ความสามารถในการแก้ปริศนาที่ไม่ซ้ำกัน (USP)

ในขั้นตอนวิธีเชิงตรรกะเชิงทฤษฎีของกลุ่มกระดาษสำหรับการคูณเมทริกซ์ , Cohn, Kleinberg, Szegedy และ Umans นำเสนอแนวคิดของปริศนาที่ไม่ซ้ำกันที่แก้ไขได้ (กำหนดไว้ด้านล่าง) และความสามารถของ USP พวกเขาอ้างว่าทองแดงและ Winograd ในกระดาษแหวกแนวของตัวเองคูณเมทริกซ์ผ่านการก้าวหน้าเลขคณิต "โดยปริยาย" พิสูจน์ให้เห็นว่ากำลังการผลิต USP เป็น$3/2^{2/3}$ 3 การอ้างสิทธิ์นี้ถูกกล่าวซ้ำในที่อื่น ๆ (รวมถึงที่นี่ในโรงเก็บเงิน) แต่ไม่มีคำอธิบายที่จะพบได้ ด้านล่างนี้เป็นความเข้าใจของฉันเองเกี่ยวกับสิ่งที่ Coppersmith และ Winograd พิสูจน์และทำไมยังไม่เพียงพอ

มันเป็นความจริงที่ความจุ USP เป็น$3/2^{2/3}$ ? ถ้าเป็นเช่นนั้นมีการอ้างอิงสำหรับการพิสูจน์หรือไม่?

ปริศนาที่ไม่ซ้ำกันแก้ไขได้

ปริศนาที่ไม่ซ้ำกันที่แก้ไขได้ (USP) ของความยาว$n$และความกว้าง$k$ประกอบด้วยส่วนย่อยของ$\{1,2,3\}^k$ของขนาด$n$ซึ่งเราคิดว่าเป็น "คอลเลกชัน" $n$ " สามชิ้น (ตรงกับสถานที่ที่ เวกเตอร์คือ$1$ , สถานที่ที่พวกเขาเป็น$2$ , และสถานที่ที่พวกเขาเป็น$3$ ), พอใจทรัพย์สินต่อไปนี้ สมมติว่าเราจัดเรียง$1$ชิ้นทั้งหมดใน$n$เส้น จากนั้นจะต้องมีวิธีที่ไม่ซ้ำกันในการวางชิ้นส่วนอื่นซึ่งเป็นหนึ่งในแต่ละประเภทในแต่ละบรรทัดเพื่อให้พวกเขา "พอดี"

$N(k)$$k$

$$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$$ $c \in \{1,2,3\}$ $$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$$ $\kappa \leq 3/2^{2/3}$

ตัวอย่าง (USP ที่มีความยาวและความกว้าง ): ไม่ใช่ตัวอย่างของความยาวและความกว้างโดยที่ - และ - ชิ้นส่วนสามารถจัดเรียงได้สองวิธี: start $4$$4$

$$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$$ $3$$3$$2$$3$ $$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$$

ปริศนา Coppersmith-Winograd

ปริศนา Coppersmith-Winograd (CWP) ของความยาวและความกว้างประกอบด้วยชุดย่อยของของขนาดที่ "ชิ้นส่วน" มีเอกลักษณ์ - สำหรับและ , (พวกเขานำเสนอมันค่อนข้างแตกต่างกัน)$n$$k$$S$$\{1,2,3\}^k$$n$$a \neq b \in S$$c \in \{1,2,3\}$

$$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$$

ทุก USP เป็น CWP (ที่เราแสดงความคิดเห็นข้างต้น) ด้วยเหตุนี้ความจุ CWPน่าพอใจ\ ข้างต้นเราเห็นว่า{2/3} ทองแดงและ Winograd แสดงให้เห็นว่าการใช้อาร์กิวเมนต์ที่มีความซับซ้อนที่{2/3} การโต้เถียงของพวกเขาง่ายขึ้นโดย Strassen (ดูทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิต ) เราร่างหลักฐานง่าย ๆ ด้านล่าง$\lambda$$\lambda \geq \kappa$$\lambda \leq 3/2^{2/3}$$\lambda = 3/2^{2/3}$

กำหนด , ให้ประกอบด้วยเวกเตอร์ทั้งหมดที่มีแต่ละ s, s, s สำหรับให้ประกอบด้วยทุกคู่เช่นนั้นและใส่E_3 ชุดอิสระทุกชุดในกราฟคือ CWP เป็นที่ทราบกันดีว่ากราฟทุกอันมีขนาดที่เป็นอิสระ(หลักฐาน: เลือกแต่ละจุดสุดยอดด้วยความน่าจะเป็นและลบจุดสุดยอดหนึ่งจุดออกจากขอบที่รอดตายแต่ละอัน) ในกรณีของเรา $k$$V$$k/3$$1$$2$$3$$c \in \{1,2,3\}$$E_c$$a,b \in V$$\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$$E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$$G = (V,E)$$|V|^2/4|E|$$|V|/2|E|$

$$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$$ ดังนั้น $$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$$

เช่นเดียวกับคำถามอื่น ๆ อีกมากมายคำตอบของคำถามนี้สามารถพบได้ในวิทยานิพนธ์ของ Stothers USP ท้องถิ่น CWP ซึ่งวิธีเดียวที่ 1 ชิ้น 2 ชิ้นและ 3 ชิ้นสามารถใส่ร่วมกันคือถ้าสหภาพของพวกเขาอยู่ในSเห็นได้ชัดว่า USP ในพื้นที่คือ USP และการก่อสร้างจาก [CKSU] แสดงให้เห็นว่าความสามารถของ USP นั้นสามารถทำได้โดย USP ในพื้นที่ (เราจะแสดงให้เห็นอย่างสร้างสรรค์)$S$

ทองแดงและ Winograd สร้างเกือบ 2 ฉลาดอิสระกระจายบนที่มีสองคุณสมบัติดังต่อไปนี้ (1) , (2) สำหรับเช่นนั้นชิ้นส่วนหนึ่งของ , ชิ้นที่ 2 ของและ 3 ชิ้นของรวมกันเป็นเวกเตอร์ : ifแล้วS$S$$2^V$$\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$$x,y,z \in V$$x$$y$$z$$w \in V$$x,y,z \in S$$w \in S$

เราเลือกชุดย่อยสุ่มของตามการจัดจำหน่ายและสำหรับแต่ละขอบเราจะลบทั้งจุด y จำนวนที่คาดหวังของจุดที่เหลือคือประมาณepsilon} ชุดผลลัพธ์เป็น USP ในพื้นที่: หากมีซึ่ง 1 ชิ้นส่วนของ , 2 ชิ้นส่วนของและ 3 ชิ้นของพอดีสร้างชิ้นแล้วและอื่น ๆ ทั้งหมดของถูกลบออกจากS$S$$V$$(x,y) \in E$$x,y$$(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$$T$$x,y,z \in T$$x$$y$$z$$w$$x,y,z,w \in S$$x,y,z$$S$