ผลกระทบของความไม่สามารถพิสูจน์ได้ของ

22

ฉันอ่านว่า " เป็น P กับ NP อิสระอย่างเป็นทางการหรือไม่ " แต่ฉันก็งง

เป็นที่เชื่อกันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีความซับซ้อนที่{} คำถามของฉันเกี่ยวกับสิ่งที่หากไม่สามารถพิสูจน์ได้ (พูดใน ) (สมมติว่าเราพบเพียงว่าเป็นอิสระจากแต่ไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการพิสูจน์นี้) $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $ZFC$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $ZFC$

อะไรคือความหมายของถ้อยแถลงนี้? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

ความแข็ง

สมมติว่าจับอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพ ( วิทยานิพนธ์ Cobham – Edmonds ) และเราพิสูจน์เพื่อบอกว่าพวกเขาเป็น นอกเหนือจากการเข้าถึงอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพของเราในปัจจุบัน ถ้าเราพิสูจน์การแยกหมายความว่าไม่มีอัลกอริธึมเวลาพหุนาม แต่สิ่งที่ไม่ผลหมายถึงถ้าแยกไม่สามารถพิสูจน์ได้? จะเกิดอะไรขึ้นกับผลลัพธ์เหล่านี้ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{NP\text{-}hardness }$ $\mathsf{NP\text{-}hardness}$ $\mathsf{NP\text{-}hardness }$

อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ

การแยกไม่ได้หมายความว่าเราจำเป็นต้องเปลี่ยนคำจำกัดความของอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพหรือไม่?

— คาร์ทิค
แหล่งที่มา

13

สิ่งแรกที่คุณต้องถามคือ: เป็นอิสระจากอะไร ในตรรกะทางคณิตศาสตร์มีสัจพจน์หลายชุดที่ผู้คนได้พิจารณา ค่าเริ่มต้นคือ ZFC หรือทฤษฎีเซตของ Zermelo-Fraenkel พร้อมสัจพจน์ของตัวเลือก ความหมายของการเป็นอิสระจาก ZFC ก็คือไม่สามารถพิสูจน์ P = NP หรือ P! = NP ได้จากสัจพจน์เหล่านี้

— Peter Shor

2

ถ้าคุณต้องการที่จะรู้ว่าสิ่งที่พิสูจน์สำหรับคำสั่งของรูปแบบ "ไม่ว่า X หรือไม่เป็นอิสระจากระบบสัจพจน์ Y" ดูเหมือนทำไมคุณไม่เพียงแค่อ่านตัวอย่าง? ความเป็นอิสระของสัจพจน์ของทางเลือกจากทฤษฎีเซต Zermelo-Fraenkel เป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียง ฉันโหวตให้ปิดไม่ใช่คำถามจริงโดยไม่ได้ตั้งใจ แต่ฉันตั้งใจจะลงคะแนนเพื่อปิดกระทู้

— Tsuyoshi Ito

15

คุณได้อ่านบทความของ Scott Aaronson ที่ดีและหาได้ง่าย "P กับ NP เป็นอิสระอย่างเป็นทางการหรือไม่" ( scottaaronson.com/papers/pnp.pdf )

— Marzio De Biasi

2

คำถาม "ถ้า X พิสูจน์แล้วว่าเป็นอิสระจาก ZFC และเรามีทฤษฎีบทของรูปแบบ X

Y สิ่งที่เกิดขึ้นกับทฤษฎีบทเหล่านี้?" ดูเหมือนจะโพสต์ได้ดีและเป็นคำถามที่ฉันเชื่อว่า OP กำลังถาม คำตอบน่าจะเป็น: ในระบบสัจพจน์บางระบบเช่น ZFC + X เรามี Y holding อยู่ในขณะที่ ZFC +

X เราไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับ Y ดังนั้นทฤษฎีบทเงื่อนไขเหล่านี้จะมีค่าบางอย่าง ในความเป็นจริงพวกเขาจะมีคุณค่ามากขึ้นในสถานการณ์นี้มากกว่าที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่าเป็นทฤษฎีบท

X

\to

$\rightarrow$

\neg

$\lnot$

\neg

$\lnot$

— András Salamon

2

การไม่สามารถพิสูจน์ได้ของ ZFC ของ P vs NP อาจจะมีความหมายมากกว่าสำหรับทฤษฎีเซตมากกว่าทฤษฎีความซับซ้อน

— David Harris

18

คำถามของคุณน่าจะถูกใช้เป็นประโยคได้ดีกว่า "ทฤษฎีความซับซ้อนจะได้รับผลกระทบอย่างไรจากการค้นพบหลักฐานที่แสดงว่า P = NP เป็นอิสระจากระบบสัจพจน์จริงที่เป็นทางการ?"

