คำจำกัดความที่เป็นทางการ / ส่วนที่เคาน์เตอร์ในคณิตศาสตร์สำหรับ "วัตถุ" ของแบบจำลองเชิงวัตถุ

นี่เป็นคำถามที่ฉันถามในฟอรัม SE ทางคณิตศาสตร์และฉันถูกเรียกที่นี่ ดังนั้นนี่คือคำถาม -

ฉันเป็นมือใหม่ทั้งในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีดังนั้นโปรดอดทนกับฉันหากคุณพบว่าคำถามของฉันไม่มีกรอบอย่างเหมาะสม การจำลองแบบเชิงวัตถุดูเหมือนว่ามีประโยชน์มากในการกำหนดปฏิสัมพันธ์ที่ซับซ้อนเมื่อจำลองโลกแห่งความจริง แต่ส่วนใหญ่จะใช้ในการเขียนโปรแกรม ฉันสงสัยว่าถ้าเรามีแนวคิดที่คล้ายกันในวิชาคณิตศาสตร์ เมื่อเราทำการเขียนโปรแกรมเราสามารถเข้าใจแนวคิดของ "Objects" และ "Object Oriented Programming" และใช้มัน แต่เรามีคำจำกัดความอย่างเป็นทางการของ "วัตถุ" ในแง่ของทฤษฎีเซตหรือไม่? หรือสำหรับเรื่องนั้นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการอื่น ๆ

เราสามารถใช้ / กำหนดสามแนวความคิดการสร้างแบบจำลองวัตถุหลักอย่างเป็นทางการ - 1. Encapsulation 2. การสืบทอด 3. Polymorphism

ฉันรู้ว่าคำถามกว้างเกินไป แต่จะขอบคุณจริง ๆ ถ้าคุณสามารถให้ตัวชี้บางอย่างเช่นกันเพื่อให้ฉันสามารถเข้าใจแนวคิดเหล่านี้ได้ดีขึ้น

คำตอบนั้นซับซ้อนด้วยสองเหตุผล

1. คนต่าง ๆ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ตีความคำว่า "วัตถุ" แตกต่างกัน หนึ่งคือวัตถุประกอบด้วยข้อมูลและการดำเนินงานที่รวมกัน อีกสิ่งหนึ่งคือวัตถุล้วน แต่มี "สถานะ" นั่นคือมันเป็นรูปแบบหนึ่งของเอนทิตีที่เปลี่ยนแปลงได้

2. มีประเด็นเชิงปรัชญาลึก ๆ เกี่ยวกับความหมายของ "การเปลี่ยนแปลง" (และ "เอนทิตี้" หมายถึงอะไรเพราะมันเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา) และคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ว่าจับหน่วยงานที่เปลี่ยนแปลงได้จริงหรือไม่

วัตถุในแง่ของข้อมูล + การดำเนินงาน : นั่นเป็นมาตรฐานที่ค่อนข้างดีในวิชาคณิตศาสตร์ ใช้ตำราเรียนทฤษฎีกลุ่มใดก็ได้ มันจะมีคำนิยามบางแห่งเช่น$h_g(x) = g x g^{-1}$. (มันเป็นตัวดำเนินการผันคำกริยา)$h_g$เป็น "วัตถุ" ในคำศัพท์นี้ มันมีข้อมูลบางส่วน$g$) และการดำเนินการ $x \mapsto g x g^{-1}$. หรือคุณสามารถทำให้มัน object-y เพิ่มเติมโดยการจับคู่$\langle g, x \mapsto gxg^{-1}\rangle$ หรือสาม $\langle g, x \mapsto gxg^{-1}, x \mapsto g^{-1}xg\rangle$. คุณสามารถสร้าง "วัตถุ" เหล่านี้ในภาษาการเขียนโปรแกรมการทำงานใด ๆ ที่มีนามธรรมแลมบ์ดาและวิธีการแบบ tuples Abadi และ Cardelli "ทฤษฎีของวัตถุ" เกี่ยวข้องกับวัตถุประเภทนี้อย่างกว้างขวาง

วัตถุที่มีสถานะ (หรือวัตถุที่เปลี่ยนแปลง ): คณิตศาสตร์มีสิ่งนั้นหรือไม่? ฉันไม่คิดอย่างนั้น ฉันไม่เคยเห็นนักคณิตศาสตร์พูดถึงสิ่งที่เปลี่ยนแปลงไม่ได้อยู่ในชีวิตการทำงานของเขา / เธอ นิวตันเคยเขียน$x$ สำหรับตำแหน่งของอนุภาคซึ่งควรจะเปลี่ยนแปลงและ $\dot{x}$สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลง ในที่สุดนักคณิตศาสตร์ก็พบว่าสิ่งที่นิวตันพูดถึงคือฟังก์ชั่น$x(t)$ จากจำนวนจริงลงในช่องว่างเวกเตอร์และ $\dot{x}$ เป็นอีกฟังก์ชั่นที่เป็นอนุพันธ์อันดับแรกของ $x(t)$ ด้วยความเคารพ $t$. จากนี้นักคณิตศาสตร์ที่มีความคิดลึกล้ำได้สรุปว่าการเปลี่ยนแปลงนั้นไม่มีอยู่จริงและสิ่งที่คุณมีก็คือหน้าที่ของเวลา แต่สิ่งที่เปลี่ยนแปลงไปในกลไกของนิวตันไม่ได้อยู่ในตำแหน่ง แต่เป็นอนุภาคอนุภาคตำแหน่งคือสถานะในทันที ไม่มีนักคณิตศาสตร์หรือนักฟิสิกส์จะแกล้งทำเป็นว่าอนุภาคเป็นความคิดทางคณิตศาสตร์ มันเป็นเรื่องทางกายภาพ

ดังนั้นจึงเป็นกับวัตถุ พวกเขาเป็นสิ่ง "ทางกายภาพ" และรัฐเป็นคุณลักษณะทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา สำหรับการอภิปรายที่ดีของด้านนี้ให้ดูที่บทที่ 3 ของ Abelson และ Sussman ของโครงสร้างและการแปลความหมายของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ นี่คือหนังสือเรียนที่ MIT และพวกเขาสอนมันให้กับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกรทุกคนที่ฉันคิดว่าเข้าใจสิ่งที่ "สมบูรณ์" ได้อย่างสมบูรณ์แบบ

ความจริงที่ว่าอนุภาคไม่ใช่เชิงคณิตศาสตร์ไม่ได้หมายความว่าเราไม่สามารถจัดการกับพวกมันทางคณิตศาสตร์ได้ หากคุณขอให้นักคณิตศาสตร์จำลองระบบอนุภาคสองอนุภาคเขาจะสร้างฟังก์ชันขึ้นสองฟังก์ชันทันทีและเรียกพวกมัน$x_1(t)$ และ $x_2(t)$. ดังนั้นอนุภาคทั้งสองจะลดลงเป็นสองดัชนีไร้ความหมาย (1 และ 2) นี่เป็นวิธีที่นักคณิตศาสตร์บอกว่าเราไม่รู้ว่าอนุภาคเหล่านั้นคืออะไรและเราไม่สนใจ สิ่งที่เราต้องรู้ก็คือตำแหน่งของพวกเขาพัฒนาขึ้นอย่างอิสระ (หรือแยกกัน) ดังนั้นเราจะจำลองพวกมันด้วยสองฟังก์ชัน

ในทำนองเดียวกันวิธีการทางคณิตศาสตร์มาตรฐานในการสร้างแบบจำลองโปรแกรมเชิงวัตถุคือการปฏิบัติต่อแต่ละวัตถุเป็นดัชนีในพื้นที่รัฐ ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวก็คือตั้งแต่วัตถุมาและไปและโครงสร้างของระบบเป็นแบบไดนามิกเราจำเป็นต้องขยายไปสู่รูปแบบ "โลกที่เป็นไปได้" ซึ่งแต่ละโลกนั้นเป็นกลุ่มของดัชนี การจัดสรรและการจัดสรรคืนวัตถุจะเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนย้ายจากโลกหนึ่งไปยังอีกโลกหนึ่ง

มีปัญหาเกิดขึ้น ซึ่งแตกต่างจากในกลศาสตร์เราต้องการรัฐของวัตถุที่เราจะได้รับการห่อหุ้ม แต่คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของวัตถุทำให้รัฐทั่วสถานที่ทำลาย encapsulation อย่างสมบูรณ์ มีกลอุบายทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "parametricity เชิงสัมพันธ์" ซึ่งสามารถใช้เพื่อตัดสิ่งต่าง ๆ ให้มีขนาดกลับเป็น ฉันจะไม่เข้าไปในตอนนี้ยกเว้นจะเน้นว่ามันเป็นกลลวงทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่คำอธิบายเชิงแนวคิดเกี่ยวกับการห่อหุ้ม วิธีที่สองของการสร้างแบบจำลองวัตถุทางคณิตศาสตร์ด้วยการห่อหุ้มคือการกลเม็ดเด็ดพรายรัฐและอธิบายพฤติกรรมของวัตถุในแง่ของเหตุการณ์ที่สังเกตได้ สำหรับการอภิปรายที่ดีของทั้งสองรุ่นนี้ผมสามารถนำคุณไปยังกระดาษชื่อของฉันวัตถุและการเรียนใน Algol เหมือนภาษา

[เพิ่มหมายเหตุ:]

การวิเคราะห์ที่ดีของการสนับสนุนทางคณิตศาสตร์ของวัตถุสามารถพบได้ในบทความของ William Cook " ในการทำความเข้าใจกับข้อมูลที่เป็นนามธรรม, Revisited "

คิดว่ามีคำอธิบายทางทฤษฎีที่ดีเกี่ยวกับวัตถุในหนังสือ "โครงสร้างและการตีความของโปรแกรมคอมพิวเตอร์" หนังสือคลาสสิกโบราณ [1] โดย abelson & sussman โดยยึดตามรูปแบบ (รูปแบบเสียงกระเพื่อม) ตอนนี้ออนไลน์ฟรี! สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าแนวคิดของการวางแนววัตถุสามารถฝังอยู่ในแคลคูลัสแลมบ์ดาได้หรือไม่ถ้าคุณมีกลไกในการจัดเก็บสถานะท้องถิ่น อย่างที่ฉันเข้าใจนี่เป็นตำรามาตรฐานของ MIT มาหลายปีแล้ว ไม่พูดนี่คือการอ้างอิงที่ดีที่สุดใน subj; ฉันแน่ใจว่ามีคนอื่น ๆ ที่ดีกว่าในจุดนี้

ฉันไม่คิดว่าสิ่งนี้จะเป็นทางการได้อย่างสมบูรณ์ทุกที่ที่ฉันเคยได้ยิน แต่วัตถุที่พูดอย่างหลวม ๆ นั้นประกอบด้วยรหัส + ข้อมูลในรูปแบบของ

• วิธีการ (พร้อมพารามิเตอร์)
• รัฐเช่นตัวแปรอินสแตนซ์

ในรูปแบบห่อหุ้มบางอย่าง เนื้อหาอื่น ๆ เช่นการถ่ายทอดทางพันธุกรรมไม่ใช่พื้นฐาน ตามที่ระบุไว้ใน abelson & sussman สิ่งที่พวกเขาเรียกว่า "น้ำตาลประโยค"

[1] โครงสร้างและการตีความโปรแกรมคอมพิวเตอร์โดย abelson & sussman