สามารถเพิ่มในความลึกน้อยกว่า 5 ได้หรือไม่?

การใช้อัลกอริธึมมองล่วงหน้าเราสามารถคำนวณการเพิ่มโดยใช้ความลึกขนาดพหุนาม 5 (หรือ 4?)วงจรตระกูล เป็นไปได้หรือไม่ที่จะลดความลึก เราสามารถคำนวณการบวกเลขฐานสองสองตัวโดยใช้ตระกูลวงจรขนาดพหุนามที่มีความลึกน้อยกว่าที่ได้จากการหาอัลกอริธึมล่วงหน้าได้ไหม? $AC^0$

มีขอบเขตพหุนามต่ำสุดสำหรับขนาดของวงจรตระกูลการคำนวณเพิ่มเติมที่เป็น 2 หรือ 3 หรือไม่? $AC^0_d$ $d$

ตามความลึกฉันหมายถึงความลึกของการสลับ

— ไม่ระบุชื่อ
แหล่งที่มา

คุณสามารถบอกชื่อของคุณกับเราได้ไหม คุณเป็นใคร? สำหรับเดือนที่ผ่านมาผู้คนกำลังสร้างชื่อผู้ใช้ใหม่ที่นี่ถามคำถามแล้วลบชื่อผู้ใช้นั้น!

— Tayfun จ่าย

@Geekster โดยทั่วไปผู้คนไม่จำเป็นต้องสร้างบัญชีหรือใช้ชื่อจริงของพวกเขา (อย่างไรก็ตามควรสนับสนุนด้วยเหตุผลต่างๆ) หากคุณมีข้อกังวลทั่วไปเกี่ยวกับบางสิ่งบางอย่างโปรดใช้ทฤษฎีวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทฤษฎีเพื่อยกระดับ

— Kaveh

สิ่งนี้อาจถูกบังคับโดยการยืนยันว่าไม่มีความลึก - ACวงจรสามารถคำนวณผลรวมบิตของอินพุต -bit สองบิตสำหรับบางส่วนคงที่ ; มีเพียงฟังก์ชันบูลีนที่มีขอบเขตจำนวนมากเท่านั้นของบิตอินพุตที่สามารถปรากฏในแต่ละความลึก

4

$4$

^{0}

$^{0}$

(m + 1)

$(m+1)$

m

$m$

m

$m$

— mjqxxxx

@mjqxxxx: คุณจะบังคับใช้ข้อ จำกัด ขนาดพหุนามในวงจร AC0 เมื่อ brute-forcing สำหรับ m แบบคงที่ได้อย่างไร @ OP: ความลึกของวงจรที่ดีที่สุดในปัจจุบัน 4 หรือความลึก 5 เป็นอย่างไร

— Robin Kothari

@mjqxxxx: ทุกฟังก์ชั่นบูลีนสามารถคำนวณได้โดยวงจรความลึกตอนนี้สมมติว่าคุณพบว่าสำหรับการแก้ไขของคุณวงจรขนาดsคุณจะตัดสินได้อย่างไรว่ามีขนาดวงจรสำหรับทุก ๆโดยที่หรือว่ามีเพียงวงจรขนาด , โดยที่ ? ไม่มีวิธีใดที่จะอนุมานข้อมูลเชิงสัญลักษณ์จากตัวอย่างอัน จำกัด

2

$2$

m

$m$

s

$s$

c n

$cn$

n

$n$

c = s / m

$c=s/m$

2^{ϵ n}

$2^{\epsilon n}$

ϵ = (\log s) / m

$\epsilon=(\log s)/m$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

คำตอบ:

ตามทฤษฎีบท 3.1 ใน Alexis Maciel และ Denis Therien Threshold Circuits ของ Small Majority-Depthมีวงจรความลึก 3 สำหรับการคำนวณการบวกเลขสองตัว

ขอบเขตที่แม่นยำคือโดยที่เป็นปัญหาที่มีความลึก -2วงจรที่มีทั้ง gate ที่ด้านบน และวงจรคือวงจรความลึกหนึ่ง (ดูกระดาษสำหรับคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับสัญกรณ์) $\Delta_2 \cdot \mathsf{NC}^0_1$ $\Delta_2 = \Sigma_2 \cap \Pi_2$ $\mathsf{AC}^0$ $\vee,\wedge$ $\mathsf{NC}^0_1$ $\mathsf{NC}^0$

แนวคิดหลักในการพิสูจน์คือ:

ก่อนอื่นแสดงวงจร Carry-Lookahead เป็น $\mathsf{NC}^0\cdot\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
ถัดไปเรียกใช้คุณสมบัติการปิดของเพื่อเขียนสิ่งนี้เป็น $\Delta_2$ $\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
ในที่สุดใช้ข้อเท็จจริง (พิสูจน์แล้วในกระดาษ) ว่า $\mathsf{NC}^0 \subset \Delta_1\cdot\mathsf{NC}^0_1$

