ฉันไม่ได้เป็นนักทฤษฎีวิทยาการคอมพิวเตอร์ แต่คิดว่าปัญหาโลกแห่งความจริงเป็นของที่นี่

ปัญหา

บริษัท ของฉันมีหลายหน่วยงานทั่วประเทศ

เราเสนอให้พนักงานมีความเป็นไปได้ที่จะทำงานในหน่วยงานอื่น แต่มีเงื่อนไข: จำนวนคนงานทั้งหมดในหน่วยไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้

นั่นหมายความว่า: เราจะอนุญาตให้พนักงานออกจากหน่วยของเขาหากมีคนต้องการสถานที่ของเขา

ข้อมูลการร้องขอตัวอย่าง (สมมติ):

Name            Origin    Destination
Maria              1  ->  2
Marcos             2  ->  3
Jones              3  ->  4
Terry              4  ->  5
Joe                5  ->  6
Rodrigo            6  ->  1
Barbara            6  ->  1
Marylin            1  ->  4
Brown              4  ->  6
Benjamin           1  ->  3
Lucas              4  ->  1

ข้างต้นวางแผน:

ดูว่าเราต้องเลือกระหว่างตัวเลือกสีแดงสีน้ำเงินหรือสีดำอย่างไร

ปัญหาที่แท้จริงนั้นซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อยเนื่องจากเรามี 27 ยูนิตและ 751 คำขอ โปรดดูการสร้างภาพข้อมูล

เป้าหมาย

มีการรวบรวมคำขอทั้งหมดวิธีการตอบสนองมากที่สุดของพวกเขา?

แอปพลิเคชันทฤษฎี (?)

มีกราฟให้ทุกหน่วยเป็นจุดยอดและคำร้องขอเป็นขอบกำกับการแลกเปลี่ยนที่ประสบความสำเร็จจะอยู่ในรูปของไคล์กำกับV $G(V, E)$$V$$E$

แต่ละรอบจะต้องใช้เพียงครั้งเดียว ( คนงานไม่สามารถออกจากหน่วยของเขาสองครั้ง ) แต่สามารถเยี่ยมชมหลายครั้ง ( หน่วยหนึ่งสามารถมีคนงานจำนวนมากที่ต้องการออก )$E$$V$

คำถาม

หากปัญหานี้แสดงออกมาเป็น

"วิธีการหารอบที่รวมกันเกี่ยวข้องกับจำนวนมากที่สุดของขอบที่ไม่ใช้ร่วมกันในกราฟกำกับ"?

เราจะตอบสนองผู้ร้องขอส่วนใหญ่หรือไม่?

สิ่งนั้นเป็นความจริงมีอัลกอริธึมที่จะค้นหาชุดของรอบที่เหมาะสมที่สุด

วิธี Greddy นี้จะแก้ปัญหาได้หรือไม่?

1. ค้นหาวงรอบกำกับที่ใหญ่ที่สุดใน ;$G$
2. ลบขอบมันออกจาก ;$G$
3. ทำซ้ำ 1 จนกระทั่งไม่มีรอบกำกับบน ;$G$

คุณสามารถช่วยฉันได้ไหม?

คุณรู้วิธีอื่นในการอธิบายปัญหาต้นฉบับ (ทำให้ผู้ขอใช้บริการส่วนใหญ่มีความสุข)

แก้ไข : เปลี่ยนแผนกเป็นหน่วยเพื่ออธิบายปัญหาได้ดียิ่งขึ้น

ตกลงฉันอ่านรหัสของ TradeMaximizer และฉันเชื่อว่ามันแก้ปัญหาทั่วไปได้มากขึ้นต่อไปนี้

ปัญหา: รับเป็นกราฟกำกับที่มีส่วนโค้งมีค่าใช้จ่าย ค้นหาชุดวงจรจุดยอดที่แยกจากกันซึ่งจะเพิ่มจำนวนจุดยอดที่ครอบคลุมสูงสุดก่อนและลดค่าใช้จ่ายรวมเป็นวินาที

เพื่อแก้คำถามที่ถามนี่ให้จุดเป็นพนักงานและวาดโค้งของต้นทุนต่อหน่วยเมื่อxจะชอบงานของปี โปรดทราบว่าขณะนี้พนักงานเป็นจุดสูงสุดแทนที่จะเป็นขอบ สิ่งที่ดีคือพนักงานสามารถพูดว่า "ฉันต้องการงานของyแต่zก็ทำเช่นกัน"$x\to y$$x$$y$$y$$z$

วิธีการแก้:

1. สร้างกราฟแบบสองฝ่ายดังนี้: สำหรับแต่ละจุดยอดในกราฟต้นฉบับแนะนำจุดยอดซ้ายx Lจุดยอดขวาx Rและส่วนโค้งx L → x Rซึ่งค่าใช้จ่ายสูงมาก (ใหญ่กว่าผลรวมของต้นทุนในต้นฉบับ กราฟ). สำหรับแต่ละส่วนโค้งx → yในกราฟต้นฉบับแนะนำส่วนโค้งx L → y Rในกราฟสองส่วน$x$$x_L$$x_R$$x_L\to x_R$$x\to y$$x_L\to y_R$

2. ค้นหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบต้นทุนต่ำสุดในกราฟสองฝ่าย

