คำจำกัดความ PTAS เทียบกับ FPTAS

จากสิ่งที่ฉันอ่านใน preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

นี่คือนิยามPTAS :

รูปแบบการประมาณเวลาพหุนาม ( PTAS ) สำหรับปัญหาเป็นรูปแบบการประมาณซึ่งความซับซ้อนของเวลาคือพหุนามในขนาดอินพุต $X$

และนิยามของ FPTAS

เวลาพหุนามอย่างเต็มที่ประมาณโครงการ ( FPTAS ) สำหรับปัญหา เป็นโครงการที่มีความซับซ้อนประมาณเวลาพหุนามในขนาดการป้อนข้อมูลและยังพหุนามใน 1 / ε $X$ $\epsilon$

จากนั้นผู้เขียนพูดว่า:

ดังนั้นสำหรับ PTAS จะยอมรับได้ว่ามีความซับซ้อนของเวลาตามสัดส่วนกับที่ไหนคือขนาดอินพุตนั้นแม้ว่าความซับซ้อนครั้งนี้ชี้แจงใน εFPTAS ไม่สามารถมีความซับซ้อนของเวลาที่เพิ่มขึ้นแบบทวีคูณในแต่ความซับซ้อนของเวลาเป็นสัดส่วนกับน่าจะดี ด้วยความเคารพต่อการประมาณกรณีที่เลวร้ายที่สุด FPTAS เป็นผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งที่สุดที่เราสามารถหาได้จากปัญหา NP-hard $|I|^{1/\epsilon}$ $|I|$ $1/\epsilon$ $1/\epsilon$ $|I|^8/\epsilon^3$

จากนั้นเขาแนะนำรูปต่อไปนี้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างชั้นเรียนของปัญหา:

นี่คือคำถามของฉัน:

จากคำจำกัดความของ PTASและFPTASนักเขียนสรุปได้อย่างไรว่าFPTASไม่สามารถมีความซับซ้อนของเวลาที่เพิ่มขึ้นแบบทวีคูณใน ? และมันแตกต่างกันอย่างไรถ้ามันมีความซับซ้อนของเวลา $1/\epsilon$
ซับซ้อนเวลาเช่นเป็นที่ยอมรับสำหรับFPTASแต่มันไม่ได้สำหรับPTASแล้วทำไมFPTASจะถือเป็นส่วนหนึ่งของPTAS ? $(n+1/\epsilon)^3$
เขาหมายถึงอะไร: FPTAS เป็นผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งที่สุดที่เราสามารถหาได้สำหรับปัญหา NP-hard
ในภาพรวมฉันอยากจะรู้ว่าสิ่งเหล่านี้ตรงกับแนวคิดและสิ่งที่เป็นคุณสมบัติที่แตกต่างของพวกเขา

ขอบคุณล่วงหน้า.

— M ama D
แหล่งที่มา

คุณจะได้รับว่า "ความซับซ้อนของเวลาเช่น

เป็นที่ยอมรับสำหรับFPTASแต่ไม่ใช่สำหรับPTAS "

(n + 1 / ϵ)^{3}

$(n+1/\epsilon)^3$

กรุณาอย่าโพสต์มากกว่าหนึ่งคำถามในหนึ่งโพสต์โปรด เป็นไปได้มากที่การเข้าใจคำตอบสำหรับคำถามแรกของคุณทำให้การพักผ่อนเป็นไปตามนั้น (Imho ปัญหาของคุณคือคุณไม่เข้าใจว่า "และพหุนามใน 1 / ϵ" หมายถึงอะไร)

— Raphael

n

$n$

(n + 1 / ϵ)^{3}

$(n+1/\epsilon)^3$

n

$n$

@RickyDemer คุณถูกต้องฉันทำผิดพลาด ขอบคุณ.

— M ama D

ให้ฉันตอบคำถามของคุณตามลำดับ:

$n$ $1+\epsilon$ $n$ $1/\epsilon$ $O((n/\epsilon)^C)$ $C \geq 0$ $2^{1/\epsilon}$ $O((n/\epsilon)^C)$ $C$
$O((n/\epsilon)^C)$ $O(n^C e^{D/\epsilon})$ $\epsilon$ $E$ $1+1/n^E$
$1+\epsilon$ $(n+1/\epsilon)^3$ $\epsilon$ $O(n^3)$ $n$
$\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $n$ $\log(1/\epsilon)$ $n$ $\log(1/\epsilon)$
$C>1$ $1+\epsilon$ $e^{1/\epsilon}$ $\epsilon$ $\epsilon$ $1+1/n^C$ $C$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

โปรดอย่าสนับสนุนพฤติกรรมการโพสต์ที่ไม่พึงประสงค์

— กราฟิลส์

$|I|=n$ $\epsilon$ $n^{1/\epsilon}$ $n$ $\epsilon$ $\epsilon$ $1/\epsilon$ $n$ $\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$ $n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$ $n^{1/\epsilon}$ $n$ $1/\epsilon$

— Cyriac Antony
แหล่งที่มา

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$