เป็นการยากที่จะตอบคำถามนี้ในบทคัดย่อเช่นในกรณีที่ไม่เห็นรายละเอียดของการพิสูจน์ ดังที่ Aaronson กล่าวไว้ในบทความของเขาการพิสูจน์ความเป็นอิสระของ P = NP จะต้องใช้ความคิดใหม่อย่างรุนแรงไม่ใช่แค่เรื่องทฤษฎีความซับซ้อน แต่เกี่ยวกับวิธีการพิสูจน์ความเป็นอิสระ เราจะทำนายผลที่ตามมาของความก้าวหน้าที่รุนแรงซึ่งรูปร่างของเราในปัจจุบันไม่สามารถคาดเดาได้อย่างไร

ยังมีข้อสังเกตสองสามข้อที่เราสามารถทำได้ ในการปลุกของการพิสูจน์ความเป็นอิสระของสมมติฐานต่อเนื่องจาก ZFC ที่ (และต่อมาจาก ZFC + พระคาร์ดินัลขนาดใหญ่) ขนาดใหญ่จำนวนมากของผู้คนได้มารอบ ๆ เพื่อมุมมองที่ว่าสมมติฐาน continuum คือไม่ใช่เรื่องจริงไม่ใช่เท็จ เราสามารถถามได้ว่าผู้คนในทำนองเดียวกันจะได้ข้อสรุปว่า P = NP เป็น "ไม่จริงหรือเท็จ" ในการพิสูจน์ความเป็นอิสระ (เพื่อการโต้แย้งเราสมมติว่า P = NP ได้รับการพิสูจน์โดยอิสระจาก ZFC + ขนาดใหญ่ ๆ ความจริงที่สำคัญ) ฉันเดาไม่ได้ โดยทั่วไปแล้ว Aaronson บอกว่าเขาจะไม่ทำ ทฤษฎีบทที่ไม่สมบูรณ์ข้อที่สองของ Goedel ไม่ได้นำใครที่ฉันรู้มาโต้แย้งว่า "ZFC สอดคล้องกัน" นั้นไม่จริงหรือเท็จคำแถลงและคนส่วนใหญ่มีความเชื่อมั่นอย่างแรงกล้าว่าคำแถลงเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ - หรืออย่างน้อยคำพูดเกี่ยวกับเลขคณิตนั้นง่ายเหมือน "P = NP" คือ - ต้องเป็นจริงหรือเท็จ การพิสูจน์ความเป็นอิสระก็จะถูกตีความว่าเป็นการบอกว่าเราไม่มีทางกำหนดว่า P = NP และ P NP เป็นกรณีใด $\ne$

เราสามารถถามได้ว่าผู้คนจะตีความสถานการณ์ของประเทศนี้ว่าบอกเราหรือไม่ว่ามีบางสิ่ง "ผิด" กับคำจำกัดความของ P และ NP บางทีเราควรจะทำใหม่รากฐานของทฤษฎีความซับซ้อนด้วยคำนิยามใหม่ที่ทำงานได้ง่ายกว่า? เมื่อมาถึงจุดนี้ฉันคิดว่าเราอยู่ในขอบเขตของการเก็งกำไรและไร้เดียงสาที่เราพยายามข้ามสะพานที่เรายังไม่ได้รับและพยายามแก้ไขสิ่งต่าง ๆ ที่ยังไม่พัง นอกจากนี้ยังไม่ชัดเจนว่าจะมีอะไรเกิดขึ้นจะ "เสีย" ในสถานการณ์นี้ นักทฤษฎีการตั้งค่ามีความสุขอย่างสมบูรณ์สมมติว่าสัจพจน์ขนาดใหญ่ที่พวกเขาพบว่าสะดวก ในทำนองเดียวกันนักทฤษฎีที่ซับซ้อนก็อาจมีความสุขอย่างสมบูรณ์ในโลกอนาคตสมมุตินี้โดยสมมติว่าความจริงที่แยกออกมาว่าพวกเขาเชื่อว่าเป็นความจริงแม้ว่าพวกเขาจะพิสูจน์ไม่ได้ก็ตาม

ในระยะสั้นไม่มีอะไรมากตามเหตุผลจากการพิสูจน์ความเป็นอิสระของ P = NP ใบหน้าของทฤษฎีความซับซ้อนอาจเปลี่ยนแปลงอย่างสิ้นเชิงในแง่ของการพัฒนาอันน่าอัศจรรย์ แต่เราเพียงแค่ต้องรอดูว่าการพัฒนานั้นมีลักษณะอย่างไร

— ทิโมธีเชา
แหล่งที่มา

3

@ vzn: ตัวอย่างของคุณไม่ใช่แค่ "arguably" arithmetical; มันเป็นแบบเชิงคณิตศาสตร์อย่างไม่มีข้อสงสัย แต่ฉันไม่แน่ใจว่าประเด็นของคุณคืออะไร ใช้สมการไดโอแฟนไทน์

กับคุณสมบัติที่ "

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา" ไม่สามารถบรรยายได้ใน ZFC ประเด็นของฉันคือทุกคนที่ฉันรู้จักเชื่อว่า

มีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่และเราก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้ทางเดียวหรืออย่างอื่น คุณเชื่อหรือไม่ว่าข้อเท็จจริงเกี่ยวกับว่า

มีทางออกหรือไม่-

นั้นไม่มีและไม่มีวิธีแก้ไขหรือไม่?

E

$E$

E

$E$

E

$E$

E

$E$

E

$E$

— Timothy Chow

4

@ vzn: ฉันคิดว่าคุณพลาดจุดโดยสิ้นเชิง คำถามไม่ได้ไม่ว่าจะเป็นคำสั่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นที่ตัดสินไม่ได้แต่ไม่ว่าจะเป็นค่าจริงหรือเท็จ แนวคิดทั้งสองนั้นแตกต่างอย่างสิ้นเชิง ยกตัวอย่างเช่นคุณจะพูดว่า ZFC นั้นไม่สอดคล้องหรือไม่สอดคล้องกันหรือไม่? ทุกคน (อื่น ๆ ) ที่ฉันรู้ว่าเชื่อว่า ZFC นั้นสอดคล้องกันหรือไม่แม้ว่าเราจะไม่มีวิธีพิจารณาว่าเป็นกรณีใดก็ตาม

— Timothy Chow

3

"นี่ฟังดูเหมือนศาสนาสำหรับฉันและไม่ใช่คณิตศาสตร์" - ยินดีต้อนรับสู่วิชาคณิตศาสตร์ บางทีวิธีที่น่ารังเกียจน้อยกว่าในการพูดว่า "X ไม่จริงหรือเท็จ" ก็คือเราไม่มีเหตุผลเบื้องต้นที่ต้องการระบบสัจพจน์ซึ่ง X เป็นจริงเหนือระบบสัจพจน์ซึ่ง X เป็นเท็จ เรามีแบบจำลองมาตรฐานเลขคณิต (เกือบ) ที่ได้รับการยอมรับในระดับสากล ในฐานะที่เป็นแบบแผนทางสังคมเรายอมรับข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในตัวแบบนั้นจริง ๆ แล้วเป็นความจริง สิ่งเดียวกันไม่สามารถพูดได้สำหรับทฤษฎีเซต

— Jeffε

2

ดูเพิ่มเติมที่consc.net/notes/continuum.htmlและmathoverflow.net/questions/14338/… - การผสมผสานระหว่างความเป็นทางการของนักคณิตศาสตร์แต่ละคนเข้าด้วยกันคือการวางตัวและการใช้สัญชาตญาณเป็นความเชื่อทางศาสนา

— Jeffε

2

@ vzn: คุณยังพลาดจุด แม้ว่าเราจะให้ความเชื่อทางศาสนาส่วนบุคคลของคุณสิ่งที่คุณพูดก็คือคุณจะไม่เข้าร่วม Aaronson และส่วนที่เหลือของโลกในการประกาศประโยคเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เป็นจริงหรือเท็จ เราทุกคนเห็นพ้องต้องกันว่าไม่มีทางที่จะบอกได้จากรูปแบบของการแถลงว่ามันไม่สามารถตัดสินใจได้ แต่นั่นไม่ใช่การอ้างสิทธิ์ โดยอ้างว่าเกือบทุกคนยกเว้นคุณไม่ได้มีสัญชาติญาณที่แข็งแกร่งที่งบคณิตศาสตร์เป็นจริงหรือเท็จ เพียงเพราะคุณไม่แบ่งปันความเชื่อมั่นนั้นไม่ได้หมายความว่าคนอื่นไม่มี

— Timothy Chow

11

นี่เป็นคำถามที่ถูกต้องแม้ว่าอาจจะเป็นประโยคที่น่าเสียดายเล็กน้อย คำตอบที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถให้ได้คือเอกสารอ้างอิงนี้:

สกอตต์ Aaronson: Is P เมื่อเทียบกับ NP อย่างเป็นทางการที่เป็นอิสระ ประกาศของสมาคมวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์แห่งยุโรปทฤษฎี 2546 ฉบับ 81, หน้า 109-136

บทคัดย่อ:นี่คือการสำรวจเกี่ยวกับคำถามชื่อเรื่องที่เขียนขึ้นสำหรับผู้ที่ (เช่นผู้เขียน) เห็นตรรกะว่าด้วยการห้าม, ลึกลับและห่างไกลจากความกังวลตามปกติของพวกเขา เริ่มต้นด้วยทฤษฎีความผิดพลาดในทฤษฎีเซตของ Zermelo Fraenkel กล่าวถึงความเป็นอิสระของ oracle พิสูจน์ธรรมชาติ ผลความเป็นอิสระของ Razborov, Raz, DeMillo-Lipton, Sazanov และอื่น ๆ ; และอุปสรรคในการพิสูจน์ P กับ NP เป็นอิสระจากทฤษฎีตรรกะที่แข็งแกร่ง มันลงท้ายด้วย musings ปรัชญาบางอย่างเมื่อใครควรคาดหวังว่าคำถามทางคณิตศาสตร์ที่จะมีคำตอบที่กำหนด

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

2

เอ่อฉันพลาดข้อเท็จจริงทั้งหมดที่ได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นของ Aaronson ขอโทษด้วย.

— Andrej Bauer

7

$[ZFC][1]$ . มันก็หมายความว่าทฤษฎีสามารถพิสูจน์ได้ว่าทั้งคำสั่งหรือการปฏิเสธของมัน ไม่ได้หมายความว่าคำแถลงไม่มีคุณค่าจริงไม่ได้หมายความว่าเราไม่สามารถรู้คุณค่าความจริงของแถลงการณ์ได้เราอาจจะสามารถเพิ่มสัจพจน์ที่สมเหตุสมผลใหม่ที่จะทำให้ทฤษฎีนั้นแข็งแกร่งพอที่จะสามารถทำได้ เพื่อพิสูจน์ข้อความหรือการปฏิเสธของมัน ในตอนท้ายการพิสูจน์ในทฤษฎีเป็นแนวคิดนามธรรมที่เป็นทางการ มันเกี่ยวข้องกับประสบการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริงของเราเท่านั้นเป็นแบบจำลอง

$\mathsf{P}$

$\Sigma_1$ $\Pi_1$ โทโพโลยีผ่านตรรกะ ", 1996. )

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\Sigma_2$ และค้นหาโพสต์ในรายชื่อผู้รับจดหมาย FOM

— Kaveh
แหล่งที่มา

4

ดังที่พิสูจน์ในบทความนี้:

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf

ถ้า P! = NP สามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นอิสระจาก Peano Arithmetic ดังนั้น NP มีขอบเขตบนสุดที่ใกล้เคียงกับพหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีเช่นนี้มีอัลกอริทึม DTIME (n ^ 1og * (n)) ที่คำนวณ SAT อย่างถูกต้องในช่วงความยาวอินพุตจำนวนมากอย่างไม่ จำกัด

— Avi Tal
แหล่งที่มา

0

เพียงแค่ความคิดในเรื่องการท่องเที่ยว อย่าลังเลที่จะวิจารณ์

ให้ Q = [ไม่สามารถพิสูจน์ได้ (P = NP) และไม่สามารถพิสูจน์ได้ (P / = NP)] สมมติว่า Q สำหรับความขัดแย้ง ฉันจะสมมติว่าการค้นพบที่รู้จักกันทั้งหมดเกี่ยวกับ P vs NP ยังคงทำงานได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหา NP ทั้งหมดเทียบเท่าในแง่ที่ว่าถ้าคุณสามารถแก้ปัญหาหนึ่งอย่างในเวลาพหุนามคุณสามารถแก้ปัญหาอื่น ๆ ได้ในเวลาพหุนาม ดังนั้นให้ W เป็นปัญหาที่สมบูรณ์ W แสดงถึงปัญหาทั้งหมดใน NP อย่างเท่าเทียมกัน เนื่องจาก Q มีใครไม่สามารถรับ algotithm A เพื่อแก้ W ในเวลาพหุนาม มิฉะนั้นเรามีหลักฐานว่า P = NP ซึ่งขัดแย้งกับ Q (1) (*) โปรดทราบว่าอัลกอริทึมทั้งหมดสามารถคำนวณได้โดยคำจำกัดความ ดังนั้นการบอกว่า A ไม่สามารถมีอยู่ได้หมายความว่าไม่มีวิธีคำนวณ W ในเวลาพหุนาม แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับ Q (2) เราเหลือทางปฏิเสธ (1) xor ปฏิเสธ (2) ทั้งสองกรณีนำไปสู่การคัดค้าน ดังนั้นคิวจึงขัดแย้งกัน

