แนวคิดของวงจรควอนตัมแบบโมโนโทน

ในความซับซ้อนของการคำนวณมีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการคำนวณเสียงเดียวกับการคำนวณทั่วไปและทฤษฎีที่โด่งดังโดย Razborov ยืนยันว่า 3-SAT และแม้กระทั่งการจับคู่นั้นไม่ได้เป็นพหุนามในแบบจำลองวงจรบูลีนเสียงเดียว

คำถามของฉันง่าย: มีอะนาล็อกควอนตัมสำหรับวงจรเสียงเดียว (หรือมากกว่าหนึ่ง)? มีทฤษฎีบทของควอนตัม Razborov หรือไม่?

คุณกำลังถามคำถามสองข้อที่แตกต่างกันจริง ๆ และหวังว่าจะมีคำตอบเดียวซึ่งตอบทั้งสองข้อ: (1)ความคิดตามธรรมชาติของวงจรควอนตัมโมโนโทนคืออะไร? (2)ผลควอนตัมสไตล์ Razborov แบบขัดแตะจะเป็นอย่างไร

มันไม่ชัดเจนว่าจะบรรลุผลทั้งสองอย่างได้อย่างไรในเวลาเดียวกันดังนั้นฉันจะอธิบายสิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นความคิดที่สมเหตุสมผลของวงจรควอนตัมโมโนโทนิค (โดยไม่ต้องระบุว่ามีผล Razborov ที่สอดคล้องกันหรือไม่) การคาดคะเนควอนตัม Razborov ที่ "เป็นธรรมชาติ" จะเป็นอย่างไร (โดยไม่ระบุว่าเป็นไปได้จริงหรือไม่)

สิ่งที่เราต้องการจากควอนตัม

ในขณะที่ฉันพูดในความคิดเห็นฉันคิดว่ามันไม่จำเป็นที่จะต้องพยายามบีบความคิดของวงจรโมโนโทนิกให้กลายเป็นรูปแบบของความเหมือนกัน ไม่ว่าจะเป็นในความจริงที่ว่าวิวัฒนาการที่มีเวลาไม่จำเป็นต้องรักษาพื้นฐานมาตรฐานหรือในความจริงที่ว่ามีหลายฐานของการวัดที่ผลลัพธ์อาจพันกันได้ผมคิดว่าไซน์ใฐานะที่ไม่ใช่การคำนวณเชิงควอนตัม พื้นฐานมาตรฐานไม่ได้เป็นเพียงพื้นฐาน แม้จะอยู่ในสถานะผลิตภัณฑ์ แต่ก็อยู่ในการใช้งานบางอย่างที่กำหนดโดยกรอบการอ้างอิงทางเลือกเท่านั้น

สิ่งที่เราต้องทำคือการพิจารณาสิ่งต่าง ๆ ในลักษณะที่จะลบพื้นฐานมาตรฐานออกจากสถานที่ที่มีสิทธิ์แบบดั้งเดิม - หรือในกรณีนี้ให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

แบบจำลองง่ายๆของวงจรควอนตัมโมโนโทน

พิจารณารูปแบบวงจรที่มีนัยในความคิดเห็นของ Tsuyoshi Ito เกี่ยวกับ "ช่องสัญญาณควอนตัมโมโนโทน" (ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องทำหากต้องการความเห็นเกี่ยวกับ "วงจร" ซึ่งไม่ได้ จำกัด เฉพาะวิวัฒนาการแบบรวม)

ให้เป็นพื้นที่ของตัวดำเนินการของ Hermitian ใน (เพื่อให้มีตัวดำเนินการความหนาแน่นทั้งหมดในหนึ่ง qubit) เราจะกำหนดประตูโมโนโทนแบบควอนตัมได้อย่างไรจากสองอินพุต qubitsไปยัง qubit เอาต์พุตในลักษณะที่ว่ามันไม่มีประสิทธิภาพแบบคลาสสิก ประตูเสียงเดียว? ฉันคิดว่ามันตรงไปตรงมาที่จะบอกว่าผลลัพธ์ไม่ควรถูก จำกัด ที่หรือหรือส่วนผสมของพวกเขา; ว่าเป็น "เสียงเดียว" เราควรกำหนดให้เป็นและ C 2 G : H a ⊗ H b → H c a , b c | 0 $\mathbf H$$\mathbb C^2$$\mathsf G: \mathbf H_a \otimes \mathbf H_b \to \mathbf H_c$$a,b$$c$| 1 $|0\rangle\!\langle 0|$⟨ 1 $|1\rangle\!\langle 1|$⟨1$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_a}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$⟨1| G(ρ a b )| 1⟩$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_b}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$เพิ่มขึ้นค่าของจะต้องไม่ลดลง สำหรับ gate-input-qubit สองทางซึ่งหมายความว่าต้องสามารถนำไปใช้งานได้ในหลักการดังนี้$\langle 1 | \mathsf G(\rho_{ab}) | 1 \rangle$$\mathsf G$

