ครอบคลุมเวลาและช่องว่างของสเปกตรัมสำหรับการเดินแบบสุ่มย้อนกลับได้

ฉันกำลังมองหาทฤษฎีบทที่พูดอะไรบางอย่างเช่นนี้: ถ้าเวลาที่ครอบคลุมของห่วงโซ่มาร์คอฟแบบพลิกกลับได้มีขนาดเล็กแล้วช่องว่างของสเปกตรัมก็ใหญ่ นี่หมายถึงช่องว่างของสเปกตรัม$1-|\lambda_2|$นั่นคือเราไม่สนใจค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดของห่วงโซ่

ผลลัพธ์เดียวที่ฉันสามารถค้นพบในทิศทางนี้คือจากขอบเขตบนปกเวลา Broder และ Karlin, FOCS 88 ที่นั่นมีการสันนิษฐานว่าเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงของห่วงโซ่คือสุ่มสองครั้ง (แต่ไม่จำเป็นต้องย้อนกลับ) และ aperiodic; บทความนี้แสดงให้เห็นว่าภายใต้สมมติฐานเหล่านี้หากเวลาครอบคลุม$O(n \log n)$จากนั้น $1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$อย่างน้อย1}$n^{-1}$

โดยสังหรณ์ใจดูเหมือนว่าเป็นไปได้มากว่าถ้าคุณสามารถครอบคลุมจุดยอดทั้งหมดของกราฟอย่างรวดเร็วจากนั้นเวลาผสมควรน้อย โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณสามารถครอบคลุมจุดยอดทั้งหมดของกราฟในเวลาแน่นอนคุณควรจะสามารถแยกช่องว่างสเปกตรัมของพูด ?$n^2$$n^{-1000}$

หนึ่งอุปสรรคที่เป็นไปได้ที่จะทำลายความหมายระหว่างเวลาฝาครอบขนาดเล็กและช่องว่างสเปกตรัมที่มีขนาดใหญ่เป็น bipartiteness: ในฝ่ายกราฟคุณสามารถมีช่วงเวลาที่ฝาครอบขนาดเล็กที่มีค่าเฉพาะของ-1ในคำถามของฉันฉันกำลังข้ามปัญหานี้โดยไม่สนใจค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุด$-1$

เวลาที่ใช้ในการผสมนั้นเป็นเวลากดปุ่มที่แย่ที่สุดของจุดยอดครึ่ง เวลาปิดเป็นเวลาหยุดเมื่อทุกส่วนของจุดยอดถูกตี กล่าวอีกนัยหนึ่งมันใหญ่กว่าเวลาผสมเสมอ จึงเป็นหนึ่งในตัวอย่างของคุณไม่สามารถมีเวลาผสมและเวลาปก 2 $n^{1000}$$n^2$

การทำให้สัญชาตญาณนี้แม่นยำต้องใช้ความระมัดระวังเนื่องจากเราต้องเชื่อมโยงเวลาในการผสมเข้ากับช่องว่างค่าลักษณะเฉพาะไม่ใช้ครึ่งหนึ่งของจุดยอด แต่ครึ่งหนึ่งของการกระจายแบบอยู่นิ่งฯลฯ สิ่งนี้ไม่ยาก เริ่มต้นด้วยกระดาษนี้โดย Lovasz และ Winkler ซึ่งให้เวลาผสมข้างบนและเกี่ยวข้องกับเวลาในการผสมแบบมาตรฐานมากขึ้นในรูปแบบที่เปลี่ยนแปลงทั้งหมด $\pi$