ปัญหา ODD EVEN DELTA

ปล่อย $G = ( V, E )$ เป็นกราฟ ปล่อย $k \leq |V|$ เป็นจำนวนเต็ม ปล่อย $O_k$ เป็นจำนวนกราฟย่อยที่เกิดจากขอบของ $G$ มี $k$ จุดยอดและจำนวนขอบคี่ ปล่อย $E_k$ เป็นจำนวนกราฟย่อยที่เกิดจากขอบของ $G$ มี $k$ จุดยอดและขอบจำนวนคู่ ปล่อย $\Delta_k = O_k - E_k$ . ปัญหา ODD EVEN DELTA ประกอบด้วยในการคำนวณ $\Delta_k$ ได้รับ $G$ และ $k$ .

คำถาม

เป็นไปได้ไหมที่จะคำนวณ $\Delta_k$ ในเวลาพหุนาม อัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดในการคำนวณมันคืออะไร?

เกิดอะไรขึ้นถ้า $G$ เป็น 3 ปกติหรือไม่

เกิดอะไรขึ้นถ้า $G$ สองฝ่ายปกติคืออะไร

เกิดอะไรขึ้นถ้า $G$ ระนาบสองฝ่ายแบบปกติ 3 ตัวคืออะไร?

— Giorgio Camerani
แหล่งที่มา

แรงจูงใจของคุณคืออะไร?

— Tyson Williams

@TysonWilliams: แรงบันดาลใจของฉันคือถ้าส่วนที่ 1 ของคำถามที่ 1 มีคำตอบที่ยืนยัน (แม้จะเป็นกรณีภาพถ่ายแนวระนาบ 2 ฝ่ายปกติ) จากนั้นก็จะมีผลที่น่าสนใจที่สมควรได้รับการสำรวจเพิ่มเติม หากอัลกอริทึมเป็นเลขชี้กำลังย่อยมันจะยังคงมีผลที่ตามมา (น่าสนใจน้อยกว่า แต่ก็สมควรได้รับการสำรวจมากกว่า)

— Giorgio Camerani

คุณจะเจาะจงมากขึ้นได้ไหม? คุณหมายถึงอะไรโดย "ผลที่น่าสนใจ" คุณพบปัญหานี้ตั้งแต่แรกอย่างไร

— Tyson Williams

@TysonWilliams: เราสามารถสนทนาต่อไปแบบส่วนตัวได้ไหมทางอีเมล

— Giorgio Camerani

ปัญหา ODD EVEN DELTA คือ # P-hard แม้ในกราฟระนาบ bipartite 3 รูปแบบปกติ

ปล่อย $\mathcal{C}$ เป็นชุดจุดยอดครอบคลุมของกราฟทั่วไป $G$ . จากนั้นสมมติว่า $G$ ไม่มีจุดยอดแยกสมการต่อไปนี้ถือ (อ้างอิงจากบทความข้างต้นเพื่อพิสูจน์):

| C | = 2^{| V |} - \sum_{k = 2}^{| V |} Δ_{k} \cdot 2^{| V | - k}

$|\mathcal{C}| = 2^{|V|} - \sum_{k = 2}^{|V|} \Delta_k \cdot 2^{|V|-k}$

การนับจุดสุดยอดครอบคลุม # P-complete แม้ในกราฟระนาบสองฝ่ายปกติ 3 และมันสามารถทำได้กับจำนวนสายตรงไปยัง oracle ODD EVEN DELTA

— Giorgio Camerani
แหล่งที่มา

UPDATE:

ฉันควรจะชี้ให้เห็นว่าคำตอบด้านล่างเป็นเรื่องเกี่ยวกับกรณีพิเศษของ $k = |V|$ . เนื่องจากกรณีนี้ยากปัญหาทั่วไป $k$ ก็ยากเช่นกัน

เฟรมเวิร์กของ Holant นั้นเป็นผลรวมแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเหนือกราฟย่อยแบบสแปนนิ่ง (เช่นจุดยอดทั้งหมดมีอยู่ในกราฟย่อย ตรงกันข้ามเวอร์ชันปัจจุบันของคำถามเกี่ยวกับกราฟย่อยที่เกิดจากขอบ

คำถามรุ่นก่อนหน้านี้เกี่ยวข้องกับการนับกราฟย่อยบางอย่างโดยไม่มีจุดยอดแยก คำตอบด้านล่างตอบสนองความต้องการนี้ได้อย่างถูกต้อง เมื่อพิจารณาทั้งกราฟย่อยที่ครอบคลุม (เช่นกรอบ Holant) และไม่มีจุดยอดที่แยกได้สิ่งนี้จะเหมือนกับการพิจารณา subgraphs ที่เกิดจากขอบด้วย $|V|$ จุด OP โดยทั่วไปชี้ให้เห็นในคำถามนี้

กราฟระนาบ 3 ปกติ

ในขณะนี้ฉันจะเพิกเฉยต่อความต้องการของคุณว่ากราฟ $G$ เป็นสองฝ่าย

สมมติว่า $G$ เป็นกราฟระนาบ 3 ปกติ ปัญหาของคุณสามารถแสดงเป็นปัญหาสองส่วนระหว่างภาพถ่ายและภาพถ่ายของ Holant

Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]) .