— samid
แหล่งที่มา

วงจรความลึก 2 จำเป็นต้องใช้ขนาดเอ็กซ์โพเนนเชียลในการคำนวณการเพิ่มเนื่องจากวงจรความลึก 2 ต้องเป็น DNF หรือ CNF และง่ายต่อการตรวจสอบว่ามีหลาย minterms และ maxterms แทน

คำเตือน : ส่วนหนึ่งดังต่อไปนี้คือรถ ดูความคิดเห็นภายใต้คำตอบ

วิธีที่ผมนับว่านอกจากนี้สามารถทำได้ในเชิงลึก 3. สมมติและเป็นบิตของทั้งสองหมายเลขที่เเป็นดัชนีของ LSB และของ MSB $a_i$ $b_i$ $i$ $0$ $n$

ขอให้เราคำนวณบิตของทุน, th ด้วยวิธีมาตรฐานที่มีรูปลักษณ์ที่นำติดตัวไปข้างหน้า: $i$ $s_i$

s_{i} = a_{i} \oplus b_{i} \oplus c_{i}

$s_i = a_i \oplus b_i \oplus c_i$

โดยที่คือ XOR และคือค่านำไปคำนวณ: $\oplus$ $c_i$

c_{i} = \underset{j ∣ j < i}{⋁} (g_{j} \land p_{j})

$c_i = \bigvee_{j\mid j < i} (g_j \wedge p_j)$

และหมายถึงตำแหน่ง th "สร้าง" การพกพา: $g_j$ $j$

g_{j} = (a_{j} \land b_{j})

$g_j = (a_j \wedge b_j)$

และหมายถึงการกระทำได้รับการเผยแพร่จากถึง : $p_j$ $j$ $i$

p_{j} = \underset{k ∣ j < k < i}{⋀} (a_{j} \lor b_{j})

$p_j = \bigwedge_{k\mid j < k < i} (a_j \vee b_j)$

นับลึกเป็นความลึก 2 และคือความลึก 3 ในขณะที่ก็จะดูเหมือนว่าคือความลึก 4 หรือ 5 จริงๆมันยังเป็นความลึกเพียง 3 เนื่องจากเป็นคำนวณ fanin ขอบเขตของความลึก 3 วงจรดังนั้นหนึ่ง อาจลดระดับบนลงสองระดับโดยใช้สูตร de-Morgan ขณะที่เป่าขนาดวงจรตามจำนวนพหุนาม $p_j$ $c_i$ $s_i$

— โนม
แหล่งที่มา

s_{i}

$s_i$

(c_{i} \land \neg (a_{i} \oplus b_{i})) \lor (\neg c_{i} \land (a_{i} \oplus b_{i}))

$(c_i\land\neg(a_i\oplus b_i))\lor(\neg c_i\land(a_i\oplus b_i))$

⋁

$\bigvee$

⋀

$\bigwedge$ ด้านบน. ฉันไม่เห็นวิธีที่จะแยกความแตกต่างด้านบนลงโดยไม่เพิ่มความลึกทีละหนึ่งเพื่ออธิบายความไม่ตรงกันระหว่างประเภทการเชื่อมต่อในสองส่วน วิธีนี้สามารถแก้ไขได้โดยการสังเกตว่า

สามารถคำนวณได้ในวิธีที่ต่างกันโดยวงจรความลึก 3 ...

c_{i}

$c_i$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

... โดยมี

อยู่ด้านบน ในอีกทางหนึ่งวงจรความลึก 3 ทั้งหมดได้ล้อมรอบพัดลมด้านล่างดังนั้นฉันจะเรียกมันว่าความลึก 2 1/2

⋀

$\bigwedge$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

เห็นได้ชัดว่า สิ่งที่ผมชี้ให้เห็นก็คือว่าตามที่เขียนไว้คุณจะไม่ได้มีที่นี่หรือสองลึก

วงจรด้วยและด้านบน คุณมีหรือสองลึก

วงจรซึ่งหนึ่งในนั้นมีและด้านบนและอื่น ๆ ที่มีหรือด้านบน ฉันสงสัยว่าวงจรดังกล่าวสามารถแปลงเป็นความลึก

โดยทั่วไป คิดเกี่ยวกับพหุนามแฟนในและ AND และ ORs เป็นปริมาณ คุณสามารถแสดง

d

$d$

d

$d$

d

$d$

เป็นสูตร prenex พร้อมบล็อก

quantifier บล็อก แต่คุณต้องการ

บล็อกเพื่อแสดง ...

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ψ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\psi(x_1,\dots,x_d))$

d

$d$

d + 1

$d+1$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

... สูตร

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\exists x_{1} \forall x_{2} \dots \bar{Q} x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\exists x_1\forall x_2\dots \overline Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_n(x_1,\dots,x_n)$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

d

$d$

x_{0} \oplus f_{n}

$x_0\oplus f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

C_{n} (x_{0}, \dots, x_{n})

$C_n(x_0,\dots,x_n)$

C_{n}

$C_n$

x_{0} = 1

$x_0=1$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

\neg f_{n}

$\neg f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

f_{n}

$f_n$