Best Upper Bounds จาก SAT

43

ในกระทู้อื่นโจ Fitzsimons ถามเกี่ยวกับ "ขอบเขตที่ต่ำที่สุดในปัจจุบันที่ดีที่สุดใน 3SAT"

ฉันต้องการจะใช้วิธีอื่น: ขอบเขตบนที่ดีที่สุดในปัจจุบันใน 3SAT คืออะไร กล่าวอีกนัยหนึ่งความซับซ้อนของเวลาสำหรับตัวแก้ SAT ที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดคืออะไร?

โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นไปได้หรือไม่ที่จะหาอัลกอริธึมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

— MS Dousti
แหล่งที่มา

2

ฉันไม่รู้เกี่ยวกับผลลัพธ์การวิเคราะห์ แต่คุณสามารถหาผลลัพธ์การทดลองได้ที่นี่baldur.iti.uka.de/sat-race-2010/results.html (ดูลิงก์ "HTML")

— Radu GRIGore

1

ชื่อคำถามนี้เป็นบิตทำให้เข้าใจผิดเพราะการดำรงอยู่ของคำถามนี้: cstheory.stackexchange.com/questions/1295/sat-solver-download ฉันคิดว่าคุณอาจใช้ถ้อยคำใหม่เป็น 'ขอบเขตบนที่ดีที่สุดใน SAT'?

— Suresh Venkat

@Suresh: คำถามที่คุณอ้างถึงเกี่ยวข้องกับ "#SAT" ในขณะที่คำถามนี้สอดคล้องกับ SAT นอกจากนี้คำถามนั้นถูกถามประมาณหนึ่งสัปดาห์หลังจากคำถามนี้ ยังไงก็ตามคุณยังแนะนำให้เปลี่ยนชื่อเรื่องนี้หรือไม่?

— MS Dousti

ใช่เพราะ "SAT Solver" เป็นวัตถุที่รู้จักกันดีเฉพาะ - codebase จริงสำหรับการแก้ SAT Google จะสับสนและนำผู้คนที่กำลังมองหารหัสมาที่นี่ :)

— Suresh Venkat

4

เกี่ยวกับแรงจูงใจของคำถามนี้ฉันคิดว่าหลายคนเคยลองใช้ตัวแก้ SAT ใน 17x17 ครั้ง ดูเหมือนว่าจะเป็นแนวหน้าของสิ่งที่สามารถจัดการกับตัวแก้ SAT ได้ คุณสามารถลองใช้ตัวแก้ปัญหาแบบขนานได้ แต่ฉันรู้สึกประทับใจกับข้อความของ Bill Gasarch ที่คุณต้องใช้ความพยายามอย่างมาก คุณยังสามารถใช้ตัวแก้ปัญหา SMT กับทฤษฎีที่เหมาะสมหรือใช้ตัวแก้ข้อ จำกัด ที่ใช้ข้อ จำกัด ระดับโลกที่มีตัวขยายประสิทธิภาพ ในแต่ละกรณีความคิดใหม่จะเป็นการแสดงออกถึงคุณสมบัติที่สำคัญซึ่งยากต่อการใช้คำสั่ง

— András Salamon

38

มีตัวแก้ SAT ที่ "ดีที่สุด" สองแบบหนึ่งแบบสำหรับทฤษฎี

ทฤษฎี

Kazuo Iwama, Kazuhisa Seto, Tadashi Takai, Suguru Tamaki, " อัลกอริธึมแบบสุ่มที่ปรับปรุงใหม่สำหรับ 3-SAT ", ISAAC 2010

สุ่มสำหรับ 3SAT $O(1.32113^n)$

Timon Hertli, Robin A. Moser, Dominik Scheder, " การปรับปรุง PPSZ สำหรับ 3-SAT โดยใช้ตัวแปรที่สำคัญ ", 2011

สุ่มสำหรับ 3SAT $O(1.321^n)$

Konstantin Kutzkov, Dominik Scheder, " การใช้ CSP เพื่อปรับปรุงกำหนด 3-SAT ", 2010

deterministicสำหรับ 3SAT $O(1.439^n)$

การปฏิบัติ

ตรวจสอบการประชุม SATสำหรับผลการแข่งขันในแต่ละปี

— เทียนหลิว
แหล่งที่มา

ฉันพบลิงค์ไปยังIwama et al กระดาษ ดังนั้นเป็นผลลัพธ์ล่าสุดและดีที่สุดสำหรับการแก้ SAT จนถึงปัจจุบันหรือไม่?

O ({1.32113}^{n})

$O(1.32113^n)$

— MS Dousti

@ Sadeq: ฉันคิดอย่างนั้น แต่สำหรับ 3-SAT ไม่ใช่ SAT

— Tian Liu

2

ตอนนี้อัลกอริทึมที่ดีที่สุดคือในเวลาโดย Timon Hertli, Robin A. Moser และ Dominik Scheder

O ({1.321}^{n})

$O(1.321^n)$

— Tian Liu

10

ยังมีการอัพเดทอื่น: ใน FOCS 2011 Timon Hertli ( arxiv.org/abs/1103.2165 ) ได้พิสูจน์ว่าอัลกอริทึม PPSZ สามารถแก้ปัญหาทุก ๆ 3SAT ได้ในเวลา

{1.308}^{n}

$1.308^n$

— Ryan Williams

21

ผมไม่ทราบใดขั้นตอนวิธีการสุ่มศูนย์ข้อผิดพลาด (หรือกรวย / Eadviceอัลกอริทึม
สำหรับเรื่องที่) สำหรับ SAT ที่มีขอบเขตดีกว่าขั้นตอนวิธีการกำหนดที่รู้จักกัน
โดยไม่คำนึงถึงหรือไม่ว่ามีการสัญญาว่าจะอยู่ที่ความพึงพอใจมากที่สุดคนหนึ่งที่ได้รับมอบหมาย

Derandomizing HSSW Algorithm สำหรับ 3-SATแสดงให้เห็นว่า

"ปัญหา 3-SAT สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในเวลา " $\overset{\sim}{O}(1.3303^n)$

Derandomization ของ PPSZ สำหรับ Unique-k-SATแสดงให้เห็นว่า:

"สำหรับ 3-CNF ที่น่าพอใจอย่างไม่ซ้ำใคร (การตอบสนอง 4-CNF) บนตัวแปรการมอบหมายที่น่าพอใจ สามารถพบได้ในเวลาทำงานที่กำหนดไว้ที่ (resp. ) " $n$
$O\hspace{.02 in}(1.3071^n)$ $O\hspace{.02 in}(1.4699^n)$

3-SAT เร็วขึ้นและง่ายขึ้น - ขอบเขตที่ไม่ซ้ำกันสำหรับ PPSZ Hold in Generalแสดงให้เห็นว่า (กล่าวถึงตอนแรกในความคิดเห็นของ Ryan )

"มีอัลกอริทึมแบบสุ่มสำหรับ 3-SAT พร้อม
ข้อผิดพลาดด้านเดียวที่ทำงานในเวลา " $O\hspace{.02 in}(1.30704^n)$

"มีอัลกอริทึมแบบสุ่มสำหรับ 4-SAT พร้อม
ข้อผิดพลาดด้านเดียวที่ทำงานในเวลา " $O\hspace{.02 in}(1.46899^n)$

ทำลาย PPSZ Barrier สำหรับ Unique 3-SAT ที่
อ้างสิทธิ์ผลลัพธ์ที่สามารถสรุปได้ดังนี้:

"มีอัลกอริทึมแบบสุ่มสำหรับเฉพาะ -3-SAT เช่นนั้นสำหรับและ จำนวนจริงที่อนุญาตให้รันไทม์ของกระดาษก่อนหน้าสำหรับ 3-SAT แสดง เป็น ,อัลกอริทึมกระดาษปัจจุบันวิ่งในเวลา " $\: \epsilon = 1\hspace{-0.03 in}\big/\hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.03 in}10^{\hspace{.02 in}24}\hspace{-0.04 in}\right) \:$
$S$
$\: O\hspace{-0.04 in}\left(2^{(S+o(1))\cdot n}\right) \:$ $\;$ $\: O\hspace{-0.04 in}\left(2^{(S-\epsilon+o(1))\cdot n}\right)$

— ชุมชน
แหล่งที่มา

16

อัลกอริทึม Schoening เป็นอัลกอริทึมน่าจะเป็น K-SAT กับการทำงานเวลาที่ k ผลลัพธ์นี้เป็นอัลกอริทึมสำหรับ 3SAT, อัลกอริทึมสำหรับ 4SAT เป็นต้น $O(a^n)$ $a = 2(k-1)/k$ $O(1.33334^n)$ $O(1.5^n)$

อัลกอริธึมนั้นได้ถูกทำให้เกือบทั้งหมดโดยโมเซอร์และชเดอร์ซึ่งเป็นอัลกอริธึมที่กำหนดขึ้นสำหรับการแก้เวลาทำงาน kSATโดยที่คงที่เหมือนเดิมก่อนและสามารถ จะทำให้เล็กโดยพลการ $O((a+\epsilon)^n)$ $a$ $\epsilon>0$

หมายเหตุ: ในคำตอบนี้สัญกรณ์โอใหญ่ซ่อนปัจจัยโพลี (n) ฉันต้องการใช้เครื่องหมายแต่มันไม่ได้แสดงผลอย่างถูกต้อง $O^*$

— Robin Kothari
แหล่งที่มา

1

ทำไมคุณพูดว่า "เกือบสมบูรณ์" ฉันพลาดบางสิ่งบางอย่างในกระดาษหรือไม่

— András Salamon

1

มีอัลกอริทึมอัลกอริทึมสำหรับ k-SAT โดยแปดคนดังนั้นโปรดยกโทษให้ฉันไม่ได้พูดถึงพวกเขาทั้งหมด นี่คือลิงค์: linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0304397501001748 ดังนั้นสำหรับเรามีและมันไม่ดีเท่าขอบเขตอื่น ๆ สำหรับ 3-SAT ที่นำเสนอที่นี่ แต่สำหรับ k-SAT มันดีที่สุดเท่าที่ฉันรู้

O ((2 - \frac{2}{k + 1})^{n})

$O((2 - \frac{2}{k + 1})^n)$

k = 3

$k = 3$

O ({1.5}^{n})

$O(1.5^n)$

— Grigory Yaroslavtsev

4

ฉันพูดว่า "เกือบสมบูรณ์" เพื่อระบุว่ามีปัจจัยเอปไซลอน ฉันเดาว่าใครจะคาดหวังว่าการทำให้กระจัดกระจายแบบสมบูรณ์นั้นทำได้ในเวลาเดียวกัน หรือบางทีอาจจะไม่สมเหตุสมผล

— Robin Kothari

1

@Gearory Yaroslavtsev: อัลกอริทึม Moser-Scheder ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับ kSAT ที่ฉันพูดถึงเร็วกว่าที่คุณอ้างถึงหรือไม่? ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า?

— Robin Kothari

1

ฉันแค่เป็นห่วงเกี่ยวกับนี้ในบันทึกของคุณดังนั้นมันจึงเร็วขึ้นแน่นอน ดูเหมือนว่ากระดาษจะปรากฏบน arXiv เมื่อไม่กี่วันที่ผ่านมา: arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1008/1008.4067v1.pdfดังนั้นไม่น่าแปลกใจเลยที่ฉันไม่รู้

ϵ

$\epsilon$

— กริกอ Yaroslavtsev

12

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วถ้าคุณสนใจที่จะรับประกันเวลาทำงานตามทฤษฎีคำถามนี้จะซ้ำกัน

แต่ฉันอยากจะชี้ให้เห็นว่าถ้าคุณต้องการที่จะแก้ปัญหาที่เป็นรูปธรรม (เช่นปัญหาการระบายสีที่คุณพูดถึง) ฉันคิดว่ามันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะศึกษาขอบเขตด้านทฤษฎี