มีการประมวลผลกราฟต้นฉบับล่วงหน้าด้วยเช่นกัน: ลบส่วนโค้งระหว่าง SCC จากนั้นประมวลผลขนาด SCC ทั้งหมดตามที่ระบุข้างต้น$>1$

(ในความเป็นจริง TradeMaximizer จะทำซ้ำทุกวิธีการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดตามเกณฑ์ทั้งสองข้างต้นเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพของสิ่งอื่น ๆ เช่นความยาวของรอบที่ใหญ่ที่สุด heuristically รอบใหญ่วงจรใหญ่เพิ่มโอกาสของการ "จัดการ" ไม่ผ่านเพราะ คนเปลี่ยนใจ)

PS: ผู้เขียน, คริสโอคาสากิได้รับการยืนยันว่านี่คือสิ่งรหัสไม่กลับไปที่โพสต์บล็อก

$1$$-1$

เนื่องจากค่าใช้จ่ายและกำลังการผลิตทั้งหมดถูก จำกัด ด้วยค่าคงที่อัลกอริทึมการยกเลิกรอบอย่างง่ายจะค้นหาการหมุนเวียนที่ต้องการในเวลาพหุนาม นี่เกือบจะเหมือนกับอัลกอริทึมโลภที่เห็นได้ชัด:

while G has any negative-cost directed cycles
    γ = arbitrary negative-cost directed cycle
    reverse every edge in γ
    negate the cost of every edge in γ
return the subgraph of reversed edges

$O(VE)$$0$$-E$$E$$O(VE^2)$

นี่ไม่ใช่อัลกอริทึมที่เร็วที่สุดที่รู้จักกัน

วิธีการโลภนี้จะไม่ให้ทางออกที่ดีที่สุดเสมอไป

$C$$n$$\{(v_1, v_2),\dots,(v_n,v_1)\}$$C_1$$C_2$$n-1$$C$

$C$$n$$C_1$$C_2$

$C_1$$C_2$$2(n-1)=2n-2$

$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$

อาจมีวิธีการทางทฤษฎี / สูตรการคำนวณเพื่อแก้ปัญหานี้ แต่ปัญหานี้ฟังดูเหมือนปัญหาการเปลี่ยนแปลงกับฉันที่การเปลี่ยนลำดับทั้งหมดบางส่วนถูกปฏิเสธและผู้อื่นก็ใช้ได้ การเรียงสับเปลี่ยนเป็นพนักงานและตำแหน่งเป็น "ตำแหน่ง" ใน บริษัท การเปลี่ยนแปลงถูกปฏิเสธถ้ามันไม่ตรงกับข้อกำหนดของ "คน [x] ต้องการตำแหน่ง [y]" ความแตกต่างของหน่วย / ขอบเขต / org เห็นได้ชัดว่าไม่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาในกรณีนี้

ปัญหาการเปลี่ยนรูปแบบนี้พร้อมข้อ จำกัด สามารถแปลงเป็นตัวอย่างของปัญหา SAT (ความพึงพอใจ) ได้อย่างง่ายดาย การกำหนดตัวแปรบูลีนหมายถึงพนักงานและข้อ จำกัด แสดงถึงข้อ จำกัด "person [x] ต้องการตำแหน่ง [y]" มีตัวอย่างคลาสสิกในบริเวณใกล้เคียงโดยทั่วไปมักจะเรียกว่าปัญหา "โต๊ะอาหารค่ำ" ซึ่งคุณมีตำแหน่งที่นั่งและแขกและไม่ใช่แขกทุกคนที่ต้องการนั่งถัดจากกัน (หรือคล้ายกันมากกับแขกบางคน

และแน่นอนว่ามีตัวแก้ SAT ที่ซับซ้อนสำหรับอินสแตนซ์ขนาดใหญ่พอสมควรซึ่งเกี่ยวข้องกับตัวแปรและส่วนคำสั่งต่างๆนับร้อยบนพีซีและหากปัญหาไม่ "ยาก" ในหน่วยพัน

ดูเช่น [1] สำหรับการอ้างอิงระดับมืออาชีพและ [2] สำหรับแบบฝึกหัดในชั้นเรียน นอกจากนี้ยังมีความคล้ายคลึงกันของโครงสร้างบางอย่างกับสิ่งที่เรียกว่า "ปัญหานกพิราบ" ซึ่งได้รับการศึกษาอย่างดีในแวดวง SAT ที่นกพิราบถูกกำหนดให้กับนกพิราบและคุณมีรูมากกว่าหรือน้อยกว่านกพิราบ ในกรณีนี้อย่างไรก็ตามนกพิราบมักถูกมองว่าเป็นสิ่งที่ใช้แทนกันได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งปัญหาของโต๊ะอาหารก็เหมือนปัญหานกพิราบที่มีข้อ จำกัด ที่แข็งแกร่งกว่าและแขก / นกพิราบต้องมีความต้องการ

ทราบแน่นอน / โปรดจำไว้ว่าสำหรับปัญหาประเภทนี้ขึ้นอยู่กับข้อ จำกัด คำตอบอาจเป็น "ไม่มีวิธีแก้ไขข้อ จำกัด ดังกล่าว"

[1] อัลกอริทึมโต๊ะอาหารเย็นโดย crato

[2] CS402 พรินซ์ตัน HW SAT

[3] ปัญหาความพึงพอใจวิกิพีเดีย