ภูมิทัศน์ของระบบพิสูจน์การโต้ตอบ

คำถามแรกของฉันคือว่าการจำแนกลักษณะของระบบการพิสูจน์แบบโต้ตอบเป็นที่รู้จักกันสำหรับคลาสที่ซับซ้อนคลาสสิกทั้งหมดหรือไม่ ฉันจะเรียก P, NP, PSPACE, EXP, NEXP, EXPSPACE, ฟังก์ชั่นแบบเรียกซ้ำและนับจำนวนคลาสสิก โดยเฉพาะการจำแนกลักษณะของระบบการพิสูจน์แบบโต้ตอบสำหรับฟังก์ชั่นแบบเรียกซ้ำและการนับซ้ำ?

ฉันรู้แค่ว่า IP = PSPACE และ MIP = NEXPTIME โดย `รู้ 'หมายถึงฉันเข้าใจคำจำกัดความของวัตถุทั้งสองด้านของความเสมอภาคและอาจเข้าใจความเท่าเทียมกัน

คำถามที่สองของฉันคือไม่ว่าจะมีการสรุปกราฟิกของระบบพิสูจน์การโต้ตอบชนิดต่าง ๆ และคลาสความซับซ้อนที่พวกเขามีลักษณะ

โดยเฉพาะฉันต้องการอ้างอิงถึงตัวเลขที่คล้ายกับภาพของตัวละครที่อธิบายลักษณะความซับซ้อนของอิมเมอร์แมน

cc.complexity-theory big-picture interactive-proofs

— วีเจย์ดี
แหล่งที่มา

คุณรู้อะไรอยู่แล้ว?

— Tsuyoshi Ito

มีพารามิเตอร์ตัวแปรมากกว่า 1 รายการในระบบพิสูจน์แบบโต้ตอบ: อะไรคือพลังของผู้ตรวจสอบ, พลังของผู้ตรวจสอบ, การสื่อสารประเภทใด (และจำนวน) ที่พวกเขาได้รับอนุญาต, พวกเขามีการสุ่มแบบแบ่งใช้ล่วงหน้าหรือไม่ ต้องอ่านข้อความทั้งหมดจากผู้สุภาษิตหรือเขาเข้าถึงข้อความแบบสุ่ม ฯลฯ

— Robin Kothari

หลังจากคิดอีกเล็กน้อยฉันไม่คิดว่าฉันสามารถตอบคำถามของคุณได้อย่างเพียงพอเพราะระบบพิสูจน์แบบโต้ตอบเป็นหัวข้อที่กว้างขวางในทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ คุณอาจต้องการตรวจสอบบทที่ 9 ของความซับซ้อนในการคำนวณ: มุมมองแนวคิดโดย Goldreich หรือบทที่ 8 และ 11 ของความซับซ้อนของการคำนวณ: แนวทางที่ทันสมัยโดย Arora และ Barak

— Tsuyoshi Ito

@VijayD: ใช่นั่นเป็นส่วนหนึ่งของปัญหา ในการอธิบายลักษณะความซับซ้อนนั้นมีตัวแปรหนึ่งตัว (ตรรกะ) ดังนั้นเมื่อคุณเพิ่มขึ้นจาก FO เป็น SO คุณไปจาก AC0 ถึง PH และอื่น ๆ ในระบบพิสูจน์เชิงโต้ตอบมีตัวแปรมากมายที่ไม่ชัดเจนว่าดี ภูมิทัศน์สามารถวาด

— Robin Kothari

ฉันไม่แน่ใจว่าคำถามนี้มีการระบุไว้เพียงพอแล้ว มีคำตอบเล็ก ๆ น้อย ๆ : ทุก ๆ คลาสสามารถ "โดดเด่น" ในฐานะ "การพิสูจน์แบบโต้ตอบ" โดยที่ผู้มีส่วนร่วมไม่ได้ทำอะไรมากนักและผู้ตรวจสอบก็มีพลังเพียงพอ สิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับ IP = PSPACE และ MIP = NEXP (และ PCP [O (\ log n), O (1)] = NP) ผลลัพธ์คือตัวตรวจสอบอ่อนแออย่างน่าประหลาดใจ

— Sasho Nikolov

คำตอบ:

คุณสามารถค้นหาลักษณะเฉพาะหลายคน (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการยืนยันพื้นที่ล้อมรอบ) ในการสำรวจที่มีชื่อเสียงของ Condon: ความซับซ้อนของพื้นที่ล้อมรอบระบบหลักฐานการโต้ตอบ

นี่คือรายการของพวกเขาบางส่วน:

