คำถามติดแท็ก matrix-product

มันมีการคาดเดากันอย่างกว้างขวางว่าเลขชี้กำลังที่ดีที่สุดสำหรับการคูณเมทริกซ์นั้นจริง ๆ แล้วเท่ากับ 2 คำถามของฉันง่าย:ωω\omega เหตุผลอะไรบ้างที่เรามีความเชื่อว่า ?ω=2ω=2\omega = 2 ฉันรู้ขั้นตอนวิธีการอย่างรวดเร็วเช่นทองแดง-Winograd แต่ผมไม่ทราบว่าทำไมเหล่านี้อาจได้รับการพิจารณาหลักฐาน2ω=2ω=2\omega = 2 ฉันดูไร้เดียงสาเหมือนตัวอย่างคลาสสิกที่ชุมชนหวังว่าผลลัพธ์นั้นแท้จริงสำหรับเหตุผลด้านสุนทรียภาพ ฉันชอบที่จะรู้ว่าเป็นกรณีที่นี่

59 ds.algorithms  linear-algebra  matrix-product 

เป็นที่เชื่อกันโดยทั่วไปว่าทุกϵ > 0ϵ>0\epsilon > 0มันเป็นไปได้ที่จะคูณสองn × nn×nn \times nเมทริกซ์ในO ( n2 + ϵ)O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon})เวลา การอภิปรายเป็นที่นี่ ฉันได้ถามบางคนที่คุ้นเคยกับการวิจัยมากขึ้นว่าพวกเขาคิดว่ามีk > 0k>0k>0เป็นอิสระจากnnnเช่นนั้นมีอัลกอริทึมO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)สำหรับการคูณเมทริกซ์และพวกเขาดูเหมือนจะมีสัญชาตญาณว่า คำตอบคือ "ไม่" แต่ไม่สามารถอธิบายได้ว่าทำไม นั่นคือพวกเขาเชื่อว่าเราสามารถทำได้ในเวลาO(n2.001)O(n2.001)O(n^{2.001})แต่ไม่ใช่O(n2log100n)O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n)เวลา มีเหตุผลอะไรที่จะเชื่อว่าไม่มีO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)ขั้นตอนวิธีการที่คงที่k>0k>0k>0 ?

39 cc.complexity-theory  linear-algebra  big-picture  matrices  matrix-product 

ดูเหมือนจะไม่เป็นที่รู้จัก - แต่มีขอบเขตที่น่าสนใจด้านล่างเกี่ยวกับความซับซ้อนของการคูณเมทริกซ์ในแบบจำลองการคำนวณควอนตัมหรือไม่? เรามีสัญชาตญาณที่เราสามารถเอาชนะความซับซ้อนของอัลกอริทึม Coppersmith-Winograd โดยใช้คอมพิวเตอร์ควอนตัมได้หรือไม่?

30 reference-request  quantum-computing  matrix-product 

ในปี 1979 Freivaldsแสดงให้เห็นว่าการตรวจสอบผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ที่สนามใด ๆ ที่สามารถทำได้ในการสุ่มเวลา เพิ่มเติมอย่างเป็นทางการให้สามเมทริกซ์ A, B และ C กับรายการจากสนาม F, ปัญหาของการตรวจสอบว่า AB = C มีอัลกอริทึมเวลาO ( n 2 )แบบสุ่มO(n2)O(n2)O(n^2)O(n2)O(n2)O(n^2) สิ่งนี้น่าสนใจเพราะอัลกอริทึมที่รู้จักกันเร็วที่สุดสำหรับเมทริกซ์การคูณนั้นช้ากว่านี้ดังนั้นการตรวจสอบว่า AB = C นั้นเร็วกว่าการคำนวณหรือไม่ ฉันต้องการที่จะรู้ว่าอะไรคือโครงสร้างพีชคณิตทั่วไปที่สุดที่การตรวจสอบผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ยังคงมีอัลกอริทึมเวลา (สุ่ม) เนื่องจากอัลกอริทึมดั้งเดิมทำงานได้กับทุกฟิลด์ฉันจึงเดาได้ว่ามันทำงานได้ดีบนโดเมนรวมทั้งหมดO(n2)O(n2)O(n^2) คำตอบที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถหาได้สำหรับคำถามนี้คือSubcubic Equivalences ระหว่าง Path, Matrix และ Triangle Problemsโดยที่พวกเขาพูดว่า "การตรวจสอบผลิตภัณฑ์เมทริกซ์บนวงแหวนสามารถทำได้ในเวลาสุ่ม [BK95]" ([BK95]: M. Blum และ S. Kannan การออกแบบโปรแกรมที่ตรวจสอบงานของพวกเขา J. ACM, 42 (1): …

