อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการทำสีขอบที่ใกล้ที่สุดของกราฟิค

ปัญหาการระบายสีกราฟนั้นยากพอสำหรับคนส่วนใหญ่แล้ว ถึงอย่างนั้นฉันก็ต้องลำบากและถามปัญหาเกี่ยวกับการระบายสีไฮเปอร์กราฟ

คำถาม.

มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพอะไรบ้างในการค้นหาการระบายสีขอบโดยประมาณที่ดีที่สุดสำหรับกราฟิคชุด k

รายละเอียด ---

• กราฟไฮเปอร์ k-uniform เป็นหนึ่งในแต่ละขอบประกอบด้วยจุดยอด k อย่างแม่นยำ กรณีปกติของกราฟอย่างง่ายคือ k = 2 อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นฉันสนใจป้ายกำกับไฮเปอร์กราฟต์ k- ซึ่งสองขอบอาจมีจุดสุดยอดชุดเดียวกัน; แต่ฉันจะหาอะไรซักอย่างบนกราฟไฮเปอร์กราฟต์ปกติของ K ที่มีขอบตัดกันที่จุดยอดไม่เกิน k − 1

• การระบายสีขอบของไฮเปอร์กราฟกราฟคือสีที่ขอบของสีเดียวกันไม่ตัดกันเช่นเดียวกับกรณีของกราฟ ดัชนีรงค์ของสีχ '(H) คือจำนวนสีที่น้อยที่สุดตามปกติ

• ฉันต้องการผลลัพธ์เกี่ยวกับอัลกอริทึมเวลาแบบกำหนดแน่นอนหรือแบบสุ่ม

• ฉันกำลังมองหาช่องว่างระหว่างสิ่งที่สามารถค้นพบได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยประมาณกับปัจจัย / สารเติมแต่งที่รู้จักกันดีที่สุดและดัชนีสีจริงχ '(H) --- หรือสำหรับเรื่องนั้นผลลัพธ์ที่บรรลุผลได้ดีที่สุดในแง่ของพารามิเตอร์ เช่นระดับสูงสุดของจุดยอดΔ (H), ขนาดของไฮเปอร์กราฟฯลฯ

แก้ไข:ได้รับแจ้งจากคำพูดของ Suresh เกี่ยวกับ hypergraph duals ด้านล่างฉันควรทราบว่าปัญหานี้เทียบเท่ากับปัญหาในการค้นหาจุดสุดยอดสีของk-Regular hypergraph ที่แข็งแกร่งนั่นคือที่แต่ละจุดยอดอยู่ในขอบที่แตกต่างกันของ k ตอนนี้อาจมีจำนวนจุดยอดต่างกัน] และเราต้องการสีจุดยอดเพื่อให้จุดยอดสองอันที่อยู่ติดกันมีสีต่างกัน การปฏิรูปครั้งนี้ดูเหมือนจะไม่มีทางออกที่ชัดเจน

หมายเหตุ

ในกรณีของกราฟทฤษฎีบทของ Vizingไม่เพียง แต่รับประกันว่าตัวเลขขอบ - สีสำหรับกราฟ G คือΔ (G) หรือΔ (G) +1 การพิสูจน์มาตรฐานของมันยังให้อัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการค้นหาΔ (G) ) + 1 ขอบสี ผลลัพธ์นี้จะดีพอสำหรับฉันถ้าฉันสนใจในกรณี k = 2; อย่างไรก็ตามฉันสนใจเป็นพิเศษในเรื่อง k> 2 โดยพลการ

ดูเหมือนจะไม่มีผลลัพธ์ใด ๆ ที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับขอบเขตในการระบายสีขอบกราฟไฮเปอร์กราฟเว้นแต่คุณจะเพิ่มข้อ จำกัด เช่นขอบทุกอันที่ตัดกันในจุดยอดสูงสุด แต่ฉันไม่ต้องการขอบเขต on '(H) เอง อัลกอริธึมที่จะหาสี "ดีพอ" [ฉันยังไม่ต้องการวางข้อ จำกัด ใด ๆ ในกราฟิคของฉันยกเว้นว่าจะเป็นเครื่องแบบ k และอาจมีขอบเขตที่จุดสุดยอดสูงสุดเช่น Δ (H) ≤ f (k) สำหรับ f ∈ω (1) .]

[ ภาคผนวก ตอนนี้ฉันได้ถามคำถามที่เกี่ยวข้องกับ MathOverlowเกี่ยวกับขอบเขตของจำนวนสีที่สร้างสรรค์หรืออย่างอื่น]

คำตอบด้านล่างนี้ทำให้สภาพของคุณแย่ลงซึ่งคุณไม่ต้องการให้มีข้อ จำกัด ร้ายแรงในกราฟไฮเปอร์กราฟของคุณ แต่มันอาจเป็นที่สนใจถ้าเป็นงานที่เกี่ยวข้องเท่านั้น

$r$$r$

มีการทำงานเมื่อเร็ว ๆ นี้เกี่ยวกับปัญหา "การระบายสีที่มีสีสัน" สำหรับช่องว่างช่วงเรขาคณิตซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาในเครือข่ายเซ็นเซอร์ คำถามมาตรฐานที่ถามคือ:

$k$$S$$c_S(k)$$c_S(k)$$r$$S$$\min(|r|, k)$

ดังนั้นคือปริมาณที่คุณต้องการ (โดยที่คือจำนวนเชิงการนับสูงสุดของช่วง)$c_S(\Delta)$$\Delta$

คำถามที่เกี่ยวข้องคือการพิจารณาโดยที่เป็นพื้นที่พิสัยคู่ (มีผลคือไฮเปอร์กราฟิคดั้งเดิมของคุณ) ตัวอย่างหนึ่งของผลลัพธ์ที่ได้คือ :$c_\tilde{S}(k)$$\tilde{S}$

สำหรับคือพื้นที่ของ halfplanes ใน ,$S$$\Re^2$$c_S(k) \le 3k-2$

การอ้างอิงที่ดีสำหรับงานนี้คือเอกสาร DCG โดย Aloupsis et alและการอ้างอิงในเอกสาร