อัลกอริทึมโลภที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหา NP-hard

ความโลภเนื่องจากการขาดคำพูดที่ดีกว่าเป็นสิ่งที่ดี หนึ่งในกระบวนทัศน์อัลกอริทึมแรกที่สอนในขั้นตอนวิธีการเบื้องต้นหลักสูตรเป็นวิธีโลภ วิธีโลภส่งผลให้เกิดอัลกอริธึมที่ง่ายและเข้าใจง่ายสำหรับปัญหาหลายอย่างในพีน่าสนใจยิ่งขึ้นสำหรับปัญหา NP บางตัวโลภที่เห็นได้ชัดและเป็นธรรมชาติ / อัลกอริธึมโลภท้องถิ่นส่งผลให้ ตัวอย่างคลาสสิกเป็นชุดปัญหาปก อัลกอริทึมโลภธรรมชาติให้ปัจจัยการประมาณ O (ln n) ซึ่งเหมาะสมที่สุดยกเว้น P = NP

ตั้งชื่ออัลกอริทึมโลภ / ท้องถิ่นตามธรรมชาติสำหรับปัญหา NP-hard ที่เหมาะสมที่สุดภายใต้สมมติฐานเชิงทฤษฎีที่ซับซ้อนที่เหมาะสม

วิธีการคาดการณ์ตามเงื่อนไข (สำหรับการลดขั้นตอนวิธี "การมอบหมายแบบสุ่ม" สำหรับ Max-Cut และ Max-SAT) สามารถดูได้ว่าเป็นกลยุทธ์โลภ: สำหรับคุณเลือกค่าของตัวแปรx iเช่น จำนวนข้อ จำกัด ที่คาดว่าจะพึงพอใจในอินสแตนซ์ที่ลดลงส่งผลให้เกินจำนวนข้อ จำกัด ที่คาดว่าจะพึงพอใจในอินสแตนซ์ปัจจุบัน (ในความเป็นจริงธึมสำหรับ1 / 2 -approximating Max-Cut คือเดียวกันเป็น "วิธีการของความคาดหวังที่มีเงื่อนไข" อัลกอริทึมสำหรับ1 / 2 -approximating Max-Cut.)$i=1,\ldots,n$$x_i$$1/2$$1/2$

$7/8$$P=NP$

Vertex Cover: อัลกอริธึมการประมาณค่าคงที่ที่ดีที่สุดเกี่ยวข้องกับ (อย่างตะกละตะกลาม) ในการค้นหาการจับคู่สูงสุดและเลือกจุดยอดที่เกี่ยวข้องทั้งหมดในฐานะโซลูชันโดยประมาณ นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาที่มี 2 ค่าโดยประมาณและไม่สามารถทำการประมาณค่าคงที่ที่ดีกว่านี้ได้เว้นแต่ว่าการคาดเดาเกมที่ไม่ซ้ำนั้นเป็นเท็จ

Subhash Khot และ Oded Regev, ฝาครอบจุดยอดอาจยากที่จะประมาณได้ภายใน 2 − ε , JCSS 74 (3), 2008

ปิดหัวข้อ: ฉันคิดว่านี่เป็นอัลกอริทึมการประมาณที่น่ารักจริง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากเป็นเรื่องไม่สำคัญกับประโยชน์ของการเข้าใจถึงปัญหาหลังเหตุการณ์

ให้กราฟกำกับค้นหากราฟย่อยที่มีจำนวนขอบสูงสุด

อัลกอริธึมการประมาณ 2 เล็กน้อย: เลือกการจัดเรียงจุดยอดโดยพลการและนำขอบด้านหน้าหรือขอบด้านหลัง

การเอาชนะการประมาณ 2 ครั้งเป็นที่รู้จักกันว่าเป็นเกมที่ไม่เหมือนใคร (แม้ว่ามันอาจจะไม่เป็นปัญหาก็ตาม)

• การเอาชนะการสั่งซื้อแบบสุ่มนั้นยาก: ความสามารถในการประมาณของสูงสุดกลุ่มย่อย Venkatesan Guruswami, Rajsekar Manokaran และ Prasad Raghavendra

