ความซับซ้อนในการคำนวณของการคูณเมทริกซ์

ฉันกำลังมองหาข้อมูลเกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณของการคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม วิกิพีเดียระบุว่าความซับซ้อนของการคูณโดยคือ (การคูณเรียน)$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$$B \in \mathbb{R}^{n \times p}$$O(mnp)$

ฉันมีกรณีที่และมีขนาดเล็กกว่ามากและฉันหวังว่าจะมีความซับซ้อนที่ดีกว่าเชิงเส้นในด้วยค่าใช้จ่ายในการพึ่งพาและแย่กว่าเชิงเส้น$m$$n$$p$$p$$m$$n$

ความคิดใด ๆ

ขอบคุณ

หมายเหตุ: เหตุผลที่ฉันหวังว่าจะเป็นไปได้นั้นเป็นเพราะผลที่ทราบกันดีของการพึ่งพาลูกบาศก์น้อยกว่าในถ้า (เมื่อเมทริกซ์เป็นกำลังสองทั้งหมด)$p$$m=n=p$

งานคลาสสิคของ Coppersmith แสดงให้เห็นว่าสำหรับหนึ่งสามารถคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ นี่เป็นส่วนผสมสำคัญของผลลัพธ์ล่าสุดของ Ryan Williams$\alpha > 0$$n \times n^\alpha$$n^\alpha \times n$$\tilde{O}(n^2)$

เมื่อเร็ว ๆ นี้François le Gall ได้ปรับปรุงงานของ Coppersmith และเอกสารของเขาเพิ่งได้รับการยอมรับใน FOCS 2012 เพื่อที่จะเข้าใจงานนี้คุณจะต้องมีความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิต กระดาษของเวอร์จิเนียวิลเลียมส์มีพอยน์เตอร์ที่เกี่ยวข้อง โดยเฉพาะงานของ Coppersmith ถูกอธิบายไว้อย่างสมบูรณ์ในAlgebraic Complexity Theoryซึ่งเป็นหนังสือ

สาระที่แตกต่างกันของการมุ่งเน้นการทำงานเกี่ยวกับการคูณเมทริกซ์โดยประมาณ คุณสามารถตรวจสอบงานนี้โดย Magen และ Zouzias นี้จะเป็นประโยชน์สำหรับการจัดการฝึกอบรมขนาดใหญ่จริงๆพูดคูณเมทริกซ์และเมทริกซ์ที่n$n \times N$$N \times n$$N \gg n$

วิธีการพื้นฐานคือการสุ่มตัวอย่างเมทริกซ์ (ซึ่งสอดคล้องกับการลดขนาดแบบสุ่ม) และคูณเมทริกซ์ตัวอย่างที่มีขนาดเล็กกว่ามาก เคล็ดลับคือการหาว่าเมื่อใดและในแง่ใดที่ทำให้เกิดการประมาณที่ดี ในทางตรงกันข้ามกับสาระการทำงานก่อนหน้าซึ่งไม่สามารถทำได้อย่างสมบูรณ์อัลกอริธึมการสุ่มตัวอย่างนั้นเป็นจริงและจำเป็นสำหรับการจัดการข้อมูลจำนวนมาก