Decidability ของการตรวจสอบ antiderivative

9

สมมุติว่าฉันมีสองฟังก์ชั่น $F$ และและฉันสนใจที่จะพิจารณาว่า $G$

F (x) = \int G (x) d x .

$F(x) = \int G(x)dx.$

สมมติว่าฟังก์ชั่นของฉันประกอบด้วยฟังก์ชั่นพื้นฐาน (พหุนาม, เอ็กซ์โปเนนเชียล, บันทึกและฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ) แต่ไม่ใช่พูดซีรีย์เทย์เลอร์

ปัญหานี้ตัดสินได้หรือไม่? ถ้าไม่มันเป็น semidecidable?

(ฉันถามเพราะฉันสอนชั้นเรียนเกี่ยวกับความสามารถในการคำนวณและนักเรียนถามฉันว่า TM จะช่วยให้คุณรวมฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักอินทิกรัลได้หรือไม่ฉันสงสัยว่าฟังก์ชั่นที่เราไม่รู้จะรวมกันเป็นอย่างไร ฟังก์ชั่นที่เหมาะสมซึ่งไม่สามารถแสดงอินทิกรัลเป็นการรวมกันของฟังก์ชั่นพื้นฐานด้านบนมากกว่าฟังก์ชั่นที่เราไม่รู้จักอินทิกรัล แต่จริง ๆ แล้วทำให้ฉันคิดว่าปัญหาทั่วไปของการตรวจสอบอินทิกรัล

— templatetypedef
แหล่งที่มา

คุณดูเหมือนจะถามถึงความแตกต่างเชิงสัญลักษณ์ คุณอาจจะดูที่en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_computationและen.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system ไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าคุณอนุญาตฟังก์ชั่นใด คุณอนุญาตให้จัดองค์ประกอบแบบใด เช่นอนุญาตหรือไม่ ฉันขอแนะนำให้คุณลองทำเป็นชั้นฟังก์ชั่นที่คุณสนใจเกี่ยวกับการใช้คำจำกัดความซ้ำ คุณลองดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณใช้กฎลูกโซ่และดูว่าคุณจะได้อัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำที่จัดการทุกกรณีได้หรือไม่?

F (x) = \sin (\cos (e^{x})) + \log (2 x^{3} + 3)

$F(x)=\sin(\cos(e^x)) + \log(2x^3+3)$

— DW

3

เนื่องจากความแตกต่างนั้นง่ายคุณจึงถามว่าเราสามารถตัดสินใจได้หรือไม่ว่านิพจน์เป็นศูนย์เหมือนกันหรือไม่ นี่อาจเป็นปัญหาในการค้นหาข้อมูลที่ง่ายกว่า

F

$F$

— Yuval Filmus

8

คำตอบสั้น ๆ สำหรับคำถามของคุณคือ "ไม่" ทฤษฎีบทของริชาร์ดสันและส่วนขยายในภายหลังโดยทั่วไประบุว่าทันทีที่คุณรวมฟังก์ชั่นตรีโกณมิติเบื้องต้นปัญหาของการตัดสินใจว่า (และถ้าเนื่องจากนี่เป็นสิ่งเดียวกัน ) แก้ไม่ได้ $f(x) = 0$ $f(x) = g(x)$ $f(x) - g(x) = 0$

สิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับเรื่องนี้ก็คือทฤษฎีลำดับที่หนึ่งของสนามปิดจริงนั้นสามารถตัดสินใจได้ เหตุผลที่เพิ่มฟังก์ชันตรีโกณมิติทำให้ระบบลำดับแรก undecidable เนื่องจากคุณสามารถสร้างจำนวนเต็มผ่านและทฤษฎีของจำนวนเต็มไม่สามารถอธิบายได้ . $\{ x \in R : \sin(\pi x) = 0 \}$

หรือไม่ว่าทฤษฎีของสาขาที่ปิดจริงกับเป็น decidable เป็นปัญหาที่มีชื่อเสียงเปิดอย่างเป็นธรรม $e^x$