$\text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]).$

ฉันจะอธิบายได้อย่างไร สำหรับรายละเอียดมากกว่าที่ฉันให้ไว้ด้านล่างดูกระดาษนี้

Holant เป็นผลรวมของการกำหนด (บูลีน) ให้กับขอบ บนจุดยอดเป็นข้อ จำกัด ที่อินพุตของมันคือการมอบหมายให้ขอบเหตุการณ์ของพวกเขา สำหรับการกำหนดแต่ละครั้งที่ขอบเราจะนำผลคูณของข้อ จำกัด ของจุดยอดทั้งหมด

ความต้องการของคุณที่ไม่มีจุดยอดแยกเป็นข้อ จำกัด ที่ไม่เป็นที่พอใจในจุดยอดเฉพาะถ้าไม่มีการเลือกขอบอุบัติเหตุและพอใจถ้าเลือกอย่างน้อยหนึ่งขอบ นี้สมมาตรจำกัด จะเขียนแทนด้วย [0,1,1,1] ซึ่งเอาท์พุท 0 (คือไม่พอใจ) เมื่อจำนวนของการป้อนข้อมูล 1 เป็น 0 (คือไม่มีขอบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นใน subgraph) และเอาท์พุท 1 (เช่นความพึงพอใจ) เมื่อจำนวน ของอินพุต 1 คือ 1, 2, หรือ 3 (เช่น 1, 2, หรือ 3 เหตุการณ์ขอบในกราฟย่อย)

ข้อกำหนดอื่น ๆ ของคุณคือการคำนวณจำนวนกราฟย่อยที่มีจำนวนเท่า ๆ กันลบด้วยกราฟย่อยที่มีจำนวนคี่แปลก สำหรับกราฟของเรา $G$ เราแทนที่แต่ละขอบด้วยเส้นทางที่มีความยาว 2 (ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า $G$ ) สิ่งนี้จะให้กราฟสองฝ่ายที่ผิดปกติ (2,3) สำหรับทุกจุดยอดดั้งเดิมเรากำหนดข้อ จำกัด [0,1,1,1] จากด้านบน สำหรับทุกจุดยอดใหม่เรากำหนดข้อ จำกัด [1,0, -1] เนื่องจากรายการตรงกลางของข้อ จำกัด นี้คือ 0 สิ่งนี้บังคับให้ขอบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นของจุดยอดองศา 2 เหล่านี้ไปยังทั้งสองถูกกำหนด 0 (เช่นไม่ได้อยู่ในกราฟย่อย) หรือทั้งสองได้รับมอบหมาย 1 (เช่นในกราฟย่อย) ตอนนี้สำหรับการกำหนดโดยเฉพาะกับขอบถ้าจำนวน $n$ ของขอบ "ดั้งเดิม" คือเท่ากันดังนั้นผลงานจากจุดยอดองศาทั้งหมด 2 คือ $(-1)^n = 1$ . มิฉะนั้น, $n$ แปลกและมีส่วนร่วมคือ $(-1)^n = -1$ . นี่คือสิ่งที่คุณต้องการ

ปัญหา Holip bipartite นี้เป็น # P-hard โดย Theorem 6.1 ในบทความนี้ อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทนั้นไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด ให้พิจารณาสิ่งต่อไปนี้แทน

เราทำการเปลี่ยนแปลงโฮโลแกรมโดย $T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$ ซึ่งไม่เปลี่ยนค่าของ Holant ดังนั้นปัญหาข้างต้นเป็นสิ่งเดียวกันกับ

\begin{aligned} Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]) & = Pl-Holant ([1, 0, - 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes 3} [0, 1, 1, 1]) \\ = Pl-Holant ([1, - 1, 0] | [1, 0, 0, 1]) . \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]) &= \text{Pl-Holant}([1,0,-1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes 3}[0,1,1,1])\\ &= \text{Pl-Holant}([1,-1,0]|[1,0,0,1]). \end{align*}$

แล้วมันง่ายที่จะเห็นว่าปัญหานี้คือ # P-hard โดย Theorem 1.1 ในบทความนี้

การ จำกัด กราฟสองฝ่าย

เช่นเดียวกับคำถามก่อนหน้าของคุณปัญหาเดียวกันที่ จำกัด ไว้ที่กราฟสองฝ่ายนั้นจัดการได้ยากกว่ามากและฉันเชื่อว่ามันยังคงเป็นปัญหาที่เปิดอยู่ เรามีการคาดเดาเกี่ยวกับกรณีที่เวไนยได้ (และฉันจะตรวจสอบเพื่อดูว่าปัญหาของคุณเป็นหนึ่งในนั้น) แต่ฉันคิดว่าปัญหาของคุณยังคงเป็น # P-hard แม้เมื่อถูก จำกัด ไว้ที่กราฟสองฝ่าย

— ไทสันวิลเลียมส์
แหล่งที่มา

ขอขอบคุณที่อุทิศเวลาให้กับคำถามนี้และให้คำตอบอย่างละเอียด การไม่คุ้นเคยกับกรอบการทำงานของ Holant ฉันจะต้องใช้เวลาในการแยกวิเคราะห์และทำให้การวิเคราะห์เหตุผลของคุณสมบูรณ์ (แน่นอนว่าฉันไม่สงสัยในความถูกต้องมันเป็นเพียงที่ฉันต้องการเข้าใจทุกขั้นตอนไม่ใช่แค่บทสรุป) . สำหรับสิ่งที่เกี่ยวข้องกับข้อ จำกัด ของ bipartiteness ใช่มันจะดีมากถ้าคุณสามารถตรวจสอบว่าการคาดคะเนของคุณสามารถครอบคลุมปัญหาของฉันได้หรือไม่

— Giorgio Camerani