แม้ว่าคุณต้องการหลีกเลี่ยงแง่มุม "วิศวกรรม" ฉันขอแนะนำให้คุณใช้ตัวแก้ SAT ยอดนิยมลองใช้ดูและดูว่าเกิดอะไรขึ้น (ส่วนใหญ่สามารถอ่านรูปแบบไฟล์ DIMACS เดียวกันได้ดังนั้นจึงง่ายต่อการลอง ตัวแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน) คุณอาจมีทั้งความประหลาดใจที่เป็นบวกและลบ เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันมีครอบครัวของกรณี SAT; กลุ่มตัวอย่างที่มีตัวแปรนับหมื่นและอีกกว่าหนึ่งล้านประโยคกลายเป็นเรื่องง่ายที่จะแก้ปัญหาในขณะที่กรณีที่ดูเหมือนง่ายกว่ามากด้วยตัวแปรนับร้อยและอนุประโยคนับพันนั้นยากเกินไปสำหรับนักแก้ปัญหาที่ฉันพยายาม

— Jukka Suomela
แหล่งที่มา

8

นอกเหนือจากการสรุปของ Jukka มันก็มีค่าเช่นกันว่ามีตัวแก้ SAT หลักสองประเภท: แบบที่อยู่บนพื้นฐานของการสำรวจแบบสำรวจซึ่งทำงานได้ดีสำหรับกรณีแบบสุ่ม SAT และกลุ่มที่ใช้การเรียนรู้แบบประโยครวมกับความละเอียดหน่วยซึ่งมีแนวโน้มที่จะทำงาน ค้นพบโครงสร้าง combinatorial ได้ดี สิ่งเหล่านี้มีพฤติกรรมที่แตกต่างกันมาก กรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับนักแก้ปัญหา SAT มักเป็นกรณีที่ไม่น่าพอใจ แต่พื้นที่ของ nogoods มีโครงสร้างที่ซับซ้อนซึ่งไม่อนุญาตให้มีการตัดแต่งกิ่งมากนัก น่าเสียดายที่อินสแตนซ์จาก combinatorics มีแนวโน้มที่จะเป็นเช่นนี้

— András Salamon

11

Timon Hertli " 3-SAT เร็วขึ้นและเรียบง่ายขึ้น - ขอบเขตที่ไม่ซ้ำกันสำหรับการถือ PPSZ โดยทั่วไป ", FOCS 2011

deterministicสำหรับ 3SAT $O(1.308^n)$

— Kaveh
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าเมื่อใครสักคนมาพร้อมกับขอบเขตบนที่ดีกว่าพวกเขาจะอ้างอิงบทความนี้ มีการอ้างถึงบทความนี้เพียงครั้งเดียวซึ่งก็คือ "อัลกอริธึมที่น่าพอใจและความแข็งเฉลี่ยของสูตรสำหรับสูตรเหนือฐานไบนารีเต็ม" และดูเหมือนว่าพวกเขาจะพูดถึงสูตรบางประเภทเท่านั้น ดังนั้นดูเหมือนว่าจะเป็น Upper Bound ที่ดีที่สุดจนถึงตอนนี้

— Tayfun จ่าย

@TayfunPay:กระดาษด้านล่างในคำตอบของฉันอ้างถึงกระดาษนั้น

$\:$

$\;\;\;\;$

@RickyDemer Uhuh! มันเป็นขอบเขตที่ดีกว่านี้หรือไม่? สัญกรณ์ไม่ชัดเจนสำหรับฉัน

— Tayfun จ่าย

@TayfunPay:

$\:$ ใช่และคุณสามารถตามหาเอกสารสองฉบับดังที่อธิบายไว้ในเอกสารต่อไปนี้

$\:$

S_{3}

$S_3$

S_{k}

$S_k$

$\:$ ที่ด้านบนของหน้า 11 บทความนั้นบอกว่าอัลกอริทึมของพวกเขาให้ขอบเขตเดียวกับ PPSZ ซึ่งหมายความว่าพวกเขาไม่ได้แสดงอะไรเกินกว่าที่ฉันได้กล่าวถึงในประโยคก่อนหน้าของฉัน

$\:$ (ต่อ ... )

$\hspace{.35 in}$

(... ต่อไป)

