X$ $O=(X,L,f,opt)$ ทางออกที่ดีที่สุดมักจะแสดงโดย *

f (x, y_{o p t}) = o p t {f (x, y^{'}) ∣ y^{'} \in L (x)} .

$f(x,y_{opt})=opt\{f(x,y')\mid y'\in L(x)\}.$

y^{*}

$y^*$

ตอนนี้เราสามารถกำหนดคลาสNPO : ปล่อยให้เป็นชุดของปัญหาการปรับให้เหมาะสมทั้งหมดด้วย: $NPO$ $O=(X,L,f,opt)$

$X\in P$
มีพหุนามด้วยสำหรับทุกกรณีและทุกความเป็นไปได้การแก้ปัญหา )นอกจากนี้ยังมีขั้นตอนวิธีการกำหนดที่ตัดสินใจในเวลาพหุนามว่า ) $p$ $|y|\le p(|x|)$ $x\in X$ $y\in L(x)$ $y\in L(x)$
สามารถประเมินได้ในเวลาพหุนาม $f$

สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังมันคือ:

เราสามารถตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพหากเป็นตัวอย่างที่ถูกต้องของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพของเรา $x$
ขนาดของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้เป็นที่สิ้นสุด polynomially ในขนาดของปัจจัยการผลิตและเราสามารถตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพถ้าเป็นโซลูชั่นที่ fesible ของอินสแตนซ์x $y\in L(x)$ $x$
สามารถหาค่าของสารละลายได้อย่างมีประสิทธิภาพ $y\in L(x)$

สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นถึงการกำหนดตอนนี้สำหรับPO : ให้เป็นชุดของปัญหาทั้งหมดจากที่สามารถแก้ไขได้โดยอัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นในเวลาพหุนาม $NP$ $PO$ $NPO$

ตอนนี้เราสามารถกำหนดสิ่งที่เราต้องการเรียกการประมาณ - อัลกอริทึม : การประมาณ - อัลกอริทึมของการหาค่าเหมาะที่สุด - ปัญหาเป็นอัลกอริทึมที่คำนวณโซลูชันที่เป็นไปได้สำหรับอินสแตนซ์ x $O=(X,L,f,opt)$ $y\in L(x)$ $x\in X$

หมายเหตุ: การที่เราไม่ได้ขอที่ดีที่สุดวิธีการแก้ปัญหาที่เราเพียง แต่สิ่งที่จะมีความเป็นไปได้อย่างใดอย่างหนึ่ง

ขณะนี้เรามีข้อผิดพลาดสองประเภท: ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ของอินสแตนซ์ของการปรับให้เหมาะสม - ปัญหาคือ. $y\in L(x)$ $x\in X$ $O=(X,L,f,opt)$ $|f(x,y)-f(x,y^*)|$

ที่เราเรียกว่าข้อผิดพลาดที่แน่นอนของการประมาณขั้นตอนวิธีสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพปัญหาล้อมรอบด้วยถ้าอัลกอริทึมคำนวณเช่นทุกวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้กับข้อผิดพลาดแน่นอนล้อมรอบด้วยk $A$ $O$ $k$ $A$ $x\in X$ $k$

ตัวอย่าง: ตามทฤษฎีบทของ Vizing ดัชนีสีของกราฟ (จำนวนสีในการระบายสีขอบด้วยจำนวนสีที่น้อยที่สุดที่ใช้) คือหรือโดยที่คือระดับโหนดสูงสุด จากการพิสูจน์ทฤษฎีบทการประมาณ - อัลกอริธึมสามารถคิดได้ว่าคำนวณสีขอบด้วยสี ดังนั้นเรามีประมาณ-อัลกอริทึมสำหรับ $\Delta$ $\Delta+1$ $\Delta$ $\Delta+1$ -Problem ที่ผิดพลาดแน่นอนกระโดดจาก1 $\mathsf{Minimum-EdgeColoring}$ $1$

ตัวอย่างนี้เป็นข้อยกเว้นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ขนาดเล็กหายากดังนั้นเราจึงกำหนดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ของการประมาณ - อัลกอริทึมบนอินสแตนซ์ของการปรับให้เหมาะสม - ปัญหาด้วยเพื่อให้ทุกและเป็น $\epsilon_A(x)$ $A$ $x$ $O=(X,L,f,opt)$ $f(x,y)>0$ $x\in X$ $y\in L(x)$

ϵ_{A} (x) := {\begin{cases} 0 & f (x, A (x)) = f (x, y^{*}) \\ \frac{| f (x, A (x)) - f (x, y^{*}) |}{max {f (x, A (x)), f (x, y^{*})}} & f (x, A (x)) \neq f (x, y^{*}) \end{cases}

$\epsilon_A(x):=\begin{cases}0&f(x,A(x))=f(x,y^*)\\\frac{|f(x,A(x))-f(x,y^*)|}{\max\{f(x,A(x)),f(x,y^*)\}}&f(x,A(x))\ne f(x,y^*)\end{cases}$

ที่เป็นทางออกที่เป็นไปได้คำนวณโดยประมาณขั้นตอนวิธี $A(x)=y\in L(x)$ $A$

ตอนนี้เราสามารถกำหนดการประมาณ - อัลกอริทึมสำหรับการปรับให้เหมาะสม - ปัญหาให้เป็น - การประมาณค่า - อัลกอริทึมสำหรับหากข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ถูก จำกัด โดยสำหรับทุกอินสแตนซ์ดังนั้น $A$ $O=(X,L,f,opt)$ $\delta$ $O$ $\epsilon_A(x)$ $\delta\ge 0$ $x\in X$

ϵ_{A} (x) \leq δ \forall x \in X .

$\epsilon_A(x)\le \delta\qquad \forall x\in X.$

ตัวเลือกของในส่วนของคำจำกัดความของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ถูกเลือกเพื่อให้นิยามสมมาตรสำหรับการเพิ่มและย่อเล็กสุด ค่าของความผิดพลาด[0,1] ในกรณีที่เกิดปัญหาสูงสุดค่าของการแก้ปัญหาไม่น้อยกว่าและไม่ใหญ่กว่าสำหรับปัญหาการย่อขนาดเล็กสุด $\max\{f(x,A(x)),f(x,y^*)\}$ $\epsilon_A(x)\in[0,1]$ $(1-\epsilon_A(x))\cdot f(x,y^*)$ $1/(1-\epsilon_A(x))\cdot f(x,y^*)$

ตอนนี้เราสามารถเรียกการปรับให้เหมาะสม - ปัญหา -approximable หากมี -approximation-algorithmสำหรับที่ทำงานในเวลาพหุนาม $\delta$ $\delta$ $A$ $O$

เราไม่ต้องการดูข้อผิดพลาดสำหรับทุก ๆเราดูเฉพาะกรณีที่แย่ที่สุด ดังนั้นเราจึงกำหนดข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องสูงสุดของการประมาณ - อัลกอริทึมสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพ - ปัญหาเป็น $x$ $\epsilon_A(n)$ $A$ $O$

ϵ_{A} (n) = sup {ϵ_{A} (x) ∣ | x | \leq n} .

$\epsilon_A(n)=\sup\{\epsilon_A(x)\mid |x|\le n\}.$

ที่ไหนควรมีขนาดของอินสแตนซ์ $|x|$

ตัวอย่าง: การจับคู่สูงสุดในกราฟสามารถแปลงเป็นโหนดขนาดเล็กที่สุดโดยการเพิ่มโหนดเหตุการณ์ทั้งหมดจากการจับคู่ไปยังปกจุดสุดยอด ดังนั้นขอบถูกปกคลุม แต่ละปกยอดรวมทั้งคนหนึ่งที่ดีที่สุดต้องมีหนึ่งในโหนดของแต่ละขอบครอบคลุมมิฉะนั้นมันอาจจะดีขึ้นเรามี*) มันตามมาว่า ดังนั้นอัลกอริธึมโลภสำหรับการจับคู่สูงสุดคือ -approximatio- อัลกอริทึมสำหรับ{Minimal-VertexCover} ดังนั้นเป็น -approximable $C$ $1/2\cdot |C|$ $1/2\cdot |C|\cdot f(x,y^*)$

\frac{| C | - f (x, y^{*})}{| C |} \leq \frac{1}{2}

$\frac{|C|-f(x,y^*)}{|C|}\le\frac{1}{2}$

1 / 2

$1/2$

M i n i m a l - V e r t e x C o v e r

$\mathsf{Minimal-VertexCover}$

M i n i m a l - V e r t e x C o v e r

$\mathsf{Minimal-VertexCover}$

1 / 2

$1/2$

น่าเสียดายที่ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่ได้เป็นแนวคิดที่ดีที่สุดสำหรับการประมาณตามตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็น:

ตัวอย่าง: ง่ายธึสามารถประมาณ{ขั้นต่ำ-SetCover} การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่าและจะเป็น - ง่ายขึ้น $\mathsf{Minimum-SetCover}$

\frac{| C |}{| C^{*} |} \leq H_{n} \leq 1 + \ln (n)

$\frac{|C|}{|C^*|}\le H_n\le 1+\ln(n)$

M i n i m u m - S e t C o v e r

$\mathsf{Minimum-SetCover}$

\frac{\ln (n)}{1 + \ln (n)}

$\frac{\ln(n)}{1+\ln(n)}$

หากข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ใกล้กับคำจำกัดความต่อไปนี้จะเป็นประโยชน์ $1$

Letจะเป็นการเพิ่มประสิทธิภาพปัญหากับสำหรับทุกและและประมาณ-อัลกอริทึมสำหรับOการประมาณ - อัตราส่วนของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ของอินสแตนซ์คือ $O=(X,L,f,opt)$ $f(x, y)>0$ $x\in X$ $y\in L(x)$ $A$ $O$ $r_A(x)$ $A(x)=y\in L(x)$ $x\in X$

r_{A} (x) = {\begin{cases} 1 & f (x, A (x)) = f (x, y^{*}) \\ max {\frac{f (x, A (x))}{f (x, y^{*})}, \frac{f (x, y^{*})}{f (x, A (x))}} & f (x, A (x)) \neq f (x, y^{*}) \end{cases}

$r_A(x)=\begin{cases}1&f(x,A(x))=f(x,y^*)\\\max\left\{ \frac{f(x,A(x))}{f(x, y^*)},\frac{f(x, y^*)}{f(x, A(x))}\right\}&f(x,A(x))\ne f(x,y^*)\end{cases}$

เมื่อก่อนเราเรียกประมาณขั้นตอนวิธี -approximation ขั้นตอนวิธีสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพปัญหาถ้าประมาณอัตราส่วนเป็นที่สิ้นสุดโดยสำหรับการป้อนข้อมูลทุกX และยังอีกครั้งถ้าเรามี -approximation ขั้นตอนวิธีสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพปัญหาแล้วเรียกว่า -approximable อีกครั้งเราสนใจเฉพาะกรณีที่แย่ที่สุดและกำหนดอัตราส่วนสูงสุดประมาณเป็น $A$ $r$ $O$ $r_A(x)$ $r\ge1$ $x\in X$

r_{A} (x) \leq r

$r_A(x)\le r$

r

$r$

A

$A$

O

$O$

O

$O$ $r$

r_{A} (n)

$r_A(n)$

r_{A} (n) = sup {r_{A} (x) ∣ | x | \leq n} .

$r_A(n)=\sup\{r_A(x)\mid |x|\le n\}.$ ดังนั้นอัตราส่วนการประมาณสูงกว่าสำหรับการแก้ปัญหาที่ไม่ดี วิธีแก้ปัญหาที่ดีกว่าจึงมีอัตราส่วนที่น้อยกว่า สำหรับตอนนี้เราสามารถเขียนได้ว่า -approximable และในกรณีของเรารู้จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ว่ามันเป็น -approximable ระหว่างข้อผิดพลาดสัมพัทธ์และอัตราส่วนประมาณเรามีความสัมพันธ์แบบง่าย:

1

$1$

M i n i m u m - S e t C o v e r

$\mathsf{Minimum-SetCover}$

(1 + \ln (n))

$(1+\ln(n))$

M i n i m u m - V e r t e x C o v e r

$\mathsf{Minimum-VertexCover}$

2

$2$

r_{A} (x) = \frac{1}{1 - ϵ_{A} (x)} ϵ_{A} (x) = 1 - \frac{1}{r_{A} (x)} .

