ชุดเครื่องแบบ AC0 พร้อมเพรดิเคตบางตัว

คำถามของฉันเกี่ยวกับทฤษฎีตัวแบบ จำกัด / ความซับซ้อนเชิงพรรณนาดังนั้น $FO(R)$ จะหมายถึง "ลำดับแรกเหนือคำไบนารีที่ จำกัด โดยใช้ predicates Rs และ unary predicate P จริงในตำแหน่งของ 1 ในคำว่า"

ฉันอยากรู้ว่ามี caracterisation หรือไม่ $FO(<,R)$ กับ R ใด ๆ เพรดิเคต $\mathbb N^r$สำหรับ r บาง ยกตัวอย่างเช่น$FO(<,+)$, หรือ $FO(<,P_2)$ ที่ไหน $P_2$ เป็นพลังของ 2 โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันดูเหมือนว่าฉันควรจะเท่ากับ $AC^0$ ด้วยสภาพความเป็นบางอย่าง แต่ฉันไม่พบผลลัพธ์ใด ๆ ที่ระบุสิ่งนี้

นี่คือสิ่งที่ฉันรู้อยู่แล้วสำหรับมูลค่าบางส่วนของ $R$.

เป็นที่รู้จักกันดีว่า $FO(<,bit)$ตรรกะของคำสั่งแรกในคำที่มีคำสั่งและคำกริยาบิตเท่ากับ $AC^0$-$FO(<,bit)$เหมือนกัน จากนี้หมายความว่าพวกเขาทั้งสองรู้จักภาษาเดียวกันทั้งหมด ดูตัวอย่าง "ความซับซ้อนเชิงพรรณนา" ของ Immerman หน้า 82 (นอกจากนี้ยังเท่ากับ caracterisation อื่น ๆ อีกมากมายเช่น$AC^0$- เครื่องแบบเวลาและเครื่องเข้าถึงแบบสุ่มขนานเวลาคงที่ แต่ไม่ใช่สิ่งที่ฉันกำลังค้นหาที่นี่)

ถ้าเราสามารถใช้เพรดิเคตตัวเลขโดยพลการในลอจิกลำดับแรกเราก็มี $AC^0$ (ไม่เหมือนกัน) ถ้า $C$ เป็นคลาสของฟังก์ชั่นที่มีฟังก์ชั่นคำนวณเวลาในการบันทึก $FO(<,C)$ เท่ากับ $AC^0-C$-uniform (สำหรับทั้งสองผลลัพธ์ดู Barrington, "การขยายความคิดของ Mc-Naughton ", 1993)

ในที่สุด $FO(<)$ เป็นคลาสของภาษาที่ไม่มีดาว (ภาษาที่สามารถกำหนดได้โดยการแสดงออกปกติโดยไม่ใช้ดาว Kleene) แต่สิ่งนี้ไม่ได้ให้ข้อมูลในแง่ของความซับซ้อนของวงจร

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่คุณกำลังมองหา แต่สิ่งต่อไปนี้อาจเป็นที่น่าสนใจสำหรับคุณ:

1. ความคิดที่ว่าการ จำกัด ภาคแสดงตัวเลขในสูตร FO สอดคล้องกับเงื่อนไขความเท่าเทียมกันนั้นมีการตรวจสอบอย่างชัดเจนตัวอย่างเช่นในบทความ "FO (<) - ความสม่ำเสมอ"โดย Behle และ Lange
2. แบบสำรวจ"ทางคณิตศาสตร์ตรรกะอันดับหนึ่งและการนับจำนวน" โดย Schweikardt ให้ภาพรวมของผลลัพธ์ที่ทราบเกี่ยวกับพลังงานที่แสดงออกของภาคแสดงทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน