ความซับซ้อนของการเพิ่มประสิทธิภาพมากกว่ากลุ่มรวม

ความซับซ้อนในการคำนวณของการเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชั่นต่าง ๆ มากกว่ากลุ่มคืออะไร? $\mathcal{U}(n)$

งานทั่วไปที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งในทฤษฎีข้อมูลควอนตัมจะเป็นการเพิ่มปริมาณของประเภท (หรือชื่อพหุนามคำสั่งสูงกว่าใน ) มากกว่าเมทริกซ์ทั้งหมด การเพิ่มประสิทธิภาพประเภทนี้สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ (อาจประมาณ) หรือ NP-hard หรือไม่ (อาจเป็นที่รู้จักกันดี แต่ฉันไม่พบข้อมูลอ้างอิงทั่วไป) $\mathrm{Tr}AUBU^{\dagger}$ $U$ $U$

— Marcin Kotowski
แหล่งที่มา

คุณโอเคที่จะ จำกัด "ฟังก์ชั่นต่าง ๆ " เป็น "พหุนามมากกว่ายูนิต" หรือไม่?

— Artem Kaznatcheev

ฉันไม่รู้มากว่าปัญหาเหล่านี้เกิดขึ้นได้อย่างไร แต่อะนาล็อกคลาสสิคของปัญหานี้จะเป็นอย่างไร คุณรู้ความซับซ้อนของปัญหานั้นหรือไม่?

— Robin Kothari

มีกระดาษที่ดีมากจาก Roger Brockett จากปี 1991 ที่แสดงวิธีการแสดงการเรียงลำดับและการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบที่คุณอธิบาย แต่เหนือเมทริกซ์มุมฉาก แม้ว่าจะไม่ได้กล่าวถึงความซับซ้อน แต่ความจริงที่ว่าปัญหาสองอย่างที่แตกต่างกันสามารถแสดงในลักษณะเดียวกันนั่นหมายความว่าคุณจะต้องรู้อะไรบางอย่างเกี่ยวกับโครงสร้างปัญหาเพื่อกำหนดความซับซ้อน: eecs.berkeley.edu/~sburden/research/ jonathan / Brockett1991.pdf

— Suresh Venkat

@ บทความ: ใช่ในทางปฏิบัติชื่อพหุนามที่มีระดับต่ำเป็นสิ่งที่เกี่ยวข้องมากที่สุดฉันคิดว่า

— Marcin Kotowski

มันมาจาก eigen-decompositions ของ

และ

ในตัวอย่าง degree-2 ที่คุณให้ สำหรับและ

เทียนที่รวม

สามารถนำมาใช้เพื่อเพิ่มการติดตามโดยมี eigenspaces ของ

ชิดกับบรรดา; จากนั้นก็เพียงพอที่จะเพิ่มจุดผลคูณของค่าลักษณะเฉพาะของตนซึ่งเป็นเรื่องไม่สำคัญถ้า

และ

เป็น semidefinite บวก (และกรณีที่เราอาจลดลงโดยการเพิ่มทวีคูณของเอกลักษณ์เพื่อลดค่าลักษณะเฉพาะ) หรือคุณสนใจในกรณีทั่วไปมากขึ้นไม่จำเป็นต้องมีแรงจูงใจจากกลศาสตร์ควอนตัมในระบบขนาดเล็ก?

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

U

$U$

U B U^{†}

$U B U^\dagger$

A

$A$

A

$A$

B

$B$

— Niel de Beaudrap

คำตอบ:

ขอโทษทีมาช้าไปหน่อย! ในทฤษฎีการคำนวณเชิงควอนตัมมีหลายตัวอย่างของปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดสำหรับกลุ่มที่รวมกันซึ่งอย่างน่าประหลาดใจ (อย่างน้อยสำหรับฉัน) สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม

นี่คือตัวอย่างแรก: การแก้ปัญหาของฉันจากปี 2000 ในปี 2003 Barnum, Saks และ Szegedyแสดงให้เห็นว่า Q (f) ความซับซ้อนในการสืบค้นควอนตัมของฟังก์ชันบูลีน f: {0,1} ⁿ → {0,1 } สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามใน 2 ⁿ (เช่นขนาดของตารางความจริงของ f) ผมคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ไม่สามารถดูวิธีการทำมันตั้งแต่หนึ่งความต้องการที่จะเพิ่มประสิทธิภาพความน่าจะประสบความสำเร็จในช่วงขั้นตอนวิธีการสืบค้นข้อมูลควอนตัมเป็นไปได้ทั้งหมดแต่ละคนมีชุดของตัวเอง (อาจจะเป็น 2 ⁿ -sized) การฝึกอบรมรวม Barnum และคณะ ลดลงเป็น SDP โดยใช้ประโยชน์จาก "ความเป็นคู่" ระหว่างเมทริกซ์แบบรวมและเมทริกซ์กึ่งไม่มีค่าบวก, สิ่งที่เรียกว่าChoi-Jamiolkowski isomorphism. สำหรับ SDP ที่มีลักษณะพิเศษกว่าและง่ายกว่าในการหาลักษณะของ Q (f) ให้ดูกระดาษ 2010 ของ Reichardtแสดงให้เห็นว่าวิธีการต่อต้านน้ำหนักเชิงลบเป็นวิธีที่ดีที่สุด

อีกกรณีที่สำคัญที่มีการใช้เคล็ดลับนี้ในระบบพิสูจน์เชิงควอนตัม แม้ว่าจะไม่ชัดเจนโดยสังเขปในปี 2000 Kitaev และ Watrousได้พิสูจน์ว่า QIP ⊆ EXP โดยการลดปัญหาของการปรับให้เหมาะสมกับเมทริกซ์รวมขนาดเอ็กซ์โพเนนเชียลที่เกิดขึ้นในระบบพิสูจน์ควอนตัมแบบควอนตัม 3 รอบเพื่อแก้ปัญหา SDP ขนาดเอกพจน์แทน (อีกครั้งฉันคิดว่าโดยใช้ Choi-Jamiolkowski เมทริกซ์รวมกัน) การพัฒนาล่าสุดของQIP = PSPACEนั้นมาจากการแสดงให้เห็นว่า SDP ที่เฉพาะเจาะจงสามารถแก้ไขได้ดียิ่งขึ้นใน NC (เช่นโดยวงจรบันทึกเชิงลึก)

ดังนั้นอะไรก็ตามที่ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดของคุณเกี่ยวข้องกับกลุ่มรวมฉันเดาได้ว่ามันสามารถแก้ไขได้เร็วกว่าที่คุณคิด - ถ้าไม่ใช่ในวิธีที่ง่ายกว่านั้นโดยลด SDP!

— Scott Aaronson
แหล่งที่มา

สก็อตที่รัก! Barnum, Saks และ Szegedy ไม่ได้พูดถึงสัจพจน์ของ Choi-Jamiolkowski อย่างชัดเจนและฉันไม่เข้าใจว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการก่อสร้างของพวกเขาอย่างไร คุณช่วยอธิบายเรื่องนี้ให้ละเอียดหน่อยได้ไหม? ฉันกำลังถามเพราะฉันพยายามที่จะเข้าใจว่าผลลัพธ์ที่คล้ายกันเป็นไปได้สำหรับกรณีของออราเคิลผิดพลาดหรือไม่

— Joris

-3

การพิจารณาว่าการฝึกอบรม Hadamard สองตัวที่เท่ากันนั้นเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ของกราฟ Isomorphism (GI) หรือไม่ Brendon McKay มีบทความเกี่ยวกับหัวข้อนี้ ดู BD McKay, Hadamard สมมูลผ่านกราฟ isomorphism, คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง, 27 (1979) 213-216

— Dursun
แหล่งที่มา

\pm 1

$\pm 1$