18 ds.algorithms  linear-algebra  matrix-product 

ในขั้นตอนวิธีการ Strassen, การคำนวณผลิตภัณฑ์สองเมทริกซ์และB , เมทริกซ์และBจะแบ่งออกเป็น2 × 2การฝึกอบรมป้องกันและขั้นตอนวิธีการดำเนินการซ้ำคอมพิวเตอร์7บล็อกผลิตภัณฑ์แมทริกซ์แมทริกซ์เมื่อเทียบกับไร้เดียงสา8 matrix- บล็อก ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์คือถ้าเราต้องการC = A Bโดยที่ A = [ A 1 , 1 A 1 , 2 A 2 , 1 A 2 , 2AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}2 × 22×22 \times 2777888C = A Bค=AB\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B} จากนั้นเรามี C 1 , 1 = A 1 , 1 …

17 ds.algorithms  linear-algebra  matrices  matrix-product 

สมมติว่าเราได้รับชุดตัวแปร n แบบบูล x_1, ... , x_n และชุดของฟังก์ชัน m y_1 ... y_m โดยที่แต่ละ y_i คือ XOR ของชุดย่อยของตัวแปรเหล่านี้ เป้าหมายคือการคำนวณจำนวนการดำเนินการ XOR ขั้นต่ำที่คุณต้องดำเนินการเพื่อคำนวณฟังก์ชัน y_1 ทั้งหมดเหล่านี้ ... y_m โปรดทราบว่าผลลัพธ์ของการดำเนินการ XOR พูดได้ว่า x_1 XOR x_2 อาจนำมาใช้ในการคำนวณหลาย y_j แต่ถูกนับเป็นหนึ่ง นอกจากนี้โปรดทราบว่าอาจเป็นประโยชน์ในการคำนวณ XOR ของคอลเลกชันขนาดใหญ่ของ x_i (ใหญ่กว่าฟังก์ชัน y_i ใด ๆ เช่นการคำนวณ XOR ของ x_i ทั้งหมด) เพื่อคำนวณ y_i ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น สมมติว่าเรามีเมทริกซ์ไบนารี …

15 circuit-complexity  approximation-hardness  approximation  matrix-product 

ฉันกำลังมองหาข้อมูลเกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณของการคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม วิกิพีเดียระบุว่าความซับซ้อนของการคูณโดยคือ (การคูณเรียน)A ∈ Rm × nA∈Rม.×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}B ∈ Rn × pB∈Rn×พีB \in \mathbb{R}^{n \times p}O ( m n p )O(ม.nพี)O(mnp) ฉันมีกรณีที่และมีขนาดเล็กกว่ามากและฉันหวังว่าจะมีความซับซ้อนที่ดีกว่าเชิงเส้นในด้วยค่าใช้จ่ายในการพึ่งพาและแย่กว่าเชิงเส้นม.ม.mnnnพีพีpพีพีpม.ม.mnnn ความคิดใด ๆ ขอบคุณ หมายเหตุ: เหตุผลที่ฉันหวังว่าจะเป็นไปได้นั้นเป็นเพราะผลที่ทราบกันดีของการพึ่งพาลูกบาศก์น้อยกว่าในถ้า (เมื่อเมทริกซ์เป็นกำลังสองทั้งหมด)พีพีpm = n = pม.=n=พีm=n=p

14 cc.complexity-theory  time-complexity  linear-algebra  matrix-product 

ในขั้นตอนวิธีเชิงตรรกะเชิงทฤษฎีของกลุ่มกระดาษสำหรับการคูณเมทริกซ์ , Cohn, Kleinberg, Szegedy และ Umans นำเสนอแนวคิดของปริศนาที่ไม่ซ้ำกันที่แก้ไขได้ (กำหนดไว้ด้านล่าง) และความสามารถของ USP พวกเขาอ้างว่าทองแดงและ Winograd ในกระดาษแหวกแนวของตัวเองคูณเมทริกซ์ผ่านการก้าวหน้าเลขคณิต "โดยปริยาย" พิสูจน์ให้เห็นว่ากำลังการผลิต USP เป็น3/22/33/22/33/2^{2/3} 3 การอ้างสิทธิ์นี้ถูกกล่าวซ้ำในที่อื่น ๆ (รวมถึงที่นี่ในโรงเก็บเงิน) แต่ไม่มีคำอธิบายที่จะพบได้ ด้านล่างนี้เป็นความเข้าใจของฉันเองเกี่ยวกับสิ่งที่ Coppersmith และ Winograd พิสูจน์และทำไมยังไม่เพียงพอ มันเป็นความจริงที่ความจุ USP เป็น3/22/33/22/33/2^{2/3} ? ถ้าเป็นเช่นนั้นมีการอ้างอิงสำหรับการพิสูจน์หรือไม่? ปริศนาที่ไม่ซ้ำกันแก้ไขได้ ปริศนาที่ไม่ซ้ำกันที่แก้ไขได้ (USP) ของความยาวnnnและความกว้างkkkประกอบด้วยส่วนย่อยของ{1,2,3}k{1,2,3}k\{1,2,3\}^kของขนาดnnnซึ่งเราคิดว่าเป็น "คอลเลกชัน" nnn " สามชิ้น (ตรงกับสถานที่ที่ เวกเตอร์คือ111 , สถานที่ที่พวกเขาเป็น222 , และสถานที่ที่พวกเขาเป็น333 ), พอใจทรัพย์สินต่อไปนี้ สมมติว่าเราจัดเรียง111ชิ้นทั้งหมดในnnnเส้น …

13 ds.algorithms  co.combinatorics  algebraic-complexity  matrix-product 

ฉันกำลังค้นหาเกี่ยวกับการคูณเมทริกซ์ดังนั้นก่อนอื่นฉันไปอัลกอริทึมการคูณวิกิเมทริกซ์ในการอ้างอิงฉันพบกระดาษที่อ้างว่าใช้อัลกอริทึมO ( n2l o g( n ) )O(n2log(n))O(n^2 log(n))ฉันจะอ่านบทความ แต่มันซับซ้อนและ จะใช้เวลานานเกินไปในการอ่าน แต่ถ้ามีใครที่อ่านบทความนี้หรือรู้เกี่ยวกับอัลกอริทึมนี้จะเป็นจริงหรือไม่? และคุณรู้เกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานของสิ่งนี้เพื่ออธิบายมันเล็กน้อย ขอบคุณล่วงหน้าฉันรู้ว่ามันเป็นคำถามทั่วไปเล็กน้อย แต่ถ้าฉันพบว่ามันเป็นวิธีการที่ดีฉันจะเรียนรู้รายละเอียด

13 ds.algorithms  linear-algebra  matrix-product 

ดังนั้นฉันมีเมทริกซ์บูลีนสแควร์ที่กระจัดกระจายประมาณ 100-200 ตัวที่มีความยาวด้านข้าง ~ หลายสิบตัวและฉันต้องคำนวณผลิตภัณฑ์ของพวกเขา ฉันรู้ว่าถ้าฉันคูณพวกเขาแบบอนุกรมผลิตภัณฑ์มักจะอยู่ห่าง ๆ ในแต่ละขั้นตอน มีอัลกอริธึมผลิตภัณฑ์โซ่เมทริกซ์ที่ทำงานเร็วเป็นพิเศษในกรณีนี้หรือไม่? ในระดับที่สูงขึ้นปัญหาคือการคำนวณองค์ประกอบของการแมปแบบหนึ่งต่อหลายแบบบนกราฟขนาดเล็กที่สมเหตุสมผล (ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านของ NFA) ซึ่งองค์ประกอบส่วนใหญ่ทำแผนที่ไม่เกิน 0-3 (โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่ปัญหา "เมทริกซ์เชนผลิตภัณฑ์" ตามปกติเนื่องจากเมทริกซ์ทั้งหมดมีขนาดเท่ากันและฉันไม่ต้องเลือกวงเล็บที่ดีที่สุด)

13 ds.algorithms  automata-theory  matrix-product  sparse-matrix 

อะไรคืออัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับการคูณเมทริกซ์บูลีนที่กระจัดกระจายมากสองตัว (เช่น N = 200 และมีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ 100-200) ที่จริงแล้วฉันมีข้อได้เปรียบที่เมื่อฉันคูณ A ด้วย B, B ของถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าและฉันสามารถทำการประมวลผลที่ซับซ้อนโดยพลการบนพวกเขา ฉันก็รู้ว่าผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์นั้นกระจัดกระจายเหมือนเมทริกซ์ดั้งเดิมเสมอ อัลกอริทึม "ค่อนข้างไร้เดียงสา" (สแกน A เป็นแถวสำหรับแต่ละ 1 บิตของ A-row หรือผลลัพธ์ที่มีแถว B ตรงกัน) จะมีประสิทธิภาพมากและต้องใช้คำสั่ง CPU เพียงสองสามพันคำสั่งในการคำนวณผลิตภัณฑ์เดียว ดังนั้นมันจะไม่ง่ายเกินกว่าและเป็นเพียงปัจจัยที่คงที่เท่านั้น (เพราะมีหลายร้อยบิตในผลลัพธ์) แต่ฉันไม่สูญเสียความหวังและขอความช่วยเหลือจากชุมชน :)

12 ds.algorithms  matrix-product  sparse-matrix  boolean-matrix  implementation 

ฉันพยายามที่จะเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างความซับซ้อนของอัลกอริทึมและความซับซ้อนของวงจรของตัวกำหนดและการคูณเมทริกซ์ เป็นที่รู้จักกันว่าปัจจัยของนั้นเมทริกซ์สามารถคำนวณใน~ O ( M ( n ) )เวลาที่M ( n )เป็นเวลาขั้นต่ำที่จำเป็นในการคูณสองn × nเมทริกซ์ เป็นที่ทราบกันว่าความซับซ้อนของวงจรที่ดีที่สุดของดีเทอร์มิแนนต์คือพหุนามที่ระดับความลึกO ( log 2 ( n ) )และเลขชี้กำลังn × nn×nn\times nO~( M( n ) )O~(M(n))\tilde{O}(M(n))M( n )M(n)M(n)n × nn×nn\times nO ( บันทึก2( n ) )O(เข้าสู่ระบบ2⁡(n))O(\log^{2}(n)) ที่ความลึก 3 แต่ความซับซ้อนของวงจรของการคูณเมทริกซ์สำหรับความลึกคงที่ใด ๆ เป็นเพียงพหุนาม เหตุใดจึงมีความแตกต่างในความซับซ้อนของวงจรสำหรับตัวกำหนดและการคูณเมทริกซ์ในขณะที่เป็นที่ทราบกันว่าจากการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์มุมมองของอัลกอริทึมนั้นคล้ายกับการคูณเมทริกซ์ โดยเฉพาะทำไมซับซ้อนวงจรมีช่องว่างที่ชี้แจง depth- ?333 อาจอธิบายได้ง่าย แต่ฉันไม่เห็นมัน …

11 algebraic-complexity  arithmetic-circuits  matrix-product  determinant