Decidability ของเขาวงกตเศษส่วน

เศษส่วนเขาวงกตเป็นเขาวงกตที่มีสำเนาของตัวเอง ตัวอย่างเช่นต่อไปนี้โดย Mark JP Wolf จากบทความนี้ :

เริ่มต้นด้วยการลบและทำทางของคุณเพื่อบวก เมื่อคุณป้อนสำเนาเล็ก ๆ ของเขาวงกตให้แน่ใจว่าได้บันทึกชื่อตัวอักษรของสำเนานั้นเนื่องจากคุณจะต้องปล่อยสำเนานี้ให้หายไป คุณต้องออกจากสำเนาที่ซ้อนกันของเขาวงกตที่คุณป้อนไว้โดยปล่อยให้ย้อนกลับตามลำดับที่คุณป้อน (เช่น: ป้อน A ป้อน B ป้อน C ป้อน C ออก C ทางออก C ออก B) คิดว่ามันเป็นชุดของกล่องซ้อนกัน หากไม่มีเส้นทางออกจากการคัดลอกซ้อนคุณถึงจุดสิ้นสุด เพิ่มสีเพื่อให้ทางเดินดูชัดเจนขึ้น แต่เป็นการตกแต่งเท่านั้น

หากวิธีแก้ไขมีอยู่การค้นหาแบบกว้างแรกควรค้นหาวิธีแก้ไข อย่างไรก็ตามสมมติว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับเขาวงกต - จากนั้นโปรแกรมค้นหาของเราจะทำงานอย่างต่อเนื่องลึกและลึก

คำถามของฉันคือให้เขาวงกตเศษส่วนเราจะทราบได้อย่างไรว่ามันมีทางออกหรือไม่?

หรืออีกวิธีหนึ่งสำหรับเขาวงกตเศษส่วนของขนาดที่กำหนด (จำนวนอินพุต / เอาต์พุตต่อสำเนา) มีความยาวผูกกับความยาวของสารละลายที่สั้นที่สุดหรือไม่? (หากมีข้อ จำกัด ดังกล่าวเราสามารถค้นหาได้อย่างลึกล้ำเท่านั้น)

computability fractals

— นิคแอลจีเรีย
แหล่งที่มา

หลังจากอ่านคำถามที่พบบ่อยฉันไม่เชื่อว่าสิ่งนี้เป็นของ อาจไม่ใช่คำถามวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีระดับการวิจัยซ้ำ ขออภัยที่โพสต์ผิดที่ ใครช่วยแนะนำฟอรัมที่เหมาะสมเพื่อถามคำถามนี้และ / หรือย้ายมันไปที่นั่น?

— Nick Alger

คณิตศาสตร์ , วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

— Kaveh

ฉันพิจารณาการโพสต์ใน math.stackexchange ตั้งแต่ฉันเข้าร่วม แต่ดูเหมือนอัลกอริทึมเกินไป -y ฉันไม่รู้ว่ามีการแลกเปลี่ยนวิทยาการคอมพิวเตอร์ หากผู้ดูแลต้องการที่จะย้ายไปยังสถานที่เหล่านั้นอย่างใดอย่างหนึ่งฉันจะไม่รังเกียจ

— Nick Alger

มันไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่านี่เป็นหัวข้อที่นี่ ... คำถามนอกหัวข้อมักจะได้รับ downvotes มากกว่า upvotes

— Joe

คุณไม่สามารถแสดงเขาวงกตเศษส่วนเป็นหุ่นยนต์แบบกดลงได้ซึ่งสแต็กสอดคล้องกับลำดับของ submazes ที่คุณอยู่หรือไม่? จากนั้นคำถามเกี่ยวกับความสามารถในการละลายจะกลายเป็นปัญหาความว่างเปล่าสำหรับภาษาที่ไม่มีบริบทซึ่งสามารถตัดสินใจได้

— Peter Shor

คำตอบ:

อัลกอริทึมแบบไม่เป็นทางการอย่างรวดเร็วเพื่อพิสูจน์ว่าปัญหาสามารถตัดสินใจได้:

สมมติว่ามีขาเข้า / ขาออก ; $n$ $I_1,...I_n$
สร้างกราฟที่แต่ละที่และมีโหนดและแทนที่แต่ละซ้อนกันเขาวงกตกับ subgraph (สมบูรณ์กราฟ); เพิ่มขอบระหว่างตามเขาวงกต; ให้ "ภายนอก" $G$ $I_i$ $MINUS$ $PLUS$ $Mj$ $K_n$ $I_i, MINUS, PLUS, Mj_{I_k}$ edge แตกต่างจากขอบ "internal" ที่สอดคล้องกันของเป็นกราฟิคย่อยสมบูรณ์ $Mj_{I_i} \rightarrow Mj_{I_k}$ $I_i \rightarrow I_k$ $Mj$
ระบุเส้นทางทั้งหมดจากลบเพื่อรวมใน (หลีกเลี่ยงรอบ); $G$
หากคุณพบเส้นทางที่ไม่ผ่านการคัดลอกซ้อนกันก็เป็นทางออก; มิฉะนั้นให้ขยายเส้นทางภายใน "ภายใน" ของ mazes ที่ซ้อนกันของแต่ละเส้นทาง: $Mj$

