P มีภาษาที่ไม่มี PA หรือ ZFC หรือไม่? (วิกิชุมชน TCS)

คำตอบ: ไม่เป็นที่รู้จัก

คำถามที่ถามนั้นเป็นเรื่องธรรมชาติเปิดเผยและยาก คำถามคือวิกิชุมชน

ภาพรวม

คำถามพยายามแบ่งภาษาที่เป็นของคลาสซับซ้อน  - พร้อมกับเครื่องทัวริงตัดสินใจ (TM) ที่ยอมรับภาษาเหล่านี้ - เป็นคลาสย่อยเสริมที่สอง:$P$

• ภาษาที่มีความรู้และ TM (ซึ่งมีความเป็นไปได้ที่จะตรวจสอบ / ทำความเข้าใจ) เทียบกับ
• ภาษาที่คลุมเครือและ TM (ที่ไม่สามารถตรวจสอบ / เข้าใจได้)

คำนิยาม: ภูมิปัญญา VS คลุมเครือตัวเลขหน่วยความจำและภาษา

ภายในกรอบความจริงPAและZFCเราแยกแยะความรู้จากเครื่องทัวริงและภาษาที่เป็นความลับดังนี้:

D0   เราพูดว่าrจำนวนจริงที่คำนวณได้ นั้นมีความหมายถ้ามันเกี่ยวข้องกับชุดที่ไม่ว่างเปล่าของ TMs โดยแต่ละ TM ที่ระบุใน PA เป็นรายการที่ชัดเจนของตัวเลขซึ่งประกอบด้วยรหัสที่ถูกต้องบน Universal TM เช่นนั้นเพื่อความถูกต้องϵ > 0ที่จัดเป็น input แต่ละ TM สรรพสิ่ง (ใน ZFC) หยุดที่มีจำนวนส่งออกoว่าสรรพสิ่ง (ใน ZFC) ตอบสนองความr - ε < o < R + ε$r$$\epsilon\gt0$$o$$r-\epsilon\lt o\lt r+\epsilon$

หมายเหตุ   เป็นที่รู้จักกันว่าบาง reals คำนวณไม่ได้องค์ (สำหรับตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมเห็นคำตอบของราฟาเอล Reitzig ของคำถาม jkff ของ " มีที่ไม่สร้างสรรค์พิสูจน์ขั้นตอนวิธีการดำรงอยู่? ") เพื่อหลีกเลี่ยงการจับคู่กับตัวเลขที่คำนวณได้ แต่กระอักกระอ่วนข้อ จำกัด นั้นถูกกำหนดว่าเลขชี้กำลังรันไทม์สามารถคำนวณได้โดย TM ที่ระบุอย่างชัดเจนใน PA (เมื่อเทียบกับ TMs ที่ระบุโดยนัยใน ZFC) สำหรับการสนทนาเพิ่มเติมโปรดดูหัวข้อการพิจารณาที่ชัดเจน (ด้านล่าง)

ตอนนี้เราค้นหาคำจำกัดความที่จับปรีชาว่าคลาสซับซ้อนรวมถึงส่วนย่อยของภาษาที่คลุมเครือซึ่งไม่มีการระบุขอบเขตแบบรันไทม์ (ผู้มีความรู้ซึ่งมีความรู้) ซึ่งพิสูจน์ได้ $P$

ในการมองไปข้างหน้านิยามการสรุป ( D5 ) จะระบุแนวคิดของการตัดสินใจแบบเข้ารหัสลับแบบ TMซึ่งมีคำจำกัดความที่ถูกสร้างขึ้นมาพร้อมกับมุมมองที่มีต่อการลดลงของการคำนวณที่ซ่อนเร้นโดยหน้ากาก เหตุผลและแหล่งที่มาของคำนิยามที่สำคัญนี้จะกล่าวถึงในภายหลัง - ภายใต้หัวข้อการพิจารณาที่ชัดเจน  - และการมีส่วนร่วมของความคิดเห็นโดยทิโมธี Chow, Peter Shor, Sasho Nikolov และ Luca Trevisan ได้รับการยอมรับอย่างสุดซึ้ง

