เสริมสร้างความเข้มแข็งของ submodularity

13

ชุดฟังก์ชั่นเป็นโมโนโทนหนึ่งที่มีซับโทนหากสำหรับ , $f$ $A,B$

f (A) + f (B) \geq f (A \cup B) + f (A \cap B) .

$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$

คุณสมบัติที่แข็งแกร่งคือ

\begin{matrix} f (A) + f (B) + f (C) + f (A \cup B \cup C) \geq \\ f (A \cup B) + f (B \cup C) + f (A \cup C) + f (A \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$ รับ

คุณสมบัตินี้มีความหมายเดียวกับ submodularity โมโนโทน

C = A \cup B

$C = A\cup B$

คุณสมบัตินี้เป็นที่รู้จักหรือไม่?

พื้นหลัง

คุณสมบัตินี้เกิดขึ้นขณะที่พยายามอธิบายลักษณะของฟังก์ชั่นการครอบคลุม ด้วยน้ำหนักของเอกภพ (น้ำหนักทั้งหมดไม่เป็นลบ) และตระกูลของเซตย่อยของฟังก์ชันการครอบคลุมถูกกำหนดไว้สำหรับเป็นน้ำหนักรวมขององค์ประกอบที่ครอบคลุมโดยชุดใน $U$ $X$ $U$ $f(S)$ $S \subseteq X$ $S$ Sฟังก์ชั่นเป็นโมโนโทนและ submodular เสมอ การสนทนาไม่เป็นความจริง $f$

คุณสมบัติที่เป็นปัญหาหมายถึงเป็นฟังก์ชันความครอบคลุมในกรณี 3ที่คล้ายกันที่ซับซ้อนมากขึ้นการทำงานคุณสมบัติสำหรับขนาดใหญ่Xคุณสมบัติทั้งหมดเหล่านี้เป็นที่พอใจของฟังก์ชั่นการครอบคลุมดังนั้นนี่คือลักษณะที่สมบูรณ์ $f$ $|X| = 3$ $X$

ds.algorithms approximation-algorithms submodularity

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

13

$k^{th}$ อนุพันธ์อันดับ

$f(B)-f(A)\ge 0$ $A\subseteq B$ B

$(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$ 0

$n$ อนุพันธ์ฟังก์ชั่นที่คุณได้รับความคุ้มครอง (ฉันคิดว่าสัญญาณจะต้องมี + ve สำหรับอนุพันธ์ลำดับที่เท่ากันและ -ve สำหรับอนุพันธ์ลำดับคี่)

ความน่าจะเป็นสิ่งที่คล้ายกันได้รู้จัก ฟังก์ชั่นครอบคลุมยังสามารถคิดว่าเป็นวัดความน่าจะเป็น (ไม่เกินค่าคงที่ปรับ) การอ้างอิงเดียวที่ฉันสามารถขุดได้คือหน้า 439 จากหนังสือของ Feller เกี่ยวกับความน่าจะเป็น

— Ashwinkumar BV
แหล่งที่มา

f (A \cup {x}) \geq f (A)

$f(A \cup \{x\}) \geq f(A)$

f (A \cup {x}) + f (A \cup {y}) \geq f (A \cup {x, y}) + f (A)

$f(A \cup \{x\}) + f(A \cup \{y\}) \geq f(A \cup \{x,y\}) + f(A)$

A, B

$A,B$

7

\begin{matrix} f (A \cap B) + f (A \cap C) + f (B \cap C) + f ((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f (A \cap (B \cup C)) + f (B \cap (A \cup C)) + f (C \cap (A \cup B)) + f (A \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$ เงื่อนไข "รวม" ถูกกล่าวถึงในกระดาษ "ลักษณะของรูปกรวยของฟังก์ชันหลอก - บูลีนผ่านความไม่เท่าเทียมกันประเภท supermodularity" โดย Cramma, Hammer และ Holtzman (ความไม่เท่าเทียมกัน (4)) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการสะสมที่หายาก "Quantitative Methoden ในถ้ำ Wirtschaftswissenschaften " เงื่อนไขนี้ควรเหมือนกับของฉัน

\begin{matrix} f (A) + f (B) + f (C) + f (A \cap B \cap C) \geq \\ f (A \cup B \cup C) + f (A \cap B) + f (A \cap C) + f (B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$

C = \emptyset

$C = \varnothing$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา