ความซับซ้อนของการทดสอบค่ากับการคำนวณฟังก์ชั่น

36

โดยทั่วไปเรารู้ว่าความซับซ้อนของการทดสอบว่าฟังก์ชั่นรับค่าเฉพาะที่อินพุตที่กำหนดหรือไม่นั้นง่ายกว่าการประเมินฟังก์ชั่นที่อินพุตนั้น ตัวอย่างเช่น:

การประเมินค่าถาวรของเมทริกซ์จำนวนเต็มแบบไม่ลบคือ # P-hard แต่ยังบอกได้ว่าค่าดังกล่าวถาวรเป็นศูนย์หรือไม่ใช่ศูนย์อยู่ใน P (การจับคู่แบบสองฝ่าย)
นอกจากนี้ตัวเลขจริง n เช่นว่าพหุนามมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ (ที่จริงชุดใหญ่ของตัวเลขจริงจะมีคุณสมบัติเหล่านี้) สำหรับอินพุตที่กำหนดการทดสอบว่าพหุนามนี้เป็นศูนย์ใช้เวลาคูณและการเปรียบเทียบ (โดยผลลัพธ์ของ Ben-Or หรือไม่เนื่องจากชุดศูนย์มี $a_1,...,a_n$ $\prod_{i=1}^{n}(x - a_i)$ $n$ $x$ $\Theta(\log n)$ $n$ องค์ประกอบ) แต่การประเมินพหุนามข้างต้นนั้นใช้เวลาอย่างน้อยขั้นตอนโดยแพ็ตเตอร์สัน-Stockmeyer $\Omega(\sqrt{n})$
การเรียงลำดับต้องใช้ขั้นตอนบนต้นไม้เปรียบเทียบ (เช่นขั้นตอนบนต้นไม้ตัดสินใจเกี่ยวกับพีชคณิตจริงอีกครั้งโดยผลลัพธ์ของ Ben-Or) แต่การทดสอบว่ารายการเรียงเพียงใช้การเปรียบเทียบ . $\Omega(n \log n)$ $\Omega(n \log n)$ $n-1$

มีเงื่อนไขทั่วไปเกี่ยวกับพหุนามที่เพียงพอที่จะบ่งบอกถึงความซับซ้อน (พีชคณิต) ของการทดสอบว่าพหุนามเป็นศูนย์หรือไม่เท่ากับความซับซ้อนของการประเมินพหุนาม

ฉันกำลังมองหาเงื่อนไขที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการรู้ความซับซ้อนของปัญหาก่อน

( ชี้แจง 10/27/2010 ) เพื่อให้ชัดเจนพหุนามไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต อะไรที่ว่าก็คือว่าได้รับการแก้ไขในครอบครัวของฟังก์ชั่น (หนึ่งสำหรับขนาดการป้อนข้อมูลแต่ละ (ทั้ง bitlength หรือจำนวนของปัจจัยการผลิต)) ผมต้องการที่จะเปรียบเทียบความซับซ้อนของภาษาปัญหา / การตัดสินใจกับความซับซ้อนของการประเมินที่ฟังก์ชั่น } $\{ f_n \}$ $\{ X : f_n(X) = 0 \text{ where } n \text{ is the "size" of } X \}$ $\{f_n\}$

การชี้แจง:ฉันกำลังถามเกี่ยวกับความซับซ้อนเชิงซีนิตี้ของการประเมิน / ทดสอบตระกูลพหุนาม ยกตัวอย่างเช่นเหนือสนามคงที่ (หรือแหวนเช่น ) "ถาวร" ไม่ใช่พหุนามเดียว แต่ครอบครัวไม่มีที่สิ้นสุดโดยที่เป็นค่าคงที่ของเมทริกซ์ที่สนาม (หรือแหวน) ที่ $\mathbb{Z}$ $\{perm_{n} : n \geq 0 \}$ $perm_{n}$ $n \times n$

cc.complexity-theory reference-request algebraic-complexity

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

Anwer ในคำถามของคุณไม่ได้ขึ้นอยู่กับพหุนามเท่านั้น แต่ขึ้นอยู่กับการเป็นตัวแทนของมันด้วย?

— ilyaraz

@ilyaraz: ไม่แน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไร พหุนามไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต

— arnab

โจชัวคุณสามารถ 'ทำให้น้ำยางข้น' เป็นคำถามเพื่อให้อ่านง่ายขึ้นหรือไม่?