1. ทำการวัดสอง - qubit ด้วยความเคารพพื้นฐาน orthonormal , ที่ไหนขยายขอบเขตย่อยของ Hamming Weight 1 และ| μ ⟩ , | เข้าพบ$\{ |00\rangle, |\mu\rangle, |\nu\rangle, |11\rangle \}$$|\mu\rangle,|\nu\rangle$

2. การผลิตเป็นเอาท์พุทบางรัฐสอดคล้องกับผลลัพธ์ที่วัดที่ไหนสำหรับแต่ละ\}⟨ 1 | ρ 00 | 1 ⟩ ⩽ ⟨ 1 | ρ λ | 1 ⟩ ⩽ ⟨ 1 | ρ 11 | 1 ⟩ λ ∈ { μ , ν $\rho \in \{ \rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11} \}$$\langle 1 | \rho_{00} | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_\lambda | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_{11} | 1 \rangle$$\lambda \in \{ \mu, \nu \}$

วงจรเป็นเพียงองค์ประกอบของสิ่งเหล่านี้ในทางที่สมเหตุสมผล เราอาจอนุญาตให้ใช้พัดลมในรูปแบบของวงจรที่ฝังหน่วยและ ; อย่างน้อยที่สุดเราควรอนุญาตให้ใช้แผนที่เหล่านี้ที่อินพุตเพื่อให้บิตอินพุต (คลาสสิคที่มีชื่อ) แต่ละสำเนาถูกคัดลอก| 1 ⟩ ↦ | 11 ⋯ 1 $|0\rangle \mapsto |00\cdots 0\rangle$$|1\rangle \mapsto |11\cdots 1\rangle$

ดูเหมือนว่าสมเหตุสมผลที่จะพิจารณาถึงความต่อเนื่องทั้งหมดของประตูดังกล่าวหรือเพื่อ จำกัด การรวบรวมประตูดังกล่าวบางส่วน ตัวเลือกใด ๆ ที่ทำให้เกิด "ควอนตัมเกทพื้นฐาน" สำหรับวงจรที่แตกต่างกัน ใครจะคิดว่าคุณสมบัติต่าง ๆ มีฐานเสียงเดียว รัฐสามารถเลือกได้อย่างอิสระอย่างอิสระภายใต้ข้อ จำกัด ของเสียงเดียว; ไม่ต้องสงสัยเลยว่ามันจะน่าสนใจ (และอาจเป็นประโยชน์กับข้อผิดพลาดที่ถูกผูกไว้) เพื่อตั้งและแม้ว่าฉันจะไม่เห็นเหตุผลที่ต้องใช้สิ่งนี้ในทางทฤษฎี เห็นได้ชัดว่า AND และ OR เป็นประตูประเภทนี้โดยที่และ ρ 00 = | 0 $\rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11}$ρ 11 = | 1 $\rho_{00} = |0\rangle\!\langle 0|$ρ μ = ρ เข้าพบ = | 0 $\rho_{11} = |1\rangle\!\langle 1|$ρ μ = ρ เข้าพบ = | 1 $\rho_\mu = \rho_\nu = |0\rangle\!\langle 0|$| μ ⟩ | เข้าพบ$\rho_\mu = \rho_\nu = |1\rangle\!\langle 1|$ตามลำดับสิ่งที่คนเราเลือกหรือจะเป็น$|\mu\rangle$$|\nu\rangle$

สำหรับค่าคงที่kหนึ่งอาจพิจารณาฐานเกตรวมถึงk -input- หนึ่งเอาท์พุทเกต วิธีที่ง่ายที่สุดในกรณีนี้อาจจะทำให้ประตูซึ่งอาจนำมาใช้ดังกล่าวข้างต้นการอนุญาตให้มีการสลายตัวของ subspