การหาลักษณะของสูตรที่อ่านได้ครั้งเดียวบนฐานไบนารีแบบเต็ม

พื้นหลัง

สูตรแบบอ่านครั้งเดียวในชุดของเกต (เรียกอีกอย่างว่าพื้นฐาน) เป็นสูตรที่แต่ละตัวแปรอินพุตปรากฏหนึ่งครั้ง สูตรที่อ่านครั้งเดียวมักจะศึกษาตามพื้นฐานของเดมอร์แกน (ซึ่งมีประตู 2 บิตและและหรือและประตู 1 บิตไม่) และฐานไบนารีเต็ม (ซึ่งมีประตู 2 บิตทั้งหมด)

ตัวอย่างเช่น AND ของ 2 บิตสามารถเขียนเป็นสูตรอ่านครั้งเดียวบนพื้นฐานทั้งสอง แต่ความเท่าเทียมกันของ 2 บิตไม่สามารถเขียนเป็นสูตรอ่านครั้งเดียวบนพื้นฐาน De Morgan

ชุดของฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สามารถเขียนเป็นสูตรอ่านได้ครั้งเดียวบนพื้นฐานของเดมอร์แกนมีการจำแนกลักษณะแบบ combinatorial ดูตัวอย่างการกำหนดลักษณะแบบ Combinatorial ของสูตรอ่านครั้งเดียวโดย M. Karchmer, N. Linial, I. Newman, M. Saks, A. Wigderson

คำถาม

มีการกำหนดลักษณะทางเลือกของชุดฟังก์ชั่นที่สามารถคำนวณได้โดยสูตรอ่านครั้งเดียวบนฐานไบนารีเต็มหรือไม่?

คำถามที่ง่ายขึ้น (เพิ่มใน v2)

ในขณะที่ฉันยังคงสนใจที่จะตอบคำถามต้นฉบับ แต่ฉันยังไม่ได้รับคำตอบใด ๆ ฉันคิดว่าฉันจะถามคำถามง่ายขึ้น: เทคนิคขอบเขตล่างใดบ้างที่ใช้งานได้กับสูตรต่างๆ (นอกเหนือจากรายการที่ฉันระบุด้านล่าง)

โปรดทราบว่าตอนนี้ฉันกำลังพยายามลดขนาดสูตรให้น้อยลง (= จำนวนใบ) สำหรับสูตรอ่านครั้งเดียวเรามีสูตรขนาด = จำนวนอินพุต ดังนั้นหากคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชั่นต้องการสูตรที่มีขนาดใหญ่กว่า n อย่างเคร่งครัดนั่นก็หมายความว่ามันไม่สามารถแสดงเป็นสูตรอ่านได้ครั้งเดียว

ฉันรู้ถึงเทคนิคต่าง ๆ ต่อไปนี้ (รวมถึงการอ้างอิงสำหรับแต่ละเทคนิคจากBoolean Function Complexity: ความก้าวหน้าและขอบเขตโดย Stasys Jukna ):

• $n^{2-o(1)}$ขอบล่างของขนาดสำหรับฟังก์ชั่นบางอย่าง นี่ไม่ได้ช่วยให้คุณค้นพบขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับฟังก์ชันเฉพาะที่คุณอาจสนใจ
• $\Omega(n^2/\log n)$

นอกจากนี้ยังมีวิธีที่เรียกว่าขอบเขตล่าง Krapchenko "ซึ่งอาจมีขนาดใหญ่กว่าวิธี Nechiporuks" ดู John E Savage รุ่นของการคำนวณส่วน 9.4.2 (ซึ่งได้รับการคุ้มครองหลังจากวิธี Nechiporuk ในหัวข้อ 9.4.1)