ลดขอบเขตใน #SAT หรือไม่

ปัญหา #SAT เป็นปัญหาแบบสมบูรณ์ # P ของ canonical มันเป็นปัญหาของฟังก์ชั่นแทนที่จะเป็นปัญหาในการตัดสินใจ มันจะถามให้สูตรบูลในตรรกะประพจน์กี่ความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายFมี ข้อใดคือขอบเขตที่ต่ำที่สุดใน #SAT$F$$F$

สำหรับความรู้ของฉันไม่มีใครคิดวิธีการใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติ "การนับการแก้ปัญหา" ของ #SAT ในขอบเขตล่างของอัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นดังนั้นน่าเสียดายที่ขอบเขตล่างที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับ #SAT นั้นเหมือนกับ SAT

อย่างไรก็ตามมีความคืบหน้าเล็กน้อย หมายเหตุว่ารุ่นการตัดสินใจของ #SAT เรียกว่า "ส่วนใหญ่-SAT": ได้รับสูตรทำอย่างน้อยที่เป็นไปได้ที่ได้รับมอบหมายตอบสนองมันได้หรือไม่ $1/2$"ส่วนใหญ่-SAT" เป็นสมบูรณ์และได้รับอัลกอริทึมสำหรับส่วนใหญ่-SAT, หนึ่งสามารถแก้ #SAT กับO ( n )การโทรไปยังขั้นตอนวิธี$PP$$O(n)$

ที่ใกล้เคียงที่สุดที่ผู้คนได้รับขอบเขตที่ต่ำกว่าใหม่สำหรับ #SAT (ที่ไม่ทราบว่ามีไว้สำหรับ SAT) นั้นมีขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับ "Majority-of-Majority-SAT": ให้สูตรแบบมีส่วนร่วมกับตัวแปรสองชุด X และ Y เป็นเวลาอย่างน้อยของการมอบหมายงานไปได้ที่จะXมันเป็นความจริงว่าอย่างน้อย1 / 2ได้รับมอบหมายเพื่อYทำให้พอใจสูตร? $1/2$$X$$1/2$$Y$ปัญหานี้อยู่ใน "ระดับที่สอง" ของลำดับชั้นการนับ (คลาส ) ควอนตัมขอบเขตเวลาต่ำกว่าขอบเขต (และอื่น ๆ ) เป็นที่รู้จักสำหรับชั้นนี้$PP^{PP}$

การสำรวจที่http://pages.cs.wisc.edu/~dieter/Papers/sat-lb-survey-fttcs.pdfให้ภาพรวมของผลลัพธ์ในทิศทางนี้

นอกจากนี้ #SAT ไม่มีพหุนามอย่างเต็มที่โครงการประมาณสุ่ม (FPRAS) เว้นแต่ P$NP=RP$