จุดสุดยอดข้อเสนอแนะตั้งค่าปัญหาบนกราฟองศาที่มีขอบเขตระนาบยากหรือไม่?

เป็นที่รู้จักกันว่าข้อเสนอแนะจุดสุดยอดชุดปัญหาในกราฟเชิงระนาบไม่มีทิศทางของการศึกษาระดับปริญญา bounded เป็น -hard?$\mathsf{NP}$

หนังสือ Vertex Cover ของ Garey และ Johnson ระบุว่า NP-complete บนกราฟระนาบขององศาสูงสุดสี่ การใช้การลดความเรียบง่ายจาก Vertex Cover to Feedback Vertex Set ควรให้ระดับสูงสุดแปดและรักษา planarity

VC เป็น FVS: แทนที่ขอบแต่ละอันด้วยสามเหลี่ยม (หรือขอบคู่)

หมายเหตุหนึ่ง: Garey และ Johnson ยังระบุด้วยว่าผู้กำกับ FVS นั้นเป็นรุ่น NP-complete ในกราฟิคที่ไม่มีระนาบหรือไม่เกินสององศา พวกเขาไม่ได้กล่าวถึงโดยเฉพาะอย่างยิ่ง FVS ที่ไม่ได้บอกทางภายใต้ข้อ จำกัด ดังกล่าว

คำตอบคือ: FVS เป็น NP-ที่สมบูรณ์แบบบนกราฟเชิงระนาบไม่มีทิศทางของระดับสูงสุด ; พิสูจน์โดย Speckenmeyer ดูที่นี่ ด้วยการแบ่งแต่ละจุดด้วยจุดสุดยอดใหม่หนึ่งจุด$4$

FVS เป็น NP-สมบูรณ์แม้ใน undirected กราฟเชิงระนาบฝ่ายของระดับสูงสุด4$4$

ข้อ จำกัด การศึกษาระดับปริญญาเป็น possibe ที่ดีที่สุดเนื่องจาก FVS เป็นพหุนามสำหรับกราฟของระดับสูงสุดที่มากที่สุดสาม; ดูที่นี่

แก้ไข: graphclasses.orgของ Ernst de Ridder มีข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดเกี่ยวกับ FVS; รวมถึงประมาณ 550 polynomially แก้ไขได้และประมาณ 250 กรณี NP-c

ตามที่ Wikipedia Garey & Johnson ยังแสดงให้เห็นว่า "หนังสือ Vertex ยังคงสมบูรณ์ - สมบูรณ์ ... แม้ในกราฟระนาบของระดับสูงสุด 3"

ดังนั้น FVS จึงยากในกราฟระนาบที่มีระดับสูงสุด 6

เห็นได้ชัดว่าในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของ Speckenmeyer เขาแสดงให้เห็นว่าปัญหาการตั้งค่าความคิดเห็นจุดสุดยอดคือ NP- ยากสำหรับกราฟระดับสูงสุด 4 การเรียกร้องนี้จะปรากฏขึ้นที่นี่เช่น

สำหรับกราฟลูกบาศก์ปัญหาดูเหมือนว่าจะสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม ข้อแรกSpeckenmeyerแสดงให้เห็นว่าสำหรับลูกบาศก์กราฟชุดจุดยอดตอบกลับขนาดต่ำสุดเท่ากับโดยที่คือจำนวนของจุดยอดและคือขนาดของชุดอิสระที่ไม่แยกที่ใหญ่ที่สุด Huang และหลิวแสดงให้เห็นว่าสำหรับลูกบาศก์กราฟเท่ากับสกุลสูงสุดของซึ่งสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามโดยใช้อัลกอริทึมของFurst มวลรวมและ McGeoch$n/2-z(G)+1$$n$$z$$z(G)$$G$

แก้ไข: ไม่ได้ตรวจสอบการแก้ไขของ vb le อย่างเพียงพอ ...