ที่น่าสนใจยิ่งกว่าคือนี่คือถ้าคุณมี oracle ที่ "แก้ไข" ปัญหาคงที่ (เช่น oracle ที่สามารถบอกคุณได้ว่าหรือไม่) จากนั้นการรวมฟังก์ชั่นพื้นฐานในเงื่อนไข จำกัด แน่นอนและ รู้จักอัลกอริทึมในทางปฏิบัติ ดังนั้นเมื่อ , เราสามารถหาหรือรู้ว่าไม่มีอินทิกรัลครบวงจรของในเงื่อนไข จำกัด $f(x) = 0$ $G(x)$ $F(x)$ $G$

— นามแฝง
แหล่งที่มา

6

ดูเหมือนว่าปัญหาของคุณจะลดคำถามที่ง่ายขึ้นดังต่อไปนี้:

รับสองฟังก์ชั่น $F,G$ ในคลาสของฟังก์ชั่นเรามี $F(x)=G(x)$ เพื่อทุกสิ่ง $x$ ? (กล่าวอีกนัยหนึ่งพวกเขามีค่าเท่ากันทุกที่หรือไม่)

ฉันไม่รู้ว่านี่เป็นสิ่งที่ตัดสินใจได้หรือไม่สำหรับฟังก์ชั่นชั้นนี้ ถ้าเป็นเช่นนั้นปัญหาของคุณควรจะตัดสินใจได้เช่นกัน

สำหรับปัญหาของคุณวิธีการทั่วไปคือ: แตกต่างเชิงสัญลักษณ์ $F(x)$ เพื่อรับ $F'(x)$ จากนั้นตรวจสอบว่าเรามี $F'(x)=G(x)$ เพื่อทุกสิ่ง $x$ .

ดังนั้นขั้นตอนสำคัญคือความแตกต่างของสัญลักษณ์ เรามาดูวิธีการทำอย่างละเอียดกันดีกว่า เราสามารถกำหนดระดับของฟังก์ชั่นที่อนุญาตซ้ำ:

F (x) ::= c | x | e^{x} | \log (x) | \sin (x) | \cos (x) | \tan (x) | F_{1} (x) + F_{2} (x) | F_{1} (x) \times F_{2} (x) | F_{1} (x) / F_{2} (x) | F_{1} (F_{2} (x))

$\newcommand{\or}{\;\vert\;} F(x) ::= c \or x \or e^x \or \log(x) \or \sin(x) \or \cos(x) \or \tan(x) \or F_1(x) + F_2(x) \or F_1(x) \times F_2(x) \or F_1(x)/F_2(x) \or F_1(F_2(x))$

เมื่ออยู่เหนือค่าคงที่และอยู่เหนือฟังก์ชัน $c$ $F,F_1,F_2$

จากนั้นเป็นไปได้ที่จะสร้างอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำสำหรับความแตกต่างเชิงสัญลักษณ์ของคลาสของฟังก์ชันนี้โดยใช้กฎมาตรฐานของแคลคูลัส (เช่นกฎลูกโซ่ ฯลฯ ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราสามารถจัดการกับทุกกรณีข้างต้นและแสดงซ้ำว่าอนุพันธ์สามารถแสดงสัญลักษณ์เป็นฟังก์ชันภายในคลาสนี้ ตัวอย่างเช่น

ถ้า , 0 $F(x)=c$ $F'(x)=0$
ถ้า , 1 $F(x)=x$ $F'(x)=1$
ถ้า , x $F(x)=e^x$ $F'(x)=e^x$
ถ้า , x $F(x)=\log(x)$ $F'(x)=1/x$
ถ้า ,(x) $F(x)=\sin(x)$ $F'(x)=\cos(x)$
ถ้า , 2 $F(x)=\tan(x)$ $F'(x)=1 + (\tan(x))^2$
ถ้า ,(x) $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ $F'(x)=F'_1(x)+F'_2(x)$
ถ้า ,(x) $F(x)=F_1(x) \times F_2(x)$ $F'(x)=F'_1(x) F_2(x) +F_1(x) F'_2(x)$
หาก , (กฎลูกโซ่) $F(x) = F_1(F_2(x))$ $F'(x) = F'_1(F_2(x)) F'_2(x)$

และอื่น ๆ ในแต่ละกรณีถ้าอยู่ในชั้นเรียนของฟังก์ชั่นที่อนุญาตแล้วเพื่อให้เป็นและคุณซ้ำสามารถทำงานออกแสดงออกสัญลักษณ์ - นี้เป็นที่รู้จักกันเป็นความแตกต่างที่เป็นสัญลักษณ์ $F(x)$ $F'(x)$ $F'(x)$

สุดท้ายที่เหลือคือการตรวจสอบว่าสำหรับทุกxนั่นคือปัญหาที่ฉันพูดถึงที่ด้านบนของคำตอบของฉัน $F'(x)=G(x)$ $x$

มีวิธีง่าย ๆ ในการตรวจสอบว่ามีฟังก์ชันสองอย่างที่เหมือนกันซึ่งฉันคาดว่าจะทำงานได้ดีในทางปฏิบัติหรือไม่ อัลกอริทึมคือ: เลือกค่าสุ่มเป็นซ้ำ ๆและตรวจสอบว่าเก็บค่าไว้หรือไม่ ถ้ามันมีความเสมอภาคสำหรับเลือกแบบสุ่มจำนวนมากดังนั้นเอาต์พุต "พวกมันจะเท่ากัน" หากคุณพบใด ๆที่จากนั้นเอาท์พุท "พวกมันต่างกัน" $x$ $F(x)=G(x)$ $x$ $x$ $x$ $F(x)\ne G(x)$

ไม่มีการรับประกันว่าสิ่งนี้จะได้ผล แต่สำหรับฟังก์ชั่นหลายคลาสผลลัพธ์ของขั้นตอนนี้จะถูกต้องด้วยความน่าจะเป็นสูง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมมติว่าเรามีการแจกแจงบางส่วนบนแทนด้วยตัวแปรสุ่มและอย่างที่เก็บไว้สำหรับทั้งหมดในชั้นเรียน สมมติว่าคลาสของฟังก์ชั่นที่อนุญาตปิดภายใต้การลบ (เช่นคลาสของคุณ) จากนั้นก็ต่อว่ารอบของขั้นตอนข้างต้นจะช่วยให้คำตอบที่ผิดปกติกับความน่าจะเป็นที่มากที่สุด R $x$ $X$ $\epsilon>0$ $\Pr[F(X)=0] \ge \epsilon$ $F$ $r$ $(1-\epsilon)^r$

นอกจากนี้หากมีขั้นตอนการสุ่มสำหรับการทดสอบความเท่าเทียมกันของพหุนามปัญหาก็จะถูกตัดสินได้

ยังคงต้องถามว่าผลลัพธ์ดังกล่าวเก็บไว้สำหรับคลาสเฉพาะของฟังก์ชันหรือไม่ คำสั่งข้างต้นอาจจะไม่ถือ อย่างไรก็ตามหากเราโชคดีบางทีเราอาจจะสามารถพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้:

สำหรับทั้งหมดบางทีเราสามารถหาการแจกแจงในจำนวนจริงเช่นตัวแปรสุ่มและค่าคงที่เช่นนั้นถือสำหรับทุกฟังก์ชั่ที่อยู่ในชั้นเรียนของคุณและมี "ขนาด" ที่มากที่สุดs $s \in \mathbb{N}$ $X_s$ $\epsilon_s > 0$ $\Pr[F(X)=0]$ $F$ $s$

หากนี่เป็นเรื่องจริงมันจะตามมาว่ามีอัลกอริทึมแบบสุ่มสำหรับการทดสอบความเท่าเทียมกันของพหุนามและทำให้ปัญหาของคุณสามารถตัดสินใจได้

— DW
แหล่งที่มา