(*) คุณอาจพูดว่า "Aha! A อาจมีอยู่ แต่เราหาไม่เจอ" ถ้ามี A เราสามารถแจกแจงผ่านโปรแกรมทั้งหมดเพื่อค้นหา A โดยแจกแจงจากโปรแกรมที่เล็กลงไปจนถึงโปรแกรมที่ใหญ่กว่าโดยเริ่มจากโปรแกรมเปล่า A ต้องมีค่า จำกัด เนื่องจากเป็นอัลกอริธึมดังนั้นถ้า A มีอยู่ดังนั้นโปรแกรมการแจงนับเพื่อค้นหามันจะต้องยุติ

— Thomas Eding
แหล่งที่มา

1

@Victor: จุดดี ฉันจินตนาการว่าถ้า A มีอยู่เราสามารถวิเคราะห์แต่ละโปรแกรมที่แจกแจงเพื่อดูว่ามันแก้ปัญหา NP ที่สมบูรณ์ในเวลาพหุนามหรือไม่ ฉันเชื่อว่าตั้งแต่หนึ่งทำงานกับชุดคำสั่งที่ จำกัด (ได้รับจากคอมพิวเตอร์สากลบางอย่าง) ที่สามารถระบุได้ แต่ฉันไม่มีความเชี่ยวชาญ

— Thomas Eding

1

ปัญหาคือถ้า Q เป็นจริงเราจะตกอยู่ในกรณีที่ไม่มีใครไม่ว่าอัจฉริยะจะพิสูจน์ได้ว่าอัลกอริธึม X ที่สร้างโดย enumerator นั้นแก้ P = NP ได้แม้ว่ามันจะเป็นก็ตาม เช่นในกรณีนี้อัลกอริทึมในการตรวจสอบว่ามี P = NP อยู่และสามารถพบได้ แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะวิเคราะห์พิสูจน์ความถูกต้องของมัน ข้อความเพิ่มเติมเช่น "อัลกอริทึม X แก้ปัญหา P = NP ได้หรือไม่" ฟังดูไม่น่าเชื่อถือมาก

— Victor Stafusa

1

นอกจากนี้ ... หาก A มีอยู่ให้ N เป็นขนาด A ปล่อยให้ T เป็นเซตของโปรแกรมทั้งหมดที่มีขนาด <= N เราสามารถรัน W บน A ทั้งหมดใน A พร้อมกันใน T เมื่อแต่ละ A 'ยุติให้รัน เอาท์พุท O ผ่านโปรแกรมที่ตรวจสอบเพื่อดูว่า O แก้ W (โปรดทราบว่าสิ่งใดที่เรียกว่า 'การแก้ปัญหา' กับปัญหาที่สมบูรณ์แบบ NP สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม) หาก O เป็นคำตอบที่ถูกต้องให้ปิดคอมพิวเตอร์เครื่องอื่น ๆ ทั้งหมด และส่งคืน O. โปรดทราบว่าไม่ใช่ทุก ๆ A 'จะต้องยุติเพราะ A เป็นหนึ่งในนั้นและจะส่งออก O ที่ถูกต้องในเวลาพหุนาม ดังนั้นเราจึงไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ด้วยซ้ำว่า A solves P = NP ไม่มีคำจำกัดความ

— Thomas Eding

1

ในส่วน (*) ของคุณ: "A ต้อง จำกัด เนื่องจากเป็นอัลกอริทึมดังนั้นหาก A มีอยู่ดังนั้นโปรแกรมการแจงนับเพื่อค้นหาจะต้องยุติการทำงาน" นี่หมายความว่าตัวแจงนับควรจะสามารถระบุได้ว่าโปรแกรมที่เพิ่งสร้างขึ้นแก้ปัญหา NP-complete ในเวลาพหุนามซึ่งไม่แน่นอนแน่นอน (ยิ่งกว่านั้นเนื่องจากเราสมมติว่า Q ที่นี่) และดังนั้นตัวแจงนับจะไม่หยุด .

— Victor Stafusa

3

"P = NP เป็นอิสระจาก ZFC" ไม่เหมือนกับ "เราไม่สามารถหาอัลกอริทึมเพื่อแก้ปัญหาใด ๆ ใน NP ในเวลาพหุนามที่กำหนด" ในขณะที่ผู้ชนะได้ชี้ให้เห็น คำจำกัดความที่แม่นยำของคลาสเหล่านี้ค่อนข้างสำคัญเมื่อต้องรับมือกับแนวคิดเช่นความเป็นอิสระด้วยความเคารพต่อทฤษฎี

— András Salamon