ความซับซ้อนของ Parametrized ในการนับจำนวนจักรยาน

ในคำถามก่อนหน้าอัลกอริทึม Parametrized สำหรับการค้นหา Bicliquesฉันถามว่ามีอัลกอริทึม parametrized ที่รวดเร็วสำหรับการค้นหา$k\times k$ -biclique ในกราฟจุดสุดยอดและได้เรียนรู้ว่ามันเปิดถ้ามันเป็นเอฟพีที WRT kจะเหมือนจริงสำหรับการนับ -bicliques หรือมันรู้ว่านี้คือ # -hard WRT (หรือบางความคิดอื่น ๆ ของความแข็ง)?$n$$k$$k\times k$$W\[1\]$$k$

ฉันรู้ว่านับเหนี่ยวนำให้เกิด -bicliques มี # -hard ขยายตัวลดลงอย่างง่ายสำหรับการหา biclique เหนี่ยวนำให้เกิดในส่วน 4.5 ในวิทยานิพนธ์เสิร์จ Gaspers'$k\times k$$W\[1\]$

นี่ควรเป็น #W [1] - ยากโดยอาร์กิวเมนต์การแก้ไขมาตรฐาน นี่คือร่างคร่าวๆ

ก่อนอื่นให้พิจารณาปัญหาที่เกิดจาก biclique เวอร์ชันที่มีหลากสี: กำหนดกราฟที่ชุดของจุดยอดถูกแบ่งเป็นคลาส $X_1,\dots, X_{2k}$ค้นหา biclique ที่มีจุดสุดยอดหนึ่งจุดจากแต่ละชุด ซึ่งแตกต่างจาก Biclique ซึ่งสถานะ FPT เปิดอยู่รุ่นหลากสีนี้เป็นที่รู้จักกันว่า W [1] - ยาก: มีการลดลงง่ายจากคณะ ฉันเชื่อว่ามันควรจะเป็น #W [1] - ยาก

รับกราฟ $G$ และพาร์ทิชันดังกล่าวข้างต้นให้เราได้รับกราฟใหม่ $G'$ โดยแทนที่ทุกจุดสุดยอดของ $X_i$ ด้วยชุดขนาดอิสระ $x_i$ (และแทนที่แต่ละขอบระหว่าง $X_i$ และ $X_j$ โดย $x_i\times x_j$biclique) ตอนนี้จำนวน$k\times k$ bicliques ใน $G'$ เป็นหน้าที่ของ $2k$ ตัวแปร $x_1,\dots,x_{2k}$. ในความเป็นจริงเราจะเห็นได้ว่าฟังก์ชันนี้เป็นพหุนามดีกรีมากที่สุด$2k$ และสัมประสิทธิ์ของเทอม $x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$ เป็นจำนวน bicliques หลากสีในทุกประการ $G$. ดังนั้นโดยการแทนที่ค่าการรวมกันจำนวนมากพอเข้าไปในตัวแปร$x_i$ และการนับจำนวน bicliques ใน $G'$เราสามารถประเมินพหุนามนี้ในหลาย ๆ ที่เพียงพอเพื่อกู้คืนค่าสัมประสิทธิ์โดยการแก้ไข