Submodular maximization ที่เกี่ยวกับข้อ จำกัด ด้าน cardinality นั้นมีความโลภประมาณ 1-1 / e อัลกอริทึมเกิดจาก Nemhauser, Wolsey, Fisher ความแข็งของ NP ตามมาจากความแข็ง np ของชุดฝาครอบเนื่องจากความครอบคลุมสูงสุดเป็นกรณีพิเศษของการขยายสูงสุดของ submodular

โลภให้ค่าประมาณ (1-1 / e) กับ Max-k-cover และสิ่งนี้ไม่สามารถปรับปรุงได้เว้นแต่ P = NP

การหาระดับต่ำสุด MST มันยากมากเมื่อค้นหาเส้นทาง hamiltonian เป็นกรณีพิเศษ อัลกอริทึมการค้นหาในท้องถิ่นให้ภายในค่าคงที่เพิ่มเติม 1

การอ้างอิง

การประมาณต้นไม้ Steiner ขั้นต่ำให้อยู่ในระดับที่เหมาะสม

$k$$G = (V,E)$$d_{ij} \geq 0$$i,j \in V$$k$

$k$$S \subseteq V, |S| = k$$k$$k$$k$$r$$r$

$i \in V$$S$$|S| < k$$j \in V$$d(j,S)$$S$$|S| = k$

$2$$k$$\rho$$\rho < 2$$P = NP$$k$$k$$2$

$P|prec|C_{max}$

ความแข็งแบบมีเงื่อนไขของกำหนดการนำหน้าแบบ จำกัด บนเครื่องเหมือนกันโดย Ola Svensson

บางทีนี่อาจเป็นที่สนใจของคุณ (ดัดแปลงมาจากวิธีการเพื่อแปลข้อ จำกัด ระดับโลกเป็นข้อ จำกัด ในท้องถิ่น )

เนื่องจากวิธีโลภ (วิธีการในท้องถิ่นที่ถูกต้องมากขึ้น) ใช้ข้อมูลในท้องถิ่นเพื่อให้เกิดการเพิ่มประสิทธิภาพทั่วโลกหากพบวิธีที่สามารถเปลี่ยนสภาพของโลกให้เป็นเงื่อนไขที่สามารถนำไปใช้ในการหาข้อมูลท้องถิ่นได้ ใช้โลภ / เทคนิคท้องถิ่นเท่านั้น

อ้างอิง:

1. คิดว่าทั่วโลกเหมาะสมกับท้องถิ่น: การเรียนรู้ที่ไม่ได้รับการดูแลของ Manifold ที่มีมิติต่ำ (วารสารการวิจัยการเรียนรู้ของเครื่องจักร 4 (2003)
2. การปรับให้เหมาะสมทั่วโลกโดยใช้ข้อมูลท้องถิ่นพร้อมกับแอพพลิเคชั่นควบคุมการไหล Bartal
3. ทำไมต้องไล่ระดับสีธรรมชาติ?, Amari S. , Douglas SC
4. การเพิ่มประสิทธิภาพในท้องถิ่นของวัตถุประสงค์ระดับโลก: การแก้ปัญหาการหยุดชะงักแบบกระจายที่มีการแข่งขันและการจัดสรรทรัพยากร Awerbuch, Baruch, Azar, Y
5. เรียนรู้ด้วยความสอดคล้องระดับท้องถิ่นและระดับโลก
6. ปัญหาความพึงพอใจของข้อ จำกัด แก้ไขได้โดยวิธีความสอดคล้องท้องถิ่น

มีการอ้างอิงสองสามข้อที่จัดการกับปัญหาของการแปลฟังก์ชั่นการประเมินทั่วโลก (หรือข้อ จำกัด ) ไปยังคนในท้องถิ่น (โดยใช้ข้อมูลท้องถิ่น) และความสอดคล้องของพวกเขา

1. ฟังก์ชั่นการประเมินท้องถิ่นและฟังก์ชั่นการประเมินทั่วโลกสำหรับวิวัฒนาการการคำนวณฮันจิงปี 2003
2. การเกิดขึ้นจากฟังก์ชั่นการประเมินท้องถิ่นฮันจิงและไกชิงเชงเฉิงปี 2002

บทคัดย่อ (จาก 1. ด้านบน)

บทความนี้นำเสนอรูปลักษณ์ใหม่เกี่ยวกับวิวัฒนาการของการคำนวณจากแง่มุมของท้องถิ่นและกลมกลืนของฟังก์ชันการประเมินผลเพื่อแก้ปัญหา combinatorial แบบคลาสสิก: ปัญหาสี (ปัญหาการตัดสินใจ) และปัญหาการระบายสีขั้นต่ำ (ปัญหาการปรับให้เหมาะสม) อันดับแรกเราจะทบทวนอัลกอริทึมปัจจุบันและจำลองปัญหาการระบายสีในฐานะระบบมัลติเอเจนต์ จากนั้นเราจะแสดงให้เห็นว่าความแตกต่างที่สำคัญระหว่างอัลกอริธึมดั้งเดิม (การค้นหาในท้องถิ่นเช่นการจำลองการอบอ่อน) และอัลกอริทึมแบบกระจาย (เช่นแบบจำลอง Alife & AER) ตั้งอยู่ในฟังก์ชันการประเมินผล: จำลองการหลอมใช้ข้อมูลทั่วโลกเพื่อประเมินสถานะระบบทั้งหมด วิธีการประเมินผลส่วนกลาง (GEF) โมเดล Alife & AER ใช้ข้อมูลท้องถิ่นเพื่อประเมินสถานะของเอเจนต์เดียว ซึ่งเรียกว่าเมธอด Local Evaluation Function (LEF) เราเปรียบเทียบสมรรถนะของวิธี LEF และ GEF สำหรับการแก้ปัญหา k-colouring และปัญหาการระบายสีขั้นต่ำ ผลการทดลองทางคอมพิวเตอร์แสดงให้เห็นว่า LEF เปรียบได้กับวิธี GEF (การจำลองการอบอ่อนและโลภ) ในหลาย ๆ กรณีที่เกิดปัญหา LEF จะใช้วิธีการ GEF ในขณะเดียวกันเราวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่าง GEF และ LEF: ความสอดคล้องและความไม่สอดคล้องกัน ทฤษฎีความสอดคล้องแสดงให้เห็นว่า Nash Equilibria ของ LEF นั้นเหมือนกับ optima ท้องถิ่นของ GEF เมื่อ LEF สอดคล้องกับ GEF ทฤษฎีนี้บางส่วนอธิบายว่าทำไม LEF สามารถนำระบบไปสู่เป้าหมายระดับโลกได้ มีการเสนอกฎบางข้อสำหรับการสร้าง LEF ที่สอดคล้องกัน นอกจากความมั่นคงแล้ว

เฉพาะกระดาษที่อยู่วิธีการที่จะกำหนดว่าฟังก์ชั่นท้องถิ่น (LEF) สอดคล้องกับฟังก์ชั่นทั่วโลก (GEF) และวิธีการสร้าง LEF ที่สอดคล้องกันจาก GEFs ที่กำหนด ( ทฤษฎีความสอดคล้อง )

ข้อความที่ตัดตอนมาจากส่วนสรุป (จาก 1. ด้านบน)

บทความนี้เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของการศึกษาของ LEF & GEF นอกเหนือจากรายงานการวิจัยข้างต้นยังมีงานในอนาคตอีกมาก: การทดลองเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการ LEF; การศึกษาเชิงวิเคราะห์เกี่ยวกับ LEF ความเพียงพอของข้อมูลท้องถิ่นสำหรับ LEF; และการมีอยู่ของ GEF ที่สอดคล้องกันสำหรับ LEF ใด ๆ แนวคิดความมั่นคงเพียงพอหรือไม่ เนื่องจากอัลกอริทึมทางพันธุกรรมยังมีฟังก์ชั่นการประเมินผล (ฟังก์ชั่นการออกกำลังกาย) เราสามารถใช้ LEF & GEF กับอัลกอริทึมทางพันธุกรรมได้หรือไม่ …เราตั้งใจที่จะศึกษาและพยายามตอบคำถามเหล่านี้ทั้งหมด