— Suresh Venkat

4

ฉันพบกระดาษของ Valiant ( dx.doi.org/10.1016/0020-0190(76)90097-1 ) "ความซับซ้อนสัมพัทธ์ของการตรวจสอบและประเมินผล" ซึ่งพิจารณาคำถามหลักเดียวกัน แต่ในการตั้งค่าเครื่องทัวริงมาตรฐานมากกว่า การตั้งค่าเกี่ยวกับพีชคณิต เขาไม่ตอบคำถามของฉัน แต่ถ้าคุณพบว่าคำถามนี้น่าสนใจคุณอาจพบว่าบทความของเขาน่าสนใจ

— Joshua Grochow

1

"การใช้อัลกอริทึมของทฤษฎีบท Feferman – Vaught" ของ Makowski นั้นอาจเกี่ยวข้องกัน เขากำหนดพหุนามโดยการสรุปโครงสร้าง MSOL ที่กำหนดได้บนกราฟและแสดงให้เห็นว่าง่ายต่อการประเมินเมื่อกราฟมีความกว้างของต้นไม้ล้อมรอบ

— Yaroslav Bulatov

4

กว่าการทดสอบสำหรับศูนย์และการประเมินผลนั้น "เกือบ" เหมือนกันในแง่ต่อไปนี้: สมมติว่าคุณมีแผนภูมิการตัดสินใจซึ่งทดสอบว่ามีพหุนามลดบางส่วนที่ไม่เป็นศูนย์หรือไม่ เราทำงานผ่านดังนั้นเราจึงสามารถทดสอบความเท่าเทียมกันเท่านั้น แต่ไม่มี "<" นั่นคือความแตกต่างที่สำคัญสำหรับตัวอย่างที่สองในคำถาม! ตอนนี้ใช้เส้นทางปกติคือเส้นทางที่ถ่ายโดยเกือบทุกปัจจัยการผลิต (เรามักจะทำตาม " " -branch) นอกจากนี้ใช้เส้นทางตามแบบฉบับขององค์ประกอบทั้งหมดในหลากหลาย )ให้เป็นโหนดที่ทั้งสองพา ธ ใช้สาขาที่แตกต่างกันเป็นครั้งแรก ให้ $\mathbb{C}$ $f$ $\mathbb{C}$ $\not=$ $V(f)$ $v$ เป็นพหุนามที่ทดสอบตามคำนำหน้าทั่วไปของสองเส้นทาง ตั้งแต่ปิดองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ในและการเข้าถึงยังอยู่ใน )ดังนั้นถ้าแล้วหนึ่งในหายไปในxเราใช้ Nullstellensatz ของ Hilbert กับแล้วหาค่า $h_1,\dots,h_m$ $V(f)$ $V(f)$ $v$ $V(h_m)$ $f(x) = 0$ $h_i$ $x$ $h_1 \cdots h_m$ สำหรับบางพหุนามว่าจะ coprimeฉในระยะสั้นในขณะที่เรายังไม่ได้คำนวณเมื่อตัดสินใจว่าเราจะต้องคำนวณสำหรับบาง coprimeกรัม $f g = h_1 \cdots h_m$ $g$ $f$ $f$ $f(x) = 0$ $fg$ $g$

— Markus Bläser
แหล่งที่มา

ดังนั้นความซับซ้อนของการทดสอบ

ถูกจับเป็นหลักโดยความซับซ้อนของการประเมิน

กรัม

จากนั้นเนื่องจาก

ลดลงไม่ได้ความซับซ้อนของการประเมิน

จะถูก จำกัด ด้วยพหุนามด้วยความซับซ้อนของการประเมิน

, ระดับของ

และจำนวนของตัวแปร ดังนั้นถ้า

มีระดับพหุนามและการทดสอบ

นั้นง่ายพอการทดสอบและประเมินผลจะเทียบเท่า (อย่างไรก็ตามถ้า

f (x) = 0

$f(x)=0$

f g

$fg$

f

$f$

f

$f$

f g

$fg$

f g

$fg$

f

$f$

f (x) = 0

$f(x)=0$

d e g f

$deg f$ มีขนาดใหญ่หรือการทดสอบยาก - บอกว่าระดับ

มีขนาดใหญ่มาก - นี่บอกน้อยมาก)

g

$g$

— Joshua Grochow

ฉันไม่เข้าใจ: ถ้าคุณสามารถหาค่า

คุณก็สามารถทดสอบค่าศูนย์ด้วยการปฏิบัติการอีกหนึ่งครั้งนั่นคือการทดสอบความเท่าเทียมหนึ่งครั้งในที่สุด สิ่งที่อาจผิดพลาดคือการประเมิน