$\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}IP(2pfa)}$
$\mathsf{R} = \mathsf{2IP(pfa)}$
$\mathsf{NEXP} = \mathsf{2IP(pfa,poly\mbox{-}time)}$
$\mathsf{PSPACE} = \mathsf{IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)}$
) $\mathsf{NP} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,log\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$
,และอื่น ๆ $\mathsf{P} = \mathsf{AM(log\mbox{-}space)}$ $\mathsf{EXP} = \mathsf{AM(poly\mbox{-}space)}$

ผลการค้นหาล่าสุด (ส่วนใหญ่เป็นควอนตัม):

โดยYakaryilmazโดยที่ 2qcfa (ตัวตรวจสอบ) เป็นระบบออโตเมติก จำกัด แบบสองทางที่มีการลงทะเบียนควอนตัมขนาดคงที่ $\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}AM(2qcfa)}$
โดยYakaryilmazโดยที่ 2pca (ตัวตรวจสอบเดิม) เป็นแบบสองทางที่มีความน่าจะเป็นแบบออโตเมติก จำกัด โดยมีหนึ่งตัวนับและ 2qca (ตัวตรวจสอบหลัง) คือสอง ควอนตัม จำกัด ทางอัตโนมัติด้วยหนึ่งเคาน์เตอร์ $\mathsf{R} = \mathsf{IP(2pca)} = \mathsf{AM(2qca)}$
Ito, Kobayashi และ Watrousได้สร้างตัวละครใหม่ของโดยใช้ระบบการพิสูจน์เชิงควอนตัมแบบควอนตัมพร้อมช่องว่างเล็ก ๆ สองเท่าในการยอมรับความน่าจะเป็นระหว่างความสมบูรณ์และความสมบูรณ์ $\mathsf{EXP}$
$\mathsf{PSPACE} = \mathsf{QIP(poly\mbox{-}time)}$ โดยJain, Ji, Upadhyay และ Watrousโดยที่ QIP เป็นลักษณะทั่วไปของควอนตัมของระบบ IP
$\mathsf{NP}$ เป็นคลาสของภาษาที่สมาชิกมีการพิสูจน์ควอนตัมขนาดลอการิทึมด้วยความสมบูรณ์และความสมบูรณ์แบบที่สมบูรณ์แบบซึ่งใกล้เคียงกับพหุนามถึง 1 ในบริบทที่ผู้ตรวจสอบได้รับการพิสูจน์ด้วยสองส่วนที่ไม่ได้พันกัน ( Blier และ Tapp )
$\mathsf{NL} = \mathsf{weak\mbox{-}oneway\mbox{-}IP(2pfa,constant\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$

— Abuzer Yakaryilmaz
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! นี่คือสิ่งที่ฉันต้องการ ฉันสูญเสียวิธีการปรับปรุงคำถามซึ่งคลุมเครือเกินไปสำหรับผู้เชี่ยวชาญและฉันดีใจที่คุณเข้าใจเจตนาของฉัน

— วีเจย์ D

ถ้าอย่างนั้นทำไมคุณไม่ทำเครื่องหมายว่ามันเป็นคำตอบที่ดีที่สุดล่ะ?

— พูด

เพราะใครจะรู้ว่าพรุ่งนี้จะมีอะไรนำมา? ฉันต้องการหนึ่งสัปดาห์หรือ 10 วันหลังจากโพสต์เพื่อตัดสินใจ

— วีเจย์ D

NP เป็นลักษณะของระบบพิสูจน์ที่ผู้พิสูจน์ส่งหลักฐานพหุนามความยาวไปยังเครื่องพิสูจน์พหุนามเวลาที่กำหนดและหลังจากนั้นไม่มีการโต้ตอบ คลาสของภาษาที่นับจำนวนซ้ำสามารถกำหนดลักษณะคล้ายกันได้โดยแทนที่ "พหุนาม" ด้วย "จำกัด "

นอกจากนี้เนื่องจากคลาสของ recursive languages R คือจุดตัดของ RE และ coRE คุณสามารถกำหนดลักษณะ R เป็นระบบพิสูจน์ซึ่งผู้ตรวจสอบที่ยิ่งใหญ่สามารถโน้มน้าวผู้ตรวจสอบเวลาที่แน่นอนทั้งในความถูกต้องของการอ้างสิทธิ์ที่ถูกต้องและในความไม่ถูกต้อง การเรียกร้องเท็จ

EXP คลาสมีลักษณะในแง่ของระบบพิสูจน์ด้วย "ผู้แข่งขันที่แข่งขันกัน" - นั่นคือระบบพิสูจน์ที่มีสุภาษิตที่พยายามโน้มน้าวให้ผู้ตรวจสอบยืนยันว่าการเรียกร้องนั้นเป็นจริงและผู้กลั่นกรองที่พยายามโน้มน้าวผู้ตรวจสอบนั้น การเรียกร้องเป็นเท็จ ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในหนังสือพิมพ์ "Making game short" ของ Feige และ Kilian

— หรือเมียร์
แหล่งที่มา