การหากราฟคู่

ตามหนังสือทฤษฎีกราฟทอพอโลยีโดยกรอสและทักเคอร์ให้เซลล์ฝังกราฟบนพื้นผิว (โดย 'พื้นผิว' ฉันหมายถึงที่นี่ทรงกลมที่มีบางจับและด้านล่างS nหมายถึงทรงกลมที่มีnแน่นอนด้ามจับ) หนึ่งสามารถกำหนดมัลติกราฟแบบคู่โดยการรักษาใบหน้าของกราฟต้นฉบับที่ฝังเป็นจุดยอดและเพิ่มขอบระหว่างจุดยอดสองจุดสำหรับทุกด้านที่ใบหน้าที่เกี่ยวข้องมีเหมือนกันในกราฟต้นฉบับ$n\geq 0$$S_n$$n$

นี่คือฉันปัญหา ได้รับกราฟผมต้องไปหาอีกกราฟG 'เช่นว่ามีอยู่พื้นผิวSและฝังโทรศัพท์มือถือของGบนSดังกล่าวว่าG 'เป็นที่สองของการฝังนี้G ฉันรู้ว่ามีกราฟที่เป็นไปได้มากมายG ′ ; ฉันต้องการค้นหากราฟกราฟGทุกตัว$G$$G'$$S$$G$$S$$G'$$G$$G'$$G$

ฉันมีหลายคำถาม กลยุทธ์ปัจจุบันของฉันคือ (1) กำหนดประเภทของG , (2) ค้นหาการฝังGบนS nและ (3) ค้นหาคู่ของการฝังนี้ ทุกขั้นตอนเหล่านั้นมีอัลกอริทึมที่รู้จัก (แม้ว่า (1) คือ NP-Hard) ฉันสงสัยว่ามีวิธีการหาG ′ที่ผ่านการคำนวณของสกุลเพราะนั่นคือคอขวดของวิธีการนี้และนั่นคือคำถามแรกของฉัน คำถามที่สองของฉันคือ: ถ้าฉันรู้ว่าGปกติแล้วนั่นจะช่วยให้การคำนวณสกุลนั้นง่ายขึ้นหรือไม่? และคำถามที่สามของฉันคือคำขอสำหรับการอ้างอิงใด ๆ ที่สามารถช่วยฉันแก้ปัญหานี้ได้$n$$G$$G$$S_n$$G'$$G$

คู่ของคุณต้องเป็นสกุลขั้นต่ำหรือไม่? เพราะมันเป็นเรื่องยากที่จะหาการฝังเซลลูลาร์สำหรับกราฟใด ๆ : เพียงแค่เลือกการเรียงลำดับแบบวงกลมสำหรับการตกกระทบของแต่ละจุดยอดโดยพลการจากนั้นกำหนดใบหน้าของการฝังเป็นลำดับขอบที่สอดคล้องกับลำดับที่เลือก

ฉันชอบ GEM (แผนที่ที่เข้ารหัสด้วยกราฟ) เป็นตัวแทนของการฝังจากหนังสือรากฐานของทฤษฎีกราฟทอพอโลยีโดย Bennington และ Little ในการเป็นตัวแทนนี้การฝังจะถูกแทนด้วยกราฟ 3 สี 3 ขอบปกติพร้อมจุดยอดเดียวสำหรับทุกธงของการฝัง (เหตุการณ์สามจุดยอดขอบและหน้า) และหนึ่งขอบสำหรับทุกสองธงที่แตกต่างกันใน หนึ่งในองค์ประกอบของชุดจุดยอด / ขอบ / ใบหน้าที่เป็นตัวแทนเท่านั้น ตัวอย่างเช่นภาพด้านล่างจากวิกิพีเดียสามารถตีความได้ว่าเป็นอัญมณีของรูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติซึ่งในวงจรสีแดงเป็นตัวแทนของใบหน้าวงกลมสีเหลืองเป็นตัวแทนของขอบและวงจรสีฟ้าเป็นตัวแทนของจุดยอด; ขอบอาจมีสีตามสีของใบหน้าของเหตุการณ์ทั้งสอง

เมื่อได้รับคำสั่งแบบวงกลมของขอบของกราฟ G แล้ว GEM ของมันสามารถหาได้โดยการทำวัฏจักรของจุดยอด 2 มิติสำหรับจุดยอดแต่ละองศา -d ของ G สองจุดสำหรับแต่ละขอบกับคู่ของจุดยอดสำหรับแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นใน วนตามลำดับวงกลมที่เลือกจากนั้นสำหรับแต่ละขอบ e ของ G เชื่อมโยงขอบคู่ GEM สองคู่สำหรับจุดปลายสองจุดของ e ลงในสี่เหลี่ยม หากคุณต้องการให้การฝังตัวเลือกวิธีการเชื่อมโยงจุดยอดทั้งสี่เหล่านี้ลงในสี่เหลี่ยมผืนผ้าควรสอดคล้องกับลำดับวงกลมมิฉะนั้นอาจเป็นการสุ่มก็ได้

จากนั้นจุดยอดขอบและใบหน้าของการฝังตัว G จะถูกแทนด้วยรอบใน GEM ที่สลับกันระหว่างสีขอบสองในสามสี คู่ของ G นั้นถูกแทนด้วย GEM ที่มีกราฟพื้นฐาน 3 ตัวที่เหมือนกัน แต่มีการสลับสีสองสี และกราฟที่แสดงโดย GEM สามารถเกิดขึ้นได้โดยการทำสัญญาจุดสุดยอดรอบทั้งหมดและรวมคู่ของขอบขนานเข้ากับขอบเดียว ดังนั้นการสร้างสองของ G (ตราบใดที่คุณไม่สนใจว่าคู่ใด) สามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้น