ทฤษฎี Realizability: ความแตกต่างของพลังระหว่างแคลคูลัสแลมบ์ดาและทัวริงเครื่องจักร

ฉันมีสามคำถามย่อยที่เกี่ยวข้องซึ่งถูกเน้นด้วยสัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อยด้านล่าง (ไม่พวกเขาไม่สามารถแยกได้ถ้าคุณสงสัย) Andrej Bauer เขียนที่นี่ว่าฟังก์ชั่นบางอย่างสามารถทำได้ผ่านเครื่องทัวริง แต่ไม่ใช่ผ่านแลมบ์ดาแคลคูลัส ขั้นตอนสำคัญในการให้เหตุผลของเขาคือ:

อย่างไรก็ตามถ้าเราใช้แคลคูลัสแลมบ์ดา [โปรแกรม] c ควรคำนวณตัวเลขที่แสดงถึงเครื่องทัวริงจากเทอมแลมบ์ดาซึ่งเป็นฟังก์ชัน f สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ (ฉันสามารถอธิบายได้ว่าทำไมหากคุณถามเป็นคำถามแยกต่างหาก)

• ฉันต้องการดูคำอธิบาย / หลักฐานที่ไม่เป็นทางการ

ฉันไม่เห็นวิธีการใช้ทฤษฎีบทของไรซ์ที่นี่ มันจะนำไปใช้กับปัญหา "เครื่องจักรทัวริง T นี้และ L- คำศัพท์เทียบเท่า L lda นี้หรือไม่" เพราะการใช้คำกริยานี้กับคำที่เทียบเท่าจะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน อย่างไรก็ตามฟังก์ชั่นที่ต้องการอาจคำนวณต่างกัน แต่เทียบเท่า TM สำหรับเงื่อนไขแลมบ์ดาที่ต่างกัน แต่เทียบเท่า

• ยิ่งกว่านั้นถ้าปัญหาเกิดขึ้นจากการวิปัสสนาของแลมบ์ดาฉันคิดว่าการผ่านการเข้ารหัสเทอมของแลมบ์ดาจะต้องเป็นที่ยอมรับเช่นกันใช่ไหม?

ในอีกด้านหนึ่งเนื่องจากตัวอย่างของเขาเกี่ยวข้องกับการคำนวณในแลมบ์ดาแคลคูลัสจำนวนขั้นตอนที่ Turing Machine ต้องการเพื่อให้งานเสร็จสมบูรณ์ฉันไม่แปลกใจมาก

• แต่เนื่องจากแลมบ์ดาแคลคูลัสไม่สามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับทัวริงได้ฉันสงสัยว่าใครสามารถกำหนดปัญหาที่คล้ายกันสำหรับแลมบ์ดาแคลคูลัสและพิสูจน์ว่ามันไม่สามารถแก้ไขได้สำหรับเครื่องจักรทัวริง เครื่องจักรทัวริง (ซึ่งจะทำให้ฉันประหลาดใจ)

จอห์น Longley มีบทความที่กว้างขวางมากสำรวจการอภิปรายประเด็นต่างๆที่เกี่ยวข้องกับ"พัฒนาการของ Computability ที่ประเภทที่สูงขึ้น"

แนวคิดพื้นฐานคือการทำวิทยานิพนธ์ของทัวริสต์เกี่ยวกับฟังก์ชั่นจาก - และมีการคำนวณมากกว่านั้น! โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเราเขียนโปรแกรมเราใช้ประโยชน์จากฟังก์ชันประเภทที่สูงกว่า (เช่น )$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N}$

เพื่อกำหนดรูปแบบการคำนวณประเภทที่สูงขึ้นอย่างสมบูรณ์เราต้องระบุแบบแผนการเรียกสำหรับฟังก์ชั่นเพื่อให้ฟังก์ชั่นหนึ่งสามารถเรียกฟังก์ชั่นอื่นที่ได้รับเป็นอาร์กิวเมนต์ ในแคลคูลัสแลมบ์ดาเรียกประชุมมาตรฐานคือเราแสดงฟังก์ชั่นตามข้อกำหนดแลมบ์ดาและสิ่งเดียวที่คุณสามารถทำได้กับแลมบ์ดาในแคลคูลัสแลมบ์ดาคือการใช้มัน ในการเข้ารหัสทั่วไปกับเครื่องทัวริงเราส่งผ่านฟังก์ชั่นเป็นอาร์กิวเมนต์โดยแก้ไขการเข้ารหัส Godel เฉพาะจากนั้นสตริงจะแทนดัชนีของเครื่องที่คุณต้องการผ่านเป็นอาร์กิวเมนต์

ความแตกต่างในการเข้ารหัสหมายความว่าคุณสามารถวิเคราะห์ไวยากรณ์ของอาร์กิวเมนต์ด้วยการเข้ารหัสสไตล์ TM และคุณไม่สามารถใช้การแทนแลมบ์ดาแคลคูลัสมาตรฐานได้ ดังนั้นถ้าคุณได้รับแลมบ์ดาระยะสำหรับฟังก์ชั่นประเภทคุณสามารถทดสอบพฤติกรรมของมันโดยผ่านมันโดยเฉพาะอย่างยิ่ง 's - คุณไม่สามารถวิเคราะห์โครงสร้างของ คำใด ๆ นี่เป็นข้อมูลที่ไม่เพียงพอที่จะค้นหารหัสของคำแลมบ์ดา$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$n$

สิ่งหนึ่งที่ควรสังเกตคือประเภทที่สูงกว่าถ้าภาษามีความหมายน้อยกว่าในหนึ่งคำสั่งมันจะมีความหมายมากกว่าคำสั่งเดียวเนื่องจากหน้าที่ต่างกัน ในทำนองเดียวกันมีฟังก์ชั่นที่คุณสามารถเขียนด้วย LC ที่คุณไม่สามารถใช้การเข้ารหัสแบบ TM ได้ (เพราะมันขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าคุณสามารถส่งผ่านอาร์กิวเมนต์ที่ใช้งานได้และรู้ว่าผู้รับไม่สามารถมองเข้าไปในฟังก์ชันที่คุณให้ได้) .

แก้ไข: นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชั่นที่สามารถนิยามได้ใน PCF แต่ไม่ใช่ในการเข้ารหัส TM + Goedel ฉันจะประกาศisAlwaysTrueฟังก์ชั่น

 isAlwaysTrue : ((unit → bool) → bool) → bool

ซึ่งควรคืนค่าจริงถ้าอาร์กิวเมนต์นั้นละเว้นอาร์กิวเมนต์และจะส่งกลับค่าจริงเสมอควรส่งคืนค่าเท็จหากอาร์กิวเมนต์นั้นส่งคืนค่าเท็จในอินพุตใด ๆ และเข้าสู่ลูปถ้าอาร์กิวเมนต์นั้นเข้าสู่ลูปในอินพุตใด ๆ เราสามารถกำหนดฟังก์ชั่นนี้ได้ง่าย ๆ ดังนี้

isAlwaysTrue p = p (λ(). true) ∧ p (λ(). false) ∧ p (λ(). ⊥)

⊥การคำนวณวนลูปอยู่ที่ไหนและ∧เป็นและโอเปอเรเตอร์ของบูลีน สิ่งนี้ใช้ได้เพราะมีเพียงสามคนunit → boolใน PCF และเราสามารถระบุได้อย่างละเอียด อย่างไรก็ตามในโมเดลรูปแบบการเข้ารหัส TM + Goedel pสามารถทดสอบได้ว่าอาร์กิวเมนต์ใช้เวลานานแค่ไหนในการส่งคืนคำตอบและส่งคืนคำตอบต่าง ๆ ตามนั้น ดังนั้นการดำเนินการisAlwaysTrueกับ TMs จะล้มเหลวตามข้อกำหนด

สิ่งที่นีลพูดและยังมีดังต่อไปนี้

ผมอยากจะเน้น ( อีกครั้ง , อีกครั้งและอีกครั้ง ) เป็นตัวแทนของอินพุตและเอาต์พุตเรื่องที่ หากเราได้รับอนุญาตให้เปลี่ยนการเป็นตัวแทนเราสามารถทำสิ่งใดสิ่งหนึ่งได้ (ตัวอย่างเช่นสร้างฟังก์ชันที่คำนวณได้) ดังนั้นผ่านจากการเป็นตัวแทนของฟังก์ชั่นโดย -terms ไปยังการแสดงโดยตัวเลขGödel ไม่เป็นที่ยอมรับถ้าแบบจำลองการคำนวณของเราคือ -calculus (เพราะการดำเนินการแกง ไม่สามารถคำนวณได้โดย -calculus)$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$$\lambda$$\lambda$

คำแถลงการณ์ที่สามารถพบได้ใน -term model แต่ไม่ใช่ในโมเดลทัวริงของเครื่องคือ "ไม่ใช่ทุกฟังก์ชั่นมีรหัสGödel" ซึ่งเป็นเรื่องโง่ ฉันจะพยายามหาคำตอบที่ดีกว่าและแก้ไขคำตอบนี้$\lambda$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

แก้ไขเมื่อวันที่ 2013-10-07:นี่คือสิ่งที่ฉันหมายถึงโดย "currying กลายเป็น uncomputable" สมมติว่าเราใช้ untyped -calculus เป็นแบบจำลองการคำนวณของเรา แต่จากนั้นเราตัดสินใจว่าเราควรแสดงแผนที่ด้วยรหัสGödel (ของเครื่องจักรทัวริงเข้ารหัสเป็นตัวเลขของคริสตจักร) ฟังดูไม่เป็นอันตรายใช่มั้ย หลังจากทั้งหมดเราเชื่อว่ามนต์ "เครื่องจักรทัวริงและ -calculus เทียบเท่ากัน"$\lambda$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$

ทีนี้, สำหรับการเป็นตัวแทนใหม่นี้จริง ๆ แล้วเป็นตัวแทนที่ถูกต้องของ , เราจำเป็นต้องตระหนักถึงการใช้งานและการแก้ปัญหาด้วยเช่นกันเพราะเพราะ "หมายถึงฟังก์ชั่น" หมายถึงสิ่งเดียวกันกับ วัตถุเอ็กซ์โปเนนเชียล ") โดยเฉพาะเราต้องระยะดังกล่าวว่าเมื่อใดก็ตามที่คริสตจักรเลขหมายถึงแล้วเป็นตัวแทนจาก{K} (ที่นี่ฉันเขียนสำหรับเลขคริสตจักรที่แสดงถึงจำนวน .)$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$$\mathtt{app}$$\overline{n}$$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f(k)$$\mathtt{app} \; \overline{n} \; \overline{k}$$\overline{n}$$n$$\mathtt{app}$พร้อมใช้งานเนื่องจากมีจำนวนเป็นล่ามสำหรับเครื่องทัวริงซึ่งติดตั้งใน -calculus$\lambda$

แต่วิธีการเกี่ยวกับการแกง? สำหรับสิ่งที่เราต้องการดังต่อไปนี้ สมมติว่าเป็นชุดที่แสดง รับแผนที่คำนวณโดย -termเราต้องแสดงให้เห็นว่าการขนย้ายนอกจากนี้ยังมีการคำนวณโดยบางระยะsแต่ลองพิจารณาตัวอย่างโดยที่คือ set o fmapsแสดงโดย -terms และคือแอปพลิเคชัน จากนั้นจะเป็นแผนที่ซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวตนของฉ: X × N → N λ T ~ F : X → ( N → N ) λ s X N → N λ ฉ~ ฉ N → N λ λ N → N$X$$f : X \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$$t$$\tilde{f} : X \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N})$$\lambda$$s$$X$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$$f$$\tilde{f}$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$แต่ realizer ของมันคือ -term ที่แปลง -terms ที่แสดงถึงแผนที่กับรหัสGödelที่สอดคล้องกัน -term ดังกล่าวไม่มีอยู่ (ตัวอย่างเช่นเนื่องจากจะไม่ต่อเนื่องในรูปแบบความหมายแบบทอพอโลยี)$\lambda$$\lambda$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$

คุณอาจพยายามคัดค้านว่าฉันไม่ควรใช้ชุดเป็นตัวแทนเฉพาะของแผนที่แสดงโดยเทอมเพราะเรา "ตกลง" ว่าควรจะเป็นตัวแทนของรหัสGödel . แต่คุณจะผิด ก่อนอื่นฉันอาจใช้แตกต่างกับหลักฐานที่ซับซ้อนกว่าซึ่งจะหลบหลีกคุณ แต่ก็ยังบรรลุผลเหมือนเดิม ประการที่สองมีอยู่ในหมวดหมู่และคำจำกัดความของเอ็กซ์โปเนนเชียลกำหนดว่าต้องทำงานในส่วนที่เกี่ยวกับวัตถุทั้งหมด คุณต้องเคารพหมวดหมู่ คุณไม่สามารถเขียงมันแบบสุ่มและเอาวัตถุบางอย่างออกมาได้ (อย่างคุณก็ทำได้ แต่คุณเป็นคนขายเนื้อ)N → N λ X $X$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$$X$$X$