ปัญหากลิกในกราฟคงที่

ในฐานะที่เรารู้ว่า -clique ฟังก์ชั่นยิง ( ทอด ) subgraphของที่สมบูรณ์กราฟ -vertexและเอาท์พุท IFFมี -clique ตัวแปรในกรณีนี้สอดคล้องกับขอบของK_nมันเป็นความรู้ (Razborov, Alon-Boppana) ว่าสำหรับฟังก์ชั่นนี้ต้องใช้วงจรเดียวขนาดประมาณ k C L ฉันถามU E ( n , k ) G ⊆ K n n K n 1 G k$k$$CLIQUE(n,k)$$G\subseteq K_n$$n$$K_n$$1$$G$$k$ 3 ≤ k ≤ n / 2 n $K_n$$3\leq k\leq n/2$$n^k$

แต่ถ้าเราใช้เวลาหนึ่งคงกราฟและพิจารณาเดียวฟังก์ชั่นบูลซึ่งจะใช้เวลาส่วนย่อยของจุดและเอาท์พุท IFF บางจุดในแบบฟอร์ม ก๊กในGตัวแปรในกรณีตรงนี้เพื่อจุดของและฟังก์ชั่นเป็นเพียงฟังก์ชั่นมาตรฐานก๊ก แต่ จำกัด ให้ทอด subgraphs หนึ่งคงกราฟG C L ฉันถามU E ( G , k ) S ⊆ [ n ] 1 k S $G\subseteq K_n$$CLIQUE(G,k)$$S\subseteq [n]$$1$$k$$S$$G$$K_n$$G$

1.มีกราฟ -vertex อยู่หรือไม่ซึ่ง ต้องการวงจรแบบโมโนโทนที่มีขนาดใหญ่กว่า ? ฉันเดา - ไม่ G C L ฉันถามU E ( G , k ) n O ( บันทึกn $n$$G$$CLIQUE(G,k)$$n^{O(\log n)}$

2.คือปัญหา NP-ยากสำหรับลำดับของกราฟบาง ? ฉันเดา - ไม่ ( G n : n = 1 , 2 … $CLIQUE(G_n,k)$$(G_n\colon n=1,2\ldots)$

โปรดทราบว่าหากเป็นกลุ่มทั้งหมดในดังนั้น สามารถคำนวณได้เป็นฟังก์ชันOR ของ threshold-ฟังก์ชัน -th ซึ่งทดสอบว่า . ดังนั้นถ้าดังนั้นทั้งวงจรจะมีขนาดพหุนาม แต่กราฟที่มีเลขโบราณจำนวนสูงสุดอธิบาย? (กลุ่มหนึ่งมีค่าสูงสุดไม่สามารถเพิ่มจุดสุดยอดได้) G C L ฉันQ U E ( G , k ) r k i | S a ∩ C i | ≥ k r = p o l y ( n $C_1,\ldots,C_r$$G$$CLIQUE(G,k)$$r$$k$$i$$|S_a\cap C_i|\geq k$$r=poly(n)$

เป็นไปได้ที่จะ "ฝัง"ลงในสำหรับกราฟที่เฉพาะเจาะจงบนจุดยอด โดยเฉพาะอย่างยิ่งBollobas และสัน (1981)ได้แสดงให้เห็นว่าถ้าคือกราฟ Hadamard จุดที่เป็นส่วนย่อยของและสองจุดและมี IFF ที่อยู่ติดกันคือเท่ากันจากนั้นมีสำเนา isomorphic ของกราฟทุกตัวบนจุดยอดความจริงข้อนี้สามารถรวมกับขอบเขตล่างของ Razborov (ประมาณ ) สำหรับเพื่อสรุปว่า C L I Q U E ( H , k ) H n = 2 $CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$$H$$n=2^m$[ m ] u v | ยู∩ วี| H G m m k C L ฉันQ U E ( m , k ) C L I Q U E ( H , k $H$$[m]$$u$$v$$|u\cap v|$$H$$G$$m$$m^k$$CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$ต้องใช้วงจรแบบโมโนโทนขนาดประมาณ ? ปัญหาที่อาจเกิดขึ้นที่นี่คือแม้ว่ากราฟ "มี" กราฟ -vertex ทั้งหมดแต่กราฟเหล่านี้ไม่ได้อยู่ในจุดยอดชุดเดียวกัน และข้อโต้แย้งของ Razborov นั้นต้องการอินพุตที่เป็นบวกและลบ ( -cliques และส่วนเติมเต็มของกราฟ -partite) ที่สมบูรณ์เป็นกราฟบนจุดยอดชุดเดียวกัน ยิ่งกว่านั้นอินพุตเชิงบวกทั้งหมด ( -cliques) เป็นเพียงสำเนา isomorphic ของหนึ่งและ -clique คงที่เดียวกัน$m^k$$H$ $m$( k - 1 $k$$(k-1)$$k$ $k$

3.ความคิดใด ๆ มีใครเห็นปัญหาประเภทนี้กำลังถูกพิจารณาหรือไม่? ฉันหมายถึงปัญหาการตัดสินใจของกราฟย่อยของกราฟคงที่ หรือว่าปัญหา SAT สำหรับ CNF ย่อยหนึ่งคงที่ (น่าพอใจ) CNF (ได้มาจากการลบตัวอักษรบางตัว)?

แรงจูงใจ:ปัญหาประเภทนี้เกี่ยวข้องกับความซับซ้อนของอัลกอริธึมการเพิ่มประสิทธิภาพ combinatorial แต่พวกเขาดูเหมือนจะน่าสนใจในตัวเอง ทำไมเราต้องหาอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพในกราฟทั้งหมด ? ในความเป็นจริงเรามักจะสนใจคุณสมบัติของกราฟขนาดเล็ก (ใหญ่) หนึ่งชิ้น (เครือข่ายถนนในประเทศหรือเฟซบุ๊กหรือที่คล้ายกัน)

หมายเหตุ 1:ถ้ากราฟเป็นสองฝ่ายจากนั้นเมทริกซ์อุบัติการณ์จุดสุดยอดของความไม่เท่าเทียมกันสำหรับทุกคนนั้นไม่มีรูปแบบทั้งหมด และหนึ่งสามารถแก้ปัญหากลุ่มบนกราฟย่อยของผ่านการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ดังนั้นสำหรับกราฟสองฝ่าย ,มีวงจรขนาดเล็ก (แม้ว่าจะไม่ใช่โมโนโทน) x u + x v ≤ 1 ( u , v ) ∉ E G G C L ฉันถามU E ( G , k $G=(L\cup R,E)$$x_u+x_v\leq 1$$(u,v)\not\in E$$G$$G$$CLIQUE(G,k)$

หมายเหตุ 2:ที่บ่งบอกว่าในกรณีของฝ่ายกราฟ , คำตอบของคำถามที่ 1 "ควร" จะไม่มีแน่นอนคือว่าแล้วเสียงเดียวต่อไป Karchmer-Wigderson เกมต้องการเพียงบิตของการสื่อสาร ให้ เป็นจำนวนมากที่สุดของจุดใน subgraph ฝ่ายที่สมบูรณ์ของGอลิซได้รับชุดของโหนดสีแดง, บ๊อบชุดของโหนดสีฟ้าเช่นที่ k เป้าหมายคือการหาที่ไม่ใช่ขอบระหว่างและBG O ( บันทึกn ) k G A B | A | + | B | > k A $G$$G$$O(\log n)$$k$$G$$A$$B$$|A|+|B|>k$$A$$B$

เราทำการวิจัยบางอย่างเกี่ยวกับปัญหาการพิสูจน์ในการแก้ปัญหาแบบต้นไม้ไม่ว่ากราฟคงที่จะมีขนาดเท่าk (โดยที่kมักจะเล็ก) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราค้นพบว่าจำเป็นต้องมีการrefutations ขนาดn Ω ( k )สำหรับกราฟขนาดใหญ่$G$$k$$k$$n^{\Omega(k)}$

คุณสามารถค้นหาความซับซ้อนแบบ Parameterized Paper ของขั้นตอนการค้นหา DPLL ได้ที่ลิงค์นี้

ฉันเชื่อว่าบทความนี้อาจตอบคำถามของคุณ: http://arxiv.org/abs/1204.6484

กระดาษจะกำหนดตระกูลของปัญหา NP hard 3SAT เช่นนั้นโครงสร้างของสูตรจะได้รับการแก้ไขสำหรับทุก n และอินพุตคือขั้วของสูตร

การใช้การลดมาตรฐานจาก 3SAT ถึง CLIQUE (แต่ละประโยค 3CNF กำหนดชุดของการมอบหมายที่เป็นไปได้ 8 ข้อ (หรือ 7 การมอบหมายที่น่าพอใจ) โดยมีขอบระหว่างการมอบหมายที่ไม่ขัดแย้งกัน) มีกราฟดังกล่าวหลังจากลบจุดยอดหนึ่งสำหรับแต่ละส่วน NP ยากที่จะหากลุ่มสูงสุด (หรือแม้แต่ใกล้เคียงกับขนาดโดยใช้ผลิตภัณฑ์กราฟหรือผลิตภัณฑ์กราฟแบบสุ่ม)

ใหม่ไตรมาสที่ 3 มีงานบางอย่างเกี่ยวกับ "กระดูกสันหลัง" และ "แบ็ก" ที่เป็นไปได้ของปัญหา SAT กระดูกสันหลังเป็นชุดของตัวอักษรที่เป็นจริงในทุกการมอบหมายที่น่าพอใจ แบ็คดอร์ในปัญหา SAT คือชุดของตัวแปร (ซึ่งหวังว่าจะเล็ก) ซึ่งให้ "ทางลัด" ในการแก้ปัญหา โครงสร้างทั้งสองนี้อาจเป็นประโยชน์และ / หรือคีย์ในการทำความเข้าใจสิ่งที่คุณอ้างถึงว่า "sub-CNFs" หรือ CNFs โดยที่ตัวแปรบางตัวถูกลบออกไป แต่ยังรวมถึง DP, davis putnam algorithm สามารถมองเห็นได้อย่างเป็นระบบในการสำรวจ "sub-CNFs" จำนวนมากของ CNF เพื่อแก้ปัญหา

[1] แบ็คโบนและแบ็คดอร์สที่น่าพอใจโดย Kilby และคณะ