$\:$

S

$S$

2^{S \cdot n}

$2^{S\cdot n}$

$\:$

S

$S$

S_{3}

$S_3$

$\;\;\;$

8

เป็นไปไม่ได้ที่ 3SAT จะมีอัลกอริธึมย่อยแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลยกเว้นว่าสมมติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นเท็จ

Kazuo Iwama, Suguru Tamaki, ปรับปรุงขอบเขตบนสำหรับ 3-SAT , 2004

$O({1.324}^n)$

Daniel Rolf ปรับปรุงขอบเขตสำหรับ PPSZ / Schoning-Algorithm สำหรับ 3-SAT , 2005

อัลกอริทึมแบบสุ่มพร้อมเวลาทำงานที่คาดหวังสำหรับ 3SAT $O({1.32216}^n)$

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

15

นั่นไม่ใช่การพูดซ้ำซาก?

— Tsuyoshi Ito

1

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

ผลงานของ Kazuo Iwama และคณะ (2004) ใหม่กว่าของ Schoening's (1999) ฉันสงสัยว่าผลลัพธ์ที่ได้จะมีมากกว่านี้หรือไม่

— MS Dousti

8

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนความเห็นสุดท้ายของฉันอ้างถึงประโยคแรกของคำตอบ: "เป็นไปไม่ได้ที่ 3SAT จะมีอัลกอริธึมย่อยแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลยกเว้นว่าสมมติฐาน EON เป็นจริงเท็จ" ความเข้าใจของฉันคือ สมมติฐานเป็นสมมติฐานที่ระบุว่าไม่มีอัลกอริธึมสำหรับ 3SAT ซึ่งเวลาการทำงานเป็นค่าเอ็กซ์โพแนนเชียล (เช่น 2 ^ {o (n)}) ในจำนวนตัวแปร

— Tsuyoshi Ito

10

และเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนเพิ่มเติมฉันจะเสริมว่าเมื่อ Tsuyoshi โพสต์ความคิดเห็นของเขาคำตอบนั้นมีเพียงประโยคเดียวเท่านั้นซึ่งทำให้ความคิดเห็นของเขาเหมาะสมมาก

— Robin Kothari

7

นี้โพสต์ที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตบนของ SAT นี้เป็นหนึ่งในข้อเสนอที่มีขอบเขตที่ต่ำกว่าที่ดีที่สุด ลิงค์นี้ให้รายละเอียดของการแข่งขันประจำปีเปรียบเทียบการใช้งานตัวแก้ SAT ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ทั้งหมด เพื่อความง่ายคุณสามารถเริ่มต้นด้วยSAT4Jซึ่งเป็นไลบรารีบน Java สำหรับการแก้ปัญหา SAT

— Dave Clarke
แหล่งที่มา

ปรากฎว่าคำถามนี้ถูกถามไปแล้วก่อนหน้านี้; ฉันไม่เห็นมันเมื่อฉันค้นหาเว็บไซต์ การตอบสนองของ Tian Liu ในคำถามขอบเขตคือสิ่งที่ฉันกำลังมองหา ขอบคุณสำหรับลิงค์เดฟ!

— Daniel Apon

1

นี่เป็นหลักฐานว่าฉันใช้เวลามากเกินไปที่นี่ ;-)

— Dave Clarke

เราดีใจที่คุณทำ :)

— Suresh Venkat

2

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันอยากจะแนะนำ sat4J ไม่เพียง แต่จะช้ากว่าอย่างมีนัยสำคัญ แต่ยังมีความซับซ้อนมากขึ้น มันเป็นความจริง แต่มันสามารถปรับแต่งได้อย่างดีเนื่องจากโครงสร้างเชิงวัตถุ MiniSat นั้นถูกเขียนขึ้นมาเป็นอย่างดีและ 2.2 นั้นทันสมัย

— Mikolas

3

อัลกอริธึมที่ดีที่สุดที่กำหนดไว้สำหรับ 3-SAT ตอนนี้มีขอบเขตสูงสุด 1.32793 ^ n ดูhttps://arxiv.org/abs/1804.07901โดย Sixue Liu โดยทั่วไปขอบเขตบนของ k-SAT ทั้งหมดได้รับการปรับปรุงในบทความนี้

— ON KI Wong
แหล่งที่มา