P, NP และเครื่องจักรทัวริงเฉพาะ

ฉันเป็นคนใหม่ แต่สนใจในสาขาการคำนวณและทฤษฎีความซับซ้อนและฉันต้องการที่จะอธิบายความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาในชั้นเรียนและปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเครื่องจักรที่ใช้ในการแก้ปัญหาอย่างมาก

ความเข้าใจของฉัน

• เครื่องทัวริงมาตรฐาน - เครื่องทัวริงที่มีตัวอักษร จำกัด จำนวน จำกัด ของรัฐและเทปขวาไม่มีที่สิ้นสุดเดียว
• เครื่องจักรทัวริง - เทียบเท่า - เครื่องจักรทัวริงซึ่งสามารถเลียนแบบและเลียนแบบโดยเครื่องทัวริงมาตรฐาน (ค่อนข้างบ่อยกับการแลกเปลี่ยนระหว่างพื้นที่และเวลาที่ประสบความสำเร็จโดยการจำลอง)
• P - ระดับของปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยใช้เครื่องทัวริงมาตรฐาน (กำหนดไว้ข้างต้น)
• NP - ระดับของปัญหาที่สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามโดยใช้เครื่องทัวริงมาตรฐาน
• NP-complete- ปัญหาที่ยากที่สุดที่ยังอยู่NPซึ่งNPปัญหาทั้งหมดสามารถเปลี่ยนเป็นเวลาพหุนาม

คำถามของฉัน

เรียนซับซ้อน ( P, NP, NP-completeฯลฯ ) ที่เกี่ยวข้องกับขั้นตอนวิธีการหรือขั้นตอนวิธีการและเครื่อง?

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าคุณสามารถสร้างเครื่องทัวริงเทียบเท่า (ที่สามารถแก้ปัญหาทั้งหมดที่ Standard TM สามารถ แต่ในเวลา / พื้นที่ที่แตกต่างกัน) และเครื่องใหม่นี้สามารถแก้NP-completeปัญหาในเวลาที่เติบโตเป็น พหุนามที่เกี่ยวกับการป้อนข้อมูลที่จะบ่งบอกP=NP?

หรือNP-completeปัญหาจะต้องได้รับการแก้ไขในทัวริงเครื่องจักรที่เป็นไปได้ทั้งหมดในเวลาพหุนามเพื่อพิจารณาP?

หรือฉันเข้าใจผิดสิ่งพื้นฐานด้านบน

ฉันมีรูปลักษณ์ (อาจไม่ตรงกับคำค้นหาที่ถูกต้องฉันไม่รู้ศัพท์แสงทั้งหมดค่อนข้างดี) แต่ดูเหมือนว่าการบรรยาย / โน้ตส่วนใหญ่ ฯลฯ เน้นที่เครื่องมาตรฐาน แต่บอกว่าเครื่องที่กำหนดเองมักจะมีเวลา / ความเร็วในการใช้พื้นที่ ค่าใช้จ่ายในการใช้พื้นที่ / เวลาโดยไม่ต้องพูดว่ามันมีความซับซ้อนอย่างไร ฉันยังไม่คุ้นเคยกับศัพท์แสงในสาขานี้เท่าที่ควรเพื่อหาเอกสารที่อธิบายสิ่งนี้

อัลกอริทึมและเครื่องไม่ได้กำหนดไว้ในคำถามของคุณและฉันไม่คิดว่าพวกเขาจะต้องถามสิ่งที่คุณต้องการถาม

คลาสความซับซ้อนถูกกำหนดโดยใช้เครื่องทัวริง นั่นคือคำจำกัดความของพวกเขา หากคุณต้องการพิสูจน์สิ่งที่คุณต้องใช้คำจำกัดความเหล่านี้ สิ่งใดเกี่ยวกับรุ่นอื่น ๆ นั้นไม่เกี่ยวข้องเว้นแต่คุณจะพิสูจน์ความสอดคล้องระหว่างโมเดลนั้นกับเครื่องทัวริง

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{BPP}$

$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$

$\mathsf{BQP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

การจดบันทึกเพียงเล็กน้อยเพื่อขีดเส้นใต้ว่าการจำลองที่มีประสิทธิภาพของทัวริงหมายถึงไม่เพียง แต่สามารถจำลองการคำนวณของทัวริงและในทางกลับกันอย่างมีประสิทธิภาพ (การชะลอตัวของพหุนามเวลา); แต่ยังต้องมีการแปลงอินพุท / เอาท์พุทของมันอย่างมีประสิทธิภาพจากรุ่นหนึ่งไปอีกรุ่นหนึ่ง

ตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ : หากคุณพบอุปกรณ์ทัวริงที่สามารถแก้ปัญหา SAT ได้ในเวลาคงที่ แต่ใช้เป็นอินพุตของหินอ่อน (unary) คุณจะไม่สามารถสรุปอะไรได้เลย เช่นเดียวกันหากอุปกรณ์ของคุณใช้อินพุตแบบไบนารี่ แต่ใช้ขั้นตอนจำนวนมากในการแปลงอินสแตนซ์ของ SAT เป็นรูปแบบอินพุตที่ใช้

ความเข้าใจของคุณดีมาก! คุณสามารถค้นหาข้อมูลเพิ่มเติมในข้อความหากคุณสนใจเช่น Sipser's Intro to theory of Computation

มีความคิดนี้เรียกว่าวิทยานิพนธ์ทัวริสต์ของโบสถ์ที่กล่าวว่าสิ่งใดก็ตามที่สามารถคำนวณได้สามารถคำนวณได้โดยใช้เครื่องทัวริง (มันไม่สามารถพิสูจน์ได้ แต่เป็นเพียงความคิดหรือกฎของธรรมชาติที่เราคิดว่าเป็นจริง)

ฉันพูดถึงสิ่งนี้เพราะยังมี "วิทยานิพนธ์ของคริสตจักรขยายทัวริง" ที่บอกว่าสิ่งที่สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามอย่างใดสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามโดยใช้เครื่องทัวริง

มีเหตุผลที่ดีที่จะสงสัยการคาดเดานี้เพราะเรารู้ว่าอัลกอริธึมการคำนวณควอนตัมที่ได้รับการเร่งความเร็วที่ดีกว่าพหุนามมากกว่าอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมที่รู้จักกันดี อย่างไรก็ตามนอกเหนือจากนั้นคิดว่าเครื่องจักรคลาสสิกใด ๆ ที่คุณสามารถสร้าง (แน่นอนว่าตัวแปรใด ๆ ในเครื่องทัวริง) ไม่สามารถอธิบายได้เร็วกว่าเครื่องทัวริง ดังนั้นหาก "Turing-Equivalent Machine" ของคุณสามารถเรียกใช้อัลกอริทึมที่แก้ไขปัญหา NP-Complete ในเวลาพหุนามดังนั้น P = NP เพราะฉันสามารถแปลงเป็นอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหาเดียวกันใน TM

แต่ถ้าคุณคิดว่าเครื่องจักรทัวริงเทียบเท่าอาจเป็นหนึ่งในสิ่งแรกที่คุณทำคือการคิดวิธีการจำลองด้วย TM คลาสสิกและที่จะบอกคุณว่าคุณมีการแปลงพหุนามเวลาหรือ ไม่. และคำตอบก็น่าจะใช่แน่นอนยกเว้นบางทีคุณอาจจะอธิบายช้าลง (แต่ไม่เร็วกว่า - เราคิดว่านอกเสียจากว่าจะเป็นควอนตัม