$r_A(x)=\frac{1}{1-\epsilon_A(x)}\qquad \epsilon_A(x)=1-\frac{1}{r_A(x)}.$

สำหรับการเบี่ยงเบนจากขนาดเล็กที่เหมาะสมและข้อผิดพลาดญาติเป็นข้อได้เปรียบเหนือประมาณอัตราส่วนที่แสดงให้เห็นถึงจุดแข็งที่มีขนาดใหญ่สำหรับการเบี่ยงเบนและ2 $\epsilon<1/2$ $r<2$ $\epsilon\ge 1/2$ $r\ge 2$

ทั้งสองรุ่นของ -approximable ไม่ทับซ้อนกับรุ่นหนึ่งที่มีเสมอและอื่น ๆ1 caseไม่เป็นปัญหาเนื่องจากอัลกอริธึมที่สร้างโซลูชันที่แน่นอนเท่านั้นจึงไม่จำเป็นต้องถือว่าเป็นอัลกอริทึม $\alpha$ $\alpha\le 1$ $\alpha\ge 1$ $\alpha=1$

ชั้นอื่นปรากฏมักจะAPX มันถูกกำหนดเป็นชุดของการปรับให้เหมาะสมทั้งหมด - ปัญหาจากที่ยังคงเป็น - อัพ - อัลกอริทึมที่มีที่ทำงานในเวลาพหุนาม $O$ $NPO$ $r$ $r\ge1$

เราเกือบจะผ่าน เราต้องการคัดลอกความคิดที่ประสบความสำเร็จของการลดและความสมบูรณ์จากทฤษฎีความซับซ้อน การสังเกตคือตัวแปรการตัดสินใจแบบ NP-hard จำนวนมากของปัญหาการปรับให้เหมาะสมนั้นจะลดลงซึ่งกันและกันในขณะที่ตัวแปรการปรับให้เหมาะสมมีคุณสมบัติที่แตกต่างกันเกี่ยวกับความสามารถในการประมาณค่า นี่คือเนื่องจากการ polynomialtime-Karp-reduction ที่ใช้ในการลด NP-completness ซึ่งไม่ได้รักษาฟังก์ชันวัตถุประสงค์ และแม้ว่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะได้รับการสงวนไว้การลดพหุนาม - Karp อาจลดคุณภาพของการแก้ปัญหา

สิ่งที่เราต้องเป็นรุ่นที่แข็งแกร่งของการลดลงซึ่งไม่เพียง แต่แผนที่กรณีจากการเพิ่มประสิทธิภาพ-ปัญหาอินสแตนซ์ของแต่ยังแก้ปัญหาที่ดีจากกลับไปแก้ปัญหาที่ดีจากO_1 $O_1$ $O_2$ $O_2$ $O_1$

ดังนั้นเรากำหนดประมาณรักษาลดสองเพิ่มประสิทธิภาพปัญหาและจากNPOเราเรียกลดได้ถึงเขียนเป็นหากมีสองฟังก์ชันและและค่าคงที่ด้วย: $O_1=(X_1,L_1,f_1,opt_1)$ $O_2=(X_2,L_2,f_2,opt_2)$ $NPO$ $O_1$ $AP$ $O_2$ $O_1\le_{AP} O_2$ $g$ $h$ $c$

$g(x_1, r)\in X_2$ สำหรับทุกและ rational $x_1\in X_1$ $r>1$
$L_2(g(x, r_1))\ne\emptyset$ ถ้าสำหรับและ rational $L_1(x_1)\ne\emptyset$ $x_1\in X_1$ $r>1$
$h(x_1, y_2, r)\in L_1(x_1)$ สำหรับทั้งหมดและเหตุผลและสำหรับทั้งหมด $x_1\in X_1$ $r>1$ $y_2\in L_2(g(x_1,r))$
สำหรับคงที่ทั้งฟังก์ชั่นและสามารถคำนวณได้โดยสองอัลกอริทึมในเวลาพหุนามตามความยาวของอินพุต $r$ $g$ $h$
เรามีสำหรับและ rationalและสำหรับ $f_{2} (g (x_{1}, r), y_{2}) \leq r \Rightarrow f_{1} (x_{1}, h (x_{1}, y_{2}, r)) \leq 1 + c \cdot (r - 1)$ $f_2(g(x_1,r),y_2)\le r \Rightarrow f_1(x_1,h(x_1,y_2,r))\le 1+c\cdot(r-1)$ $x_1\in X_1$ $r>1$ $y_2\in L_2(g(x_1,r))$

ในความหมายนี้และขึ้นอยู่กับคุณภาพของการแก้ปัญหาRดังนั้นคุณสมบัติที่แตกต่างกันฟังก์ชั่นอาจแตกต่างกัน ทั่วไปนี้ไม่จำเป็นเสมอและเราก็ทำงานกับและy_2) $g$ $h$ $r$ $g(x_1)$ $h(x_1, y_2)$