D1   จากเครื่องทัวริง M ซึ่งหยุดสายอินพุตทั้งหมด M เรียกว่าcryptic iff ข้อความต่อไปนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้และไม่สามารถหักล้างได้สำหรับจำนวนจริงที่มีความรู้อย่างน้อยหนึ่ง  :$r \ge 0$

คำชี้แจง:รันไทม์ของ M คือเกี่ยวกับความยาวอินพุต${O}(n^r)$$n$

เครื่องทัวริงที่ไม่ได้เป็นความลับที่เราพูดนั้นเป็น gnostic TMs

D2   เรากล่าวว่าเป็นเครื่องตัดสินใจทัวริง M มีประสิทธิภาพ IFF ก็มีรันไทม์องค์สัญลักษณ์  ดังกล่าวว่าภาษาที่ L ที่ M ยอมรับเป็นที่ยอมรับโดยไม่มี TM อื่น ๆ ที่มีสัญลักษณ์รันไทม์องค์มีขนาดเล็กกว่า  R$r$$r$

D3   เราพูดว่าภาษา L นั้นเป็นเรื่องลึกลับหากมันได้รับการยอมรับจาก(a)  เครื่องทัวริงอย่างน้อยหนึ่งเครื่องนั่นคือทั้งประสิทธิภาพและเป็นความลับและยิ่งกว่านั้น(b)  ไม่มี TM ที่มีทั้งประสิทธิภาพและมีเหตุผล

หากต้องการแสดงD3ด้วยวิธีอื่นภาษานั้นจะเป็นรหัสลับหาก TM นั้นยอมรับภาษานั้นได้อย่างมีประสิทธิภาพที่สุดนั้นเป็นรหัสลับ

ภาษาที่ไม่ได้เป็นความลับที่เราพูดเป็นภาษาที่มีความรู้

D4   เราพูดว่า cryptic TM นั้นมีความลับอย่างยิ่งหากภาษาที่รับนั้นเป็นความลับ

D5   เราบอกว่า TM ที่มีความลับอย่างยิ่งนั้นเป็นความลับหากมีประสิทธิภาพ

ในการแสดงD5ด้วยวิธีอื่นทุกภาษาที่เป็นความลับได้รับการยอมรับโดยชุดของการตัดสินใจ TM ที่เป็นความลับซึ่งเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการตัดสินใจของ TM ที่ยอมรับภาษานั้น

คำถามที่ถาม

การคาดเดาC0ต่อไปนี้เป็นเรื่องธรรมชาติและเปิด (เห็นได้ชัด):

C0   คลาส P ที่ซับซ้อนประกอบด้วยภาษาที่มีความลับอย่างน้อยหนึ่งภาษา

คำถามสามข้อจะถูกถามQ1 - Q3ซึ่งคำถามแรกคือ:

Q1   การคาดการณ์C0เป็นอิสระจาก PA หรือ ZFC หรือไม่

ภายใต้สมมติฐานที่ว่าC0นั้นเป็นจริง - อาจพิสูจน์ได้ใน ZFC หรือเป็นสัจพจน์อิสระที่เสริมกับ ZFC - คำถามสองข้อเพิ่มเติมเป็นเรื่องธรรมดา:

Q2   อย่างน้อยหนึ่งภาษาที่เป็นความลับในPจะถูกนำเสนออย่างเป็นรูปธรรมนั่นคือแสดงเป็นพจนานุกรมของคำที่ชัดเจนในตัวอักษรที่ จำกัด ซึ่งรวมถึงทุกคำจนถึงความยาวที่ระบุใด ๆ ? ถ้าเป็นเช่นนั้นแสดงพจนานุกรมดังกล่าว

