ลดขอบเขตของวงจรและความซับซ้อนของ kolmogorov

พิจารณาเหตุผลต่อไปนี้:

ให้แสดงถึงความซับซ้อน Kolmogorovของสตริงx ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของ Chaitinกล่าวว่า$K(x)$$x$

สำหรับการใด ๆ ที่สอดคล้องกันและแข็งแรงพออย่างเป็นทางการระบบมีอยู่อย่างต่อเนื่อง (ขึ้นอยู่เฉพาะในระบบอย่างเป็นทางการและภาษา) เช่นว่าสายใด ๆ , ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าTT x S K ( x ) ≥ $S$$T$$x$$S$$K(x) \geq T$

ให้จะเป็นฟังก์ชั่นบูลีนในตัวแปรเซนต์ซับซ้อน Kolmogorov ของสเปกตรัมของมันคือที่มากที่สุดk Let S ( ฉn )เป็นความซับซ้อนของวงจรฉnคือขนาดของวงจรน้อยที่สุดการคำนวณฉ n$f_n$$n$$k$$S(f_n)$$f_n$$f_n$

A (คร่าวๆ) ขอบเขตบนสำหรับคือ S ( f n ) ≤ c ⋅ B B ( k ) ⋅ n สำหรับค่าคงที่cและB B ( k )เป็นฟังก์ชันบีเวอร์ไม่ว่าง (ขั้นตอนที่เป็นไปได้สูงสุด a เครื่องทัวริงหยุดทำงานพร้อมคำอธิบายขนาดkสามารถทำงานได้) (สำหรับทุก ๆ1ในสเปกตรัมสร้าง minterm ของการมอบหมายความจริงที่สอดคล้องกันและใช้หรือของ minterms เหล่านี้ทั้งหมดเข้าด้วยกัน)$S(f_n)$

สมมติว่าตอนนี้สำหรับฟังก์ชันบูลีนที่ไม่มีที่สิ้นสุด เรามีการพิสูจน์อย่างเป็นทางการว่า Lต้องใช้วงจรขนาด superlinear เช่น$L = \{f_n\}_{n}$$L$

ที่กรัม( n ) ∈ โอห์ม( 1 )

ถ้าเราเอาไปใหญ่พอเราจะมี g ( n ) > c ⋅ B B ( T $n$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี่จะเป็นการพิสูจน์ว่า Kolmogorov ความซับซ้อนของสเปกตรัมของนั้นเป็นอย่างน้อยTซึ่งเป็นไปไม่ได้$f_n$$T$

สิ่งนี้นำไปสู่คำถามสองข้อ:

1) ควรมีสิ่งผิดปกติในการให้เหตุผลข้างต้น ส่วนใหญ่เป็นเพราะมันจะทำให้วงจรยอดเยี่ยมลดขอบเขตอย่างเป็นทางการไม่สามารถพิสูจน์ได้

2) คุณรู้วิธีการที่คล้ายกันเพื่อแสดงอุปสรรคสำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่านั่นคือแสดงให้เห็นว่า (วงจร) บางประเภทขอบเขตที่ต่ำกว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการ?

$N$$f_n$$T$$N$$N>g^{-1}(c \cdot BB(T))$$BB$

$A(k)$$K(A(k)) \geq k$$k$$K(A(k)) \geq k$

$BB(T)$

$\alpha(k)$$k$$\alpha(k)$$K(0^{\alpha(k)+1}) > k$