ตอนนี้เรามีความคิดในการลดปัญหาการปรับให้เหมาะสมแล้วในที่สุดเราก็สามารถถ่ายโอนหลายสิ่งที่เรารู้จากทฤษฎีความซับซ้อน ตัวอย่างเช่นถ้าเรารู้ว่าและเราแสดงให้เห็นว่าก็จะตามมาด้วยเช่นกัน $O_2\in APX$ $O_1\le_{AP} O_2$ $O_1\in APX$

ในที่สุดเราสามารถกำหนดสิ่งที่เราหมายถึงโดยยากและ - เสร็จสมบูรณ์สำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพ - ปัญหา: $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

Letจะเป็นการเพิ่มประสิทธิภาพปัญหาจากและชั้นเรียนของการเพิ่มประสิทธิภาพปัญหาจากแล้วเรียกว่า -hardด้วยความเคารพถ้าสำหรับทุกถือ $O$ $NPO$ $\mathcal{C}$ $NPO$ $O$ $\mathcal{C}$ $\le_{AP}$ $O'\in\mathcal{C}$ $O'\le_{AP} O$

ดังนั้นอีกครั้งเรามีความคิดของปัญหาที่ยากที่สุดในชั้นเรียน ไม่น่าแปลกใจ -hardปัญหาที่เรียกว่าสมบูรณ์ด้วยความเคารพถ้ามันเป็นองค์ประกอบของ{C} $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $\le_{AP}$ $\mathcal{C}$

ดังนั้นตอนนี้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ -completness และ -completness ฯลฯ และแน่นอนตอนนี้เรากำลังขอให้แสดงเป็นครั้งแรกปัญหาที่สมบูรณ์ที่จะใช้เวลามากกว่าบทบาทของ{} เกือบจะเป็นไปตามธรรมชาติแล้วสามารถแสดงเป็น complete ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบท PCP-One สามารถแสดงให้เห็นว่านั้นสมบูรณ์แบบด้วย $NPO$ $APX$ $NPO$ $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{Weighted-Satisfiability}$ $NPO$ $\mathsf{Maximum-3SAT}$ $APX$

— ULI
แหล่งที่มา

โอ้และโปรดยอมรับคำขอโทษของฉันสำหรับการโพสต์ที่ค่อนข้างยาวนี้ แต่ฉันไม่มีเวลาที่จะเขียนคำที่สั้นกว่านี้

— uli

แน่นอนว่าสายหมัดคือโดยทฤษฎี PCP คุณสามารถเชื่อมโยง MAX3SAT และ SAT ได้ดังนั้นจึงแสดงให้เห็นว่าการใช้ NP-hard ไปประมาณ MAX 3SAT นั้นดีกว่าค่าคงที่บางส่วน นั่นคือเทียบเท่ากับทฤษฎีบท Cook-Levin ในแง่หนึ่ง

— Suresh

@Suresh แน่นอน แต่ผลลัพธ์นี้คุณพูดถึงต้องมีการลดช่องว่าง - การรักษาเท่าที่ฉันจำได้ และตามที่คุณได้เขียนเกี่ยวกับพวกเขาในโพสต์ของคุณฉันไม่ต้องการคัดลอกพวกเขาที่นี่

— uli

คำตอบที่ดี +1! ฉันสงสัยว่าคำตอบของคุณอ้างอิงจากการอ้างอิงบ้างไหม?

— ทิม

@ Tim แน่นอนมีหนังสือฉันอยู่ไม่กี่ในความคิดเห็นของผู้อื่นคำตอบ

— ULI

โดยปกติสิ่งที่แสดงคือปัญหาความแข็งของปัญหา "Gap" ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณต้องการแสดงให้เห็นว่าเป็นการยากที่จะประมาณ SET COVER ให้อยู่ในระดับ 2

คุณกำหนดอินสแตนซ์ "สัญญา" ของ SET COVER ที่เราจะเรียก 2-GAP-SET-COVER:

แก้ไขบางหมายเลข\2-GAP-SET-COVER ประกอบด้วยทุกกรณีของชุดฝาครอบที่ขนาดของฝาครอบชุดที่เหมาะสมคือ: $\ell$

อย่างมากที่สุด $\ell$
อย่างน้อย $2\ell$

สมมติว่าเราแสดงให้เห็นว่าปัญหาในการตัดสินใจว่ากรณีใดที่ทั้งสองกรณีที่เกิดปัญหาคือปัญหาที่สมบูรณ์ จากนั้นเราได้แสดงให้เห็นว่าการประมาณ SET COVER ภายใน 2 ปัจจัยคือ NP-hard เพราะเราสามารถใช้อัลกอริทึมดังกล่าวเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างสองกรณีนี้

— Suresh
แหล่งที่มา

คำตอบที่มีอยู่ทั้งสองนั้นให้ข้อมูลมาก แต่ฉันไม่คิดว่าทั้งคู่ตอบคำถามอย่างแท้จริงซึ่งก็คือ "ปัญหาที่อาจเกิดจากปัญหาการตัดสินใจไม่ได้เป็นปัญหาที่ยากมากเมื่อ NP เป็นปัญหาในการตัดสินใจ ?"

คำตอบคือจำความหมายของ NP-hard ปัญหา คือ NP-ยากภายใต้ชนิดของการลดลงของบางอย่างถ้ามีปัญหาใน NP ทุกคนสามารถจะลดลงไป L(และ คือ NP-complete ถ้าเป็น NP-hard และใน NP.) อย่างไม่เป็นทางการ, NP-hard หมายถึง "ถ้าฉันสามารถแก้ปัญหานี้ได้ฉันสามารถแก้ปัญหาทุกอย่างใน NP" แม้ว่าปัญหาที่คุณกำลังพูดถึงคือ ' t ใน NP NP-hardness ไม่ต้องการการเป็นสมาชิกของ NP แต่ต้องการความคิดที่ถูกต้องในการลด $L$ $L$ $L$

ตัวอย่างบางส่วน

ปัญหาที่สมบูรณ์ของ NEXPTIME คือ NP-hard ภายใต้การลดพหุนามแบบหลาย ๆ ครั้ง ปัญหาใด ๆ ใน NP อยู่ใน NEXPTIME ดังนั้นสามารถลดไปที่ โดยการกำหนด ตามทฤษฎีลำดับชั้นของเวลา ไม่สามารถอยู่ใน NP ดังนั้น จึงไม่สมบูรณ์ $L$ $L$ $L$ $L$
#SAT เป็นปัญหาของการคำนวณจำนวนการมอบหมายที่น่าพอใจให้กับสูตร CNF เห็นได้ชัดว่ามันไม่ได้อยู่ใน NP เพราะอย่างที่คุณสังเกตเห็น NP เป็นปัญหาในการตัดสินใจและ #SAT ไม่ใช่หนึ่งในนั้น อย่างไรก็ตาม #SAT นั้น NP-hard ภายใต้การลดทัวริงเวลาพหุนามเพราะเราสามารถลด SAT ได้ เมื่อพิจารณาจากตัวอย่าง SAT เราจะถามว่ามีงานที่ได้รับมอบหมายที่น่าพอใจจำนวนเท่าใด: หากมีอย่างน้อยหนึ่งรายการเราจะพูดว่า มิฉะนั้น "ไม่น่าพอใจ"
ให้ APPROXSAT จะมีปัญหาในการคำนวณจำนวนซึ่งเป็นปัจจัยภายในสิบของจำนวนที่ได้รับมอบหมายพอใจให้กับ CNF สูตร \น่ารำคาญสมมติว่าคุณได้รับอนุญาตให้ปัดเศษดังนั้นหาก มีการมอบหมายที่น่าพอใจสามชุดอัลกอริทึมได้รับอนุญาตให้คิดว่า "0.3" และปัดเศษให้เหลือศูนย์ นี่คือ NP-hard ภายใต้การลดทัวริงเวลาพหุนามเพราะเรายังสามารถลด SAT ได้ รับสูตร CNF , ขอหมายเลขมอบหมายที่น่าพอใจให้กับ , ที่ เป็นตัวแปรใหม่ เป็นที่น่าพอใจหากและถ้าเป็นเพียง คือ แต่ $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ $\varphi'=\varphi \wedge (Z_1\vee \dots \vee Z_{10})$ $Z_i$ $\varphi'$ $\varphi$ $\varphi'$ รับประกันว่าจะมีการมอบหมายมากกว่า 1,000 รายการถ้ามี ดังนั้น เป็นที่น่าพอใจถ้าและถ้าอัลกอริทึม AWAYSAT บอกว่า มีการมอบหมายอย่างน้อย 100 ครั้ง $\varphi$ $\varphi'$

— David Richerby
แหล่งที่มา