Q3   Can ที่หนึ่งอย่างน้อย canonically คลุมเครือตัดสินใจ TM นำเสนอเป็นรูปธรรมว่าจะเป็นคำอธิบายที่เปิดใช้งานสำหรับการสร้างเครื่องทัวริงทางกายภาพที่ตัดสินใจ (ในเวลาพหุนาม) ทุกคำพูดของพจนานุกรมของไตรมาสที่ 2 ? ถ้าเป็นเช่นนั้นสร้างเครื่องดังกล่าวทัวริงและโดยการคำนวณกับมันแสดงพจนานุกรมภาษาลับของไตรมาสที่ 2

ข้อควรพิจารณาที่ชัดเจน

คำจำกัดความD0หมายถึงว่าจำนวนจริงที่รู้ได้ทุกตัวนั้นสามารถคำนวณได้ แต่เป็นที่รู้กันว่าบางจำนวนจริงที่คำนวณได้นั้นไม่ได้เป็นผู้รู้เรื่อง สำหรับตัวอย่างให้ดูคำตอบในMathOverflowโดยMichaël Cadilhacและไรอันวิลเลียมส์และTCS StackExchangeโดยราฟาเอล Reitzig โดยทั่วไปแล้วคำจำกัดความD0 – D5ถูกสร้างขึ้นเพื่อแยกการอ้างอิงไปยังเอ็กซ์โพเนนต์รันไทม์ที่ไม่ทราบสาเหตุ

ตามที่กล่าวไว้ใน TCS wiki " คำจำกัดความของP มีภาษาที่เข้าใจยากหรือไม่? " คำจำกัดความD0 – D5 ทำให้มั่นใจได้ว่าภาษาที่เป็นความลับทุกภาษาได้รับการยอมรับอย่างน้อยหนึ่ง TM ที่เป็นความลับแบบบัญญัติ (โปรดทราบว่าในคำถามปัจจุบันคำว่า "cryptic" จะแทนที่คำที่อธิบายไม่ได้ "เข้าใจยาก" ที่ใช้ในวิกิ)

ยิ่งไปกว่านั้น - ในมุมมองของD3 (a)และD3 (b)  - ไม่มีการลดลงเล็กน้อยที่คำนวณได้จาก cryptic TM ที่มีความหมายแบบ canonic ไปเป็น gnostic TM ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าเป็นภาษาเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งD3 (a)และD3 (b)ขัดขวางกลยุทธ์การลดpolylimiterที่ระบุไว้ในความคิดเห็นโดยPeter ShorและโดยSasho Nikolovและเป็นอิสระจากLuca Trevisanและขัดขวางกลยุทธ์การลดแบบpolynomiallyของTimothy Chowทั้งหมด ซึ่งในทำนองเดียวกันหน้ากากคำนวณคลุมเครือโดยซ้อนฟุ่มเฟือยคอมพิวเตอร์EPI การคำนวณ

โดยทั่วไปคำจำกัดความของ "ผู้มีความรู้" และ "ซ่อนเร้น" จะถูกปรับอย่างจงใจเพื่อให้มีความแข็งแกร่งโดยคำนึงถึงการลดลงเล็กน้อยทางคณิตศาสตร์ (และเป็นไปได้ว่า

ข้อพิจารณาด้านระเบียบวิธี

การตรวจสอบ Lance Fortnow ของ " สถานะของปัญหา P กับปัญหา NP " สำรวจวิธีการสร้างความเป็นอิสระ (หรืออื่น ๆ ) ของการคาดเดาในทฤษฎีความซับซ้อน; ที่ต้องการโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นคำแนะนำเป็นวิธีการวิธีการที่ความคิดเห็นแลนซ์อาจช่วย (หรือไม่) ที่จะตอบQ1

เป็นที่ชัดเจนว่าคำถามเพิ่มเติมอีกมากมายเป็นเรื่องธรรมชาติ ตัวอย่างเช่นการคาดคะเนของ Hartmanis-Stearnsเป็นแรงบันดาลใจให้เราถามว่า "เครื่องทัวริงแบบหลายมิติแบบเรียลไทม์มีความลับอยู่หรือไม่? การดำรงอยู่ของพวกเขา (หรือไม่) เป็นอิสระจาก PA หรือ ZFC หรือไม่"

ข้อควรพิจารณาเกี่ยวกับประเภทของ Zeilberger

ในกรณีที่Q1ตอบโดย "ใช่" แล้ว oracles ที่ตัดสินใจเป็นสมาชิกในมีอยู่นอก PA หรือ ZFC และดังนั้นองค์ประกอบที่สำคัญของทฤษฎีความซับซ้อนที่ทันสมัยคือ (ปัจจุบัน) ไม่ทราบว่าอยู่ภายในระบบที่เป็นทางการใด ๆ ของ ตรรกะ. $P$

ในแง่ทฤษฎีความซับซ้อนนี้แตกต่างจากสาขาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เช่นที่ความหวาดกลัวที่ Doron Zeilberger แสดงออกมาใน " ความคิดเห็นที่ 125: อลันทัวริงมีอายุครบ 100 ปีแล้วก็ถึงเวลาที่จะต้องพิจารณาการมีส่วนร่วมของเขา นั่นเป็นสิ่งที่ดี แต่ก็ยังมีอันตรายอีกมากมาย "เป็นเนื้อหาที่ได้รับการก่อตั้งขึ้นมาอย่างดี

ความกังวลของ Zeilberger ใช้รูปแบบที่ชัดเจนเป็นเกณฑ์Z0    (! Q1  ) && (! C0  ) ซึ่งเทียบเท่ากับเกณฑ์ต่อไปนี้:$\equiv$

Z0:   เกณฑ์ความรู้สึกอ่อนไหวของ Zeilberger   คำจำกัดความของคลาสP ที่ซับซ้อน  นั้นถูกเรียกว่าZeilberger-sensible iff ทุกภาษาในPมีความสามารถในการรู้เหตุผล

ในปัจจุบันยังไม่ทราบว่านิยามของสตีเฟ่นคุกเกี่ยวกับความซับซ้อนของคลาสP   นั้น Zeilberger หรือไม่

การพิจารณาที่สร้างแรงบันดาลใจ

คำจำกัดความของ "ผู้มีความรู้" และ "ซ่อนเร้น" ถูกสร้างขึ้นด้วยมุมมองไปสู่ ​​(ในที่สุด) การตัดสินใจการคาดเดาเช่นนี้

C1   ให้และN P ′เป็นข้อ จำกัด ที่มีความรู้ของPและN P resp จากนั้นP ′ ≠ N P ′สามารถพิสูจน์ได้หรือหักล้างใน PA หรือ ZFC$P'$$NP'$$P$$NP$$P' \ne NP'$

C2   (ตามที่ได้รับการพิสูจน์อย่างชัดเจนใน PA หรือ ZFC)$P' \ne NP'$

เห็นได้ชัดว่าC2   C1และตรงกันข้ามมันเป็นไปได้ว่าหลักฐานของ (เมตา) ทฤษฎีบทC1อาจจะให้คำแนะนำที่มีต่อการพิสูจน์ (แข็งแกร่ง) ทฤษฎีบทC2$\to$ 

แรงจูงใจโดยรวมคือความคาดหวัง / สัญชาตญาณ / ความหวังว่าสำหรับความแตกต่างที่ดีระหว่างความรู้และความลับของ TM และภาษา cryptic, หลักฐานของC1และอาจเป็นไปได้ว่าC2อาจจะส่องสว่าง - และแม้จะมีความเกี่ยวข้อง พิสูจน์ให้เห็นว่า P $P\ne NP$

Juris Hartmanis เป็นหนึ่งในนักทฤษฎีที่ซับซ้อนคนแรกที่ดำเนินการสืบสวนอย่างจริงจัง ดูเอกสารประกอบการคำนวณความเป็นไปได้ของ Hartmanis และคุณสมบัติความซับซ้อนที่พิสูจน์ได้ (1978)

ข้อพิจารณาของ Nomenclatural

จาก Oxford English Dictionary (OED) เรามี:

• ผู้รู้ (adj)  เกี่ยวกับความรู้; องค์ความรู้; ทางปัญญา   "พวกเขา [ตัวเลข] อยู่ในความสำคัญความรู้และการเก็งกำไร แต่ไม่ใช่ในลักษณะการผ่าตัด"

• cryptic (adj)  เข้าใจไม่ได้ในทันที ลึกลับลึกลับ   "แทนที่จะเป็นกฎธรรมดา ๆ ที่เป็นประโยชน์ต่อมนุษยชาติพวกเขา [นักปรัชญา] ฝ่าฝืนครัมติคและประโยคที่มืดมิด"

เห็นได้ชัดว่าไม่มีรีวิวทางคณิตศาสตร์เคยใช้คำว่า "ผู้มีความรู้" ในแง่ใดก็ตาม อย่างไรก็ตามความสนใจถูกดึงไปที่บทความล่าสุดของ Marcus Kracht“ Gnosis ” ( วารสารปรัชญาปรัชญา MR2802332) ซึ่งใช้ความรู้สึก OED

เห็นได้ชัดว่าไม่มีการทบทวนทางคณิตศาสตร์ได้ใช้คำว่า "cryptic" - ในแง่เทคนิค - ด้วยความสัมพันธ์กับทฤษฎีความซับซ้อน อย่างไรก็ตามมีการดึงความสนใจไปที่บทความของ Charles H. Bennett " ความลึกเชิงตรรกะและความซับซ้อนทางกายภาพ " (ในเครื่องทัวริงสากล: การสำรวจครึ่งศตวรรษ , 1988) ซึ่งมีเนื้อเรื่อง

ความซับซ้อนอีกประเภทหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับวัตถุคือความยากลำบากในการค้นหาสมมติฐานที่เป็นไปได้เพื่ออธิบาย วัตถุที่มีความซับซ้อนเช่นนี้อาจเรียกว่า"cryptic" : เพื่อค้นหาต้นกำเนิดที่เป็นไปได้สำหรับวัตถุนั้นก็เหมือนกับการแก้ cryptogram

การพิจารณาถึงธรรมชาติการเปิดกว้างและความยากลำบาก

ธรรมชาติของคำถามเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงวิทยานิพนธ์ของการคำนวณเอกสารที่เป็นไปได้ของ Juris Hartmanis และคุณสมบัติความซับซ้อนที่พิสูจน์ได้ (1978) ที่:

"ผลลัพธ์เกี่ยวกับความซับซ้อนของอัลกอริทึมเปลี่ยนแปลงค่อนข้างมากหากเราพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติของการคำนวณที่สามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการ"

การเปิดกว้างและความยากลำบากของคำถามเหล่านี้มีความสอดคล้องอย่างกว้างขวางกับบทสรุปของการทบทวนของแลนซ์ฟอร์ตเนา " สถานะของปัญหา P กับปัญหา NP " (2009) ว่า:

"พวกเราไม่มีใครเข้าใจปัญหาของ P กับ NP อย่างแท้จริงเราเพิ่งเริ่มลอกเลเยอร์รอบคำถามที่ซับซ้อนมากขึ้นนี้"

คำแนะนำของ Wiki

พยายามอย่างยิ่งคือการปรับ definitional และกลยุทธ์หลักฐานโดยเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับคำถามQ1-Q3และกว้างวิโรจ Hartmanis ชนิดคาดเดาC1-C2

ฉันคิดว่ามีปัญหาพื้นฐานเกี่ยวกับคำถามที่คุณถามที่นี่ (และคุณถามในคำถามที่เกี่ยวข้องกับภาษาที่เข้าใจยาก)

ดูเหมือนว่าคุณกำลังมองหาภาษาอย่างนั้น$L$

แต่ ZFC ไม่ทราบว่า L ∈ P$L\in P$$L\in P$

เพื่อให้เข้าใจถึงความยากลำบากกับคำถามของคุณผมคิดว่าคุณต้องชื่นชมว่ามีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างintensionalและextensionalคำจำกัดความของภาษาLExtensionally, Lจะถูกกำหนดโดยสิ่งที่คำพูดหรือไม่ได้เป็นสมาชิกของL นั่นคือสองภาษาLและL ′จะเท่ากันถ้าหากพวกเขามีคำเดียวกับสมาชิก ในทางตรงกันข้ามการintensionalนิยามของLอธิบายบางเงื่อนไขคำที่จะอยู่ในL เครื่องทัวริงที่รับ$L$$L$$L$$L$$L'$$L$$L$$L$หรือสูตรลำดับแรกที่ถือถ้าหากว่าx ∈ Lสามารถจะคิดว่าเป็นคำนิยามของ intensional L$\phi(x)$$x\in L$$L$

ประเด็นก็คือว่าทุกตัวที่เป็นส่วนขยายในPยอมรับคำอธิบายที่ตรงไปตรงมามากเพราะPเป็นคลาสที่ซับซ้อนที่เรียกว่า "syntactic" กล่าวคือเพียงใช้เครื่องทัวริงนาฬิกาแบบpolynomiallyซึ่งจะสิ้นสุดในเวลาที่ต้องการ ทุกระบบ "สมเหตุสมผล" สำหรับคณิตศาสตร์ทำเช่น PA หรือ ZFC, เป็นไปได้ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าL ∈ Pถ้าคุณใช้คำอธิบายนี้ตรงไปตรงมาของL$L$$P$$P$$L\in P$$L$

ดังนั้นหากคุณต้องการให้เกิดความสับสน ZFC คุณไปได้ที่จะเกิดขึ้นกับบางคน (intensional) รายละเอียดของที่ "ซับซ้อนเกินไป" สำหรับ ZFC ที่จะรับรู้ว่าเป็นเทียบเท่ากับคำอธิบายตรงไปตรงมาของL สิ่งนี้เป็นไปได้ แต่ในบางแง่มุมมันน่าสนใจเกินไป สิ่งที่คุณต้องทำคือนำสิ่งที่เรารู้ว่า ZFC ไม่เข้าใจ (เช่นความสอดคล้องของตัวเอง) และผสมกับนิยามของLอย่างใด ตัวอย่างเช่นนี่คือคำอธิบายของชุดจำนวนเต็ม:$L$$L$$L$

เป็นเลขคู่และ xไม่ได้เข้ารหัสว่า ZFC ไม่สอดคล้องกัน$x$$x$

สมมติว่า ZFC สอดคล้องกันสูตรข้างต้นจะกำหนดชุดของจำนวนเต็มคู่ แต่ ZFC ไม่ทราบ ด้วย tinkering บิตมากขึ้นเราสามารถได้รับรายละเอียดของชุดของจำนวนเต็มแม้ที่ ZFC จะไม่สามารถที่จะพิสูจน์ที่อยู่ในP$P$

ผลที่สุดคือถ้าคุณหวังว่าเหตุผลที่ยากที่จะพิสูจน์ว่าคือว่ามีภาษาในPที่ "ซับซ้อนเกินไป" สำหรับเราที่จะให้เหตุผลเกี่ยวกับแล้วฉันคิดว่าคุณเห่าผิด ต้นไม้. ทุกภาษาในPเป็นแบบPด้วยเหตุผลเล็กน้อย คุณสามารถโคลนน้ำโดยการเล่นกับคำอธิบายทึบภาษาเป็นไปไม่ได้ในPแต่มันเป็นกลอุบายทั่วไปที่ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับPโดยเฉพาะดังนั้นฉันไม่คิดว่ามันมีความเข้าใจลึกซึ้งมากนัก$P\ne NP$$P$$P$$P$$P$$P$

Q1: $\:$ไม่มี
Q2:$\:$ ใช่อย่างน้อยสอง -1s-in-binary

แทรก: $\:$ TM ทุกตัวที่มีเลขยกกำลังแบบคำนวณได้ซึ่งมีอย่างน้อย 1 นั้นยอดเยี่ยม

พิสูจน์:
Let A และ B เป็นชุดแยกกันไม่ออกซ้ำ$\:$ให้เป็นเครื่องทัวริงที่แจกแจง A$M_0$$\:$ให้เป็นเครื่องจักรทัวริงที่แจกแจง B$M_1$$\;\;$สำหรับเครื่องทัวริงใด ๆ กับการคำนวณรันไทม์สัญลักษณ์ R เมื่อถูกกำหนดให้เป็น [ถ้าM 0ยอมรับ m ในขั้นตอนที่แน่นอนดังนั้น r + (1 / t) หากM 1ยอมรับ m ในขั้นตอนที่แน่นอนดังนั้น r- (1 / t) มิฉะนั้น r] r rทุกตัวไม่ใช่m - ลบและคำนวณได้และมีหนึ่งเสมอถ้า$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$M_0$$M_1$$r_m$$\:m\in A\:$ คำสั่งของ D1 นั้นเป็นจริง] และ [ถ้า $\:m\in B\:$ ดังนั้นคำสั่งของ D1 จึงเป็นเท็จ] $\;\;$สำหรับเครื่องทัวริงใด ๆ กับการคำนวณรันไทม์สัญลักษณ์ R เมื่อถูกนิยามไว้ข้างต้นเนื่องจาก A และ B แยกออกจากกันซ้ำแล้วซ้ำอีกมีอย่างน้อยหนึ่ง m ซึ่งคำสั่งของ D1 ที่มีr mไม่สามารถพิสูจน์ได้และไม่สามารถหักล้างได้$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$r_m$$\:$ดังนั้นเครื่องทัวริงจึงยอดเยี่ยม


คำจำกัดความ:
at-less-two-1s-in-binary เป็นชุดของจำนวนเต็มแบบไม่ลบที่มีการ
แสดงเลขฐาน สองอย่างน้อยสอง 1s$\:$ (เดิมพันที่คุณไม่เคยเดาได้ ^ _ ^)

คำจำกัดความ:
M เป็นเครื่องทัวริงที่สแกนการแทนค่าไบนารี่ของ
อินพุตยอมรับหากพบว่ามีอย่างน้อย 1 วินาทีและปฏิเสธเป็นอย่างอื่น

เห็นได้ชัดว่า M ตัดสินใจอย่างน้อยสอง -1s-in-binary และมีเลขชี้กำลังแบบรันไทม์ 1 และไม่มีเครื่องทัวริงอื่น ๆ ที่มีเลขยกกำลังขนาดเล็กลงก็ตัดสินใจอย่างน้อยสองใน 1-in-binary
นิด ๆ ,$\: 1\leq 1 \:$$1$$\;\;$โดยเล็มม่าเอ็มมีประสิทธิภาพและยอดเยี่ยม
ค่าเฉลี่ยอย่างน้อยสอง -1s-in-binary นี้ยังยอดเยี่ยม

ดังนั้น TPCCC จึงเป็นทฤษฎีบทของ PA (และ ZFC) และ
อย่างน้อยสองใน 1 ของไบนารีเป็นภาษาเหนือธรรมชาติที่เป็นรูปธรรม

$x_n := 2 + \sum_{i=0}^n [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$$n$$x_n$$x_n$$x := 2 + \sum_{i=0}^\infty [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$

$x$$\bf{ZF}$

$x > 1$$M'_x$$n$$N$$s$$N$$s$$|s|^x/\log(|s|)$$x$$M_x$$M'_x$$M_x$$M_x$$\mathcal O(|s|^y)$$y\ge x$$M_x$

$x$$M_x$$\mathcal O(|s|^2)$$x = 2$$\bf{ZF}$$\bf ZF$$\bf ZF$$M_x$$\bf ZF + Con(\bf ZF)$

$\bf ZF + \not Con(\bf ZF)$$\bf P$$\bf ZF$$\mathcal O(|s|^z)$$z$$\bf ZF$

$M_x$