สมมติว่าเส้นทางในการแจกแจงแรกคือแล้วเส้นทางคือทางออกที่ถูกต้องถ้ามีเส้นทางจากและจากในเขาวงกตเดิม (กราฟ ) $MINUS \rightarrow A_{I_i} \rightarrow A_{I_j} \rightarrow B_{I_k} \rightarrow B_{I_h} \rightarrow PLUS$ $I_i \rightarrow I_j$ $I_k \rightarrow I_h$ $G$

ดังนั้นเราจึงต้องขยายและ traversals แจงทุกเส้นทางจากไปและจากเพื่อในG $A_{I_i} \rightarrow A_{I_j}$ $B_{I_k} \rightarrow B_{I_h}$ $I_i$ $I_k$ $I_k$ $I_h$ $G$

ลูปไม่มีที่สิ้นสุดมีการตรวจพบเมื่อเรากำลังแจงทุกเส้นทางจากไป สำหรับ submaze บาง (มีการขยายที่เป็นไปได้เท่านั้น) $I_i$ $I_k$ $... \rightarrow M_{I_i} \rightarrow M_{I_k} \rightarrow ...$ $M$ $n^2$

พบวิธีแก้ปัญหาถ้าเราพบการขยายเส้นทางที่มีเพียงอินพุต / เอาต์พุต ; เขาวงกตไม่มีทางออกหากเราไม่สามารถขยายเส้นทางได้หากไม่มีลูป $I_i$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

ว้าว! ช่างเป็นความคิดที่ฉลาด ฉันคิดว่ามันใช้งานได้ แต่มันก็ยังคลุมเครืออยู่ในใจดังนั้นฉันจะต้องใช้เวลาสักครู่ก่อนที่จะครุ่นคิดก่อนที่จะยอมรับ

— Nick Alger

โอเคค่อนข้างแน่ใจว่าอัลกอริทึมนี้ถูกต้อง เมื่อสังเกตเห็นความคิดเห็นของ Peter Shor ข้างต้นฉันสงสัยว่าคุณสามารถหันกลับมาใช้สิ่งนี้เพื่อเป็นหลักฐานในการแก้ปัญหาความสามารถในการถอดรหัสความว่างเปล่าทางภาษาได้หรือไม่ สำหรับปัญหาความว่างเปล่าของภาษาว่างบริบทที่กำหนดให้สร้างเขาวงกตเศษส่วนที่เท่ากันแล้วใช้อัลกอริทึมนี้

— Nick Alger

@Nick: เขาวงกตเศษส่วนที่สอดคล้องกับหุ่นยนต์แบบกดลงย้อนกลับได้ซึ่งหากคุณสามารถเปลี่ยนจากสถานะ S เป็นสถานะ T คุณยังสามารถเปลี่ยนจาก T เป็น S ได้เช่นกันควรตรงไปตรงมาเพื่อแสดงให้เห็นว่าเขาวงกตเศษส่วนอยู่ ในความเป็นจริงเทียบเท่ากับการกดลงย้อนกลับอัตโนมัติ มีทฤษฎีที่บอกว่า (ขึ้นอยู่กับปัจจัยพหุนาม) เครื่องทัวริงกลับมีอำนาจเช่นเดียวกับเครื่องทัวริงปกติ ฉันไม่รู้ว่ามีใครเคยดูออโตมาต้าที่สามารถย้อนกลับได้หรือไม่ดังนั้นฉันจึงไม่รู้ว่ามีอะไรเกี่ยวกับพวกเขาบ้าง

— Peter Shor

@Peter: ฉันพบว่าการกดปุ่มย้อนกลับได้Automataนี้ แต่คำจำกัดความของ "การย้อนกลับ" ดูเหมือนจะแตกต่างกัน (ขอแสดงความยินดีด้วย PS สำหรับการตีความที่ง่ายและสะอาดของเขาวงกตเศษส่วนในฐานะ PDA !!!)

— Marzio De Biasi

อัลกอริทึมด้านบนสามารถขยายไปยังกราฟกำกับ (mazes เศษส่วน irreversibe) คุณจะมีการขยาย

เป็นไปได้ที่จะต้องพิจารณา (

และ

)

2 n^{2}

$2n^2$

I_{k} \to I_{j}

$I_k \rightarrow I_j$

I_{j} \to I_{k}

$I_j \rightarrow I_k$

— Nick Alger

นี่ไม่ใช่ "คำตอบ" สำหรับคำถามของฉัน แต่เป็นการแสดงความคิดเห็นเพิ่มเติมที่ผู้คนที่นี่อาจพบว่าน่าสนใจ

ฉันอ้างว่ามีคำจำกัดความ "ประเภทการวิเคราะห์" ตามธรรมชาติของเขาวงกตและวิธีแก้ปัญหาและมันแตกต่างจากคำนิยามของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ / กราฟ - ทฤษฎีที่เราเคยใช้ที่นี่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณสามารถมีเขาวงกตเศษส่วนที่มี "วิธีแก้ปัญหา" ภายใต้คำจำกัดความของการวิเคราะห์ แต่จะประกาศว่าอัลกอริทึมของ Marizio De Biasi แก้ไม่ตกและเทคนิคการกดออโตมาตาอัตโนมัติของ Peter Shor

คำที่เกี่ยวข้อง: เขาวงกต เป็นส่วนหนึ่งที่มีขนาดกะทัดรัดของเครื่องบินที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตามลำดับ วิธีการแก้ปัญหาเป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องเช่นที่และอี $M$ $M \subset \mathbb{R}^2$ $s,e \in M$ $f:[0,T] \rightarrow M$ $f(0)=s$ $f(T)=e$

ลองพิจารณาHilbert Curve :

Hilbert curve gif จากวิกิพีเดีย

ใครสามารถตีความโค้งนี้เป็น "เขาวงกตเศษส่วน" กับแผนภาพต่อไปนี้: ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

$P$

$P = APA^{-1}BPB^{-1}CPC^{-1}DPD^{-1}$

ตอนนี้คุณอาจยืนยันว่าสิ่งนี้ไม่ได้อยู่ในจิตวิญญาณของเขาวงกตเศษส่วนเนื่องจากเส้นโค้งของฮิลแบร์ตเติมเต็มทั้งสแควร์และดังนั้นคุณสามารถวาดส่วนของเส้นตรงตั้งแต่ต้นจนจบ การคัดค้านนี้ถูกแทนที่ได้อย่างง่ายดายแม้ว่า - เพียงใช้ไดอะแกรมเส้นโค้งของฮิลแบร์ตฝังโดยตรงดังที่แสดงที่นี่:

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

สิ่งนี้มีลำดับของเส้นทางต่อเนื่องที่บรรจบกันอย่างสม่ำเสมอตั้งแต่ต้นจนจบโดยอาร์กิวเมนต์เดียวกับที่ใช้ในการแสดงการบรรจบกันของเส้นโค้งของฮิลแบร์ต อย่างไรก็ตามมันเป็น "เขาวงกตเศษส่วน" ที่แท้จริงในแง่ที่ว่ามันไม่ได้เติมเต็มพื้นที่ทั้งหมด

ดังนั้นเราจึงมีเขาวงกตเศษส่วนที่สามารถแก้ไขได้โดยคำจำกัดความของการวิเคราะห์ แต่ไม่สามารถแก้ไขได้โดยนิยามเชิงทฤษฎีกราฟ .. !?

ยังไงก็ตามฉันค่อนข้างมั่นใจว่าตรรกะของฉันถูกต้อง แต่ดูเหมือนว่าจะไม่สามารถแก้ไขได้ดังนั้นถ้าใครสามารถทำให้กระจ่างในเรื่องนี้ฉันจะขอบคุณมัน

— นิคแอลจีเรีย
แหล่งที่มา

ความคิดเห็นที่ไร้เดียงสา: "submazes" ของเส้นโค้ง Hilbert มีขนาดเล็กลงดังนั้นใน "โลกต่อเนื่อง" ก็ใช้งานได้ ใน "โลกที่ไม่ต่อเนื่อง" คุณจะไม่มีวันย้าย "ทางออก" เพราะคุณยังคงเข้าสู่เกมแรกสุด (เช่นการซูมที่ไม่สิ้นสุดที่มุมล่างซ้ายของเส้นโค้งฮิลแบร์ต) มันคล้ายกับความขัดแย้งของนักปราชญ์

— Marzio De Biasi

ป.ล. ฉันคิดว่าไม่จำเป็นต้องมีเส้นโค้งเศษส่วน: เส้นแนวนอนแบบง่าย ๆ จาก s ถึง f โดยมีจุดศูนย์กลางเดียว

— Marzio De Biasi

จุดดี. ถ้าคุณทำอย่างนั้นกับกล่องความกว้าง 1/2 ที่วางอยู่ทางด้านขวามันไม่เหมือนกับความขัดแย้งของ zeno คุณจะได้ zenos เส้นขนานแน่นอน หลังจากพิจารณาเพิ่มเติมดูเหมือนว่าคำจำกัดความต่อเนื่องไม่เหมาะสำหรับเขาวงกตเศษส่วนเนื่องจากมันทำให้เขาวงกตเศษส่วนเกือบทุกตัวสามารถแก้ไขได้

— Nick Alger

แต่มันก็เหมาะสำหรับการทำสมาธิเขาวงกตเซน (Google รอบ ๆ เพื่อความแตกต่างระหว่างเขาวงกตและเขาวงกตในบริบทการทำสมาธิ) :-)

— Marzio De Biasi