นั้นถูกกว่าการประเมิน

ด้วยเหตุผลบางอย่าง (หมายเหตุ: การประเมิน

หมายถึงการประเมินที่จุดทั่วไปนั่นคือไม่ทราบแน่ชัด)

f

$f$

f g

$fg$

f

$f$

f

$f$

— Markus Bläser

แม่นยำ. การประเมิน

อาจจะง่ายกว่าการประเมินฉ

(ฉันรู้ว่าการประเมิน

หมายถึงการประเมินที่จุดทั่วไปฉันไม่เข้าใจจริง ๆ ว่าทำไมคุณคิดว่าคำพูดเกี่ยวกับผู้ปกครองครั้งสุดท้ายของคุณเป็นสิ่งที่จำเป็น แต่อาจอยู่นอกเหนือประเด็น) สิ่งที่คุณไม่ได้รับคืออะไร จากความคิดเห็นสุดท้ายของคุณฉันว่าเราทั้งคู่เข้าใจสถานการณ์และเห็นด้วยกับความเข้าใจของกันและกัน ... ดูเพิ่มเติม "ความซับซ้อนของปัจจัยหลายตัวแปรหลายชื่อ" โดย Burgisser ซึ่งให้ข้อสรุปเดียวกับที่ฉันระบุไว้ในความคิดเห็นก่อนหน้านี้

f g

$fg$

f

$f$

f

$f$

— Joshua Grochow

ข้อสรุปที่น่าสนใจเพิ่มเติมจากการสนทนานี้: แม้ว่าการทดสอบว่าถาวรของเมทริกซ์ nonnegative เป็นศูนย์หรือไม่ง่ายการทดสอบว่าถาวรของเมทริกซ์ที่ซับซ้อนโดยพลการเป็นศูนย์เป็นเรื่องง่ายถ้าและถ้าประเมินถาวรเป็นเรื่องง่าย

— Joshua Grochow

ขออภัยฉันเข้าใจผิดความคิดเห็นแรกของคุณ ทุกอย่างปกติดี.

— Markus Bläser

5

"การใช้อัลกอริทึมของทฤษฎีบท Feferman – Vaught" ของ Makowski นั้นอาจเกี่ยวข้องกัน เขากำหนดพหุนามโดยการสรุปโครงสร้างของ MSOL ที่กำหนดได้บนกราฟและแสดงให้เห็นว่าพวกมันสามารถประเมินผลได้ง่ายเมื่อกราฟถูกล้อมรอบความกว้างของต้นไม้

สิ่งนี้ไม่ได้บอกอะไรมากมายเกี่ยวกับความแตกต่างในความซับซ้อนของการทดสอบ / การประเมินผลนอกเหนือจากการเป็น FPT การทดสอบค่าหมายถึงการถามว่ามีการตั้งค่าตัวแปรเช่นนั้นที่กำหนดสูตร MSO2 บนกราฟที่กำหนดให้ประเมินเป็นจริงหรือไม่ สิ่งนี้ดูเหมือนจะเกี่ยวข้องกับคำถามที่ว่าความซับซ้อนของการนับ SAT เกี่ยวข้องกับความซับซ้อนของ SAT อย่างไร

แก้ไข 10/29 แนวคิดที่มีประโยชน์อีกประการหนึ่งอาจดูเป็นรูปแบบคุณสมบัติของจุดที่ยากลำบาก เห็นได้ชัดว่าชื่อพหุนามกับคุณสมบัตินี้สามารถประเมินได้ง่ายในทุกจุดหรือยากที่จะประเมินเกือบทุกจุด Makowski ให้การอ้างอิงบางอย่างเกี่ยวกับสไลด์ 46-52 - http://www.cs.technion.ac.il/admlogic/TR/2009/icla09-slides.pdf

— Yaroslav Bulatov
แหล่งที่มา

3

$q(x)$ $\mathbb F_p$ $p$

$\mathbb F_2[x]$ $x^2=x$ $\mathbb F_2$ $0,1,x,x+1$ $0$ $1$

$\mathbb F_q$ $q=p^n$ $p$ $n$

— Carter Tazio Schonwald
แหล่งที่มา

1

{p e r m_{n} : n \geq 0}

$\{perm_{n} : n \geq 0\}$

p e r m_{n}

$perm_{n}$

n \times n

$n \times n$

— Joshua Grochow

1

F_{2}

$\mathbb F_2$

x^{2} = x

$x^2=x$

1

คาร์เตอร์: ฉันคิดว่ามันชัดเจนว่าฉันกำลังถามเรื่องซีมโทติค แต่ตอนนี้ฉันได้ชี้แจงแล้ว นอกจากนี้คุณยังสามารถใช้ polivar polivar ที่ num of vars ไม่ได้รับการแก้ไข ขออภัยสำหรับ downvote แต่ฉันไม่คิดว่าคุณสมควรได้รับครึ่งหนึ่งของรางวัล (+25) สำหรับการชี้ให้เห็นว่าเซต 1-var polys ที่ จำกัด สามารถประเมินได้ด้วย O (1) ops ฉันรู้ว่าคุณกำลังชี้ให้เห็นบางสิ่งบางอย่างที่ชัดเจนน้อยลง แต่นั่นไม่เกี่ยวข้องกับคำถาม: ดังที่ได้ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นของ Qแล้วโพลีไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต ดังนั้นมากกว่า F_2 จึงมีเพียง 4 1-var polys ที่ต้องพิจารณา (การใช้ x ^ 2 = x ไม่จำเป็น)

— Joshua Grochow

p e r m_{n}

$perm_n$

1

d e t_{n}

$det_{n}$

d e t_{n}

$det_{n}$

F_{p_{n}}

$\mathbb{F}_{p_{n}}$

p_{n}

$p_{n}$

3

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคำถามถูกต้องหรือไม่ แต่ให้ฉันพยายามส่องแสง

โดยทั่วไปแล้วการประเมินพหุนามในค่าบางอย่างนั้นง่ายกว่าการทดสอบตัวตนโดยเฉพาะเมื่อการแทนพหุนามนั้นผ่านวงจร (การเป็นตัวแทนรวบรัด) อย่างไรก็ตามมีอัลกอริทึมการทดสอบตัวตนแบบสุ่มจำนวนมาก ( Schwarz-Zippelซึ่งเป็นแบบตรงไปตรงมาที่สุด) ที่ใช้งานได้กับการประเมินผลเพียงอย่างเดียว

$n^{O(1)}$

$x_i \mapsto y^{2^i}$ $\sum_{i\in S} \alpha_i y^{a_i}$ $y^r - 1$ $r$ $r$ $y^a$ $y^b$ $y^r - 1$ $r$ $a - b$ $r$ $\prod_{i,j\in S} (a_i - a_j)$ $r$

มีความคืบหน้ามากขึ้นในอัลกอริทึมการทดสอบตัวตนกล่องดำ ตอนนี้ส่วนใหญ่ยืนที่วงจรความลึก 3 ที่ถูก จำกัด (ผลรวมของผลรวมของตัวแปร) (FWIW) บางส่วนของนี้ถูกกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในบทที่ 3 และ 4 ของวิทยานิพนธ์ และมีการปรับปรุงเพิ่มเติมโดยSaxena และ Seshadriเมื่อเร็ว ๆ นี้เช่นกัน

— Ramprasad
แหล่งที่มา

x

$x$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x

$x$

f (x)

$f(x)$

Ah! ฉันเห็น ... ขอบคุณสำหรับการชี้แจง; คำตอบของฉันไม่เกี่ยวข้องมากเกินไปในกรณีนั้น

— Ramprasad

1

$1-xy$ $x$ $y$ $\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$ $n$

— Colin McQuillan
แหล่งที่มา

N P

$NP$

N P / p o l y

$NP/poly$

# P

$\# P$

N P

$NP$

# P

$\# P$

# P

$\# P$

f

$f$

f

$f$

มีการคาดเดาว่าปัญหาการนับปัญหาโดยสมบูรณ์ของ NP จะนับเป็น # P-complete เสมอ แต่ฉันไม่ทราบความสัมพันธ์อื่น ๆ การเรียงลำดับของเงื่อนไขเล็ก ๆ น้อย ๆ จะเป็นปัญหาที่ลดลงได้เองและ f ถูกล้อมรอบด้วยพหุนาม

— โคลิน McQuillan