ปัญหาของ Treewidth และ NL กับ L

ST-การเชื่อมต่อเป็นปัญหาในการระบุว่ามีอยู่เส้นทางกำกับระหว่างสองจุดที่แตกต่างและเสื้อในกราฟG ( V , E ) ว่าปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ใน logspace เป็นปัญหาเปิดที่ยาวนาน นี้เรียกว่าN L VS Lปัญหา$s$$t$$G(V,E)$$NL$$L$

ความซับซ้อนของ ST-Connectivity คืออะไรเมื่อกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางของนั้น จำกัด ขอบเขตความกังวล$G$

เป็นที่รู้กันว่า NL-hard หรือไม่? มีขอบเขตบนหรือไม่$o({\log}^2n)$

ดูเหมือนว่าปัญหาอยู่ใน L โดย [EJT10] และทำให้ L-complete ภายใต้การลดขนาดโดย [CM87] ดูหน้า 2 จาก [EJT10]:$\text{NC}^1$

การใช้ทฤษฎีบท I.3 กับสูตรแสดงว่าXเป็นเส้นทางที่ง่ายจากsถึงtแสดงให้เห็นว่าปัญหา{ ( G , s , t ) |  tw ( G ) ≤ kมีเส้นทางจาก  s  ถึง  t  ใน  G } อยู่ใน L$\phi(X)$$X$$s$$t$$\{(G,s,t) \text{ } | \text{ tw$(G) \leq k$, there is a path from $s$ to $t$ in $G$}\}$

ผลลัพธ์ที่ได้จริงนี้นำไปใช้กับปัญหาทั้งหมดในกราฟ treewidth ที่มีขอบเขตซึ่งสามารถกำหนดในตรรกะลำดับที่สองแบบ monadic ใน L

[EJT10] Michael Elberfeld, Andreas Jakoby และจนถึง Tantau Logspace ทฤษฎีบทของ Bodlaender และ Courcelle ในการประชุมวิชาการประจำปีครั้งที่ 51 เรื่องรากฐานของวิทยาการคอมพิวเตอร์ (FOCS) หน้า 143–152, 2010

[CM87] Stephen A. Cook, Pierre McKenzie: ปัญหาเสร็จสมบูรณ์สำหรับพื้นที่ลอการิทึมที่กำหนด J. อัลกอริทึม 8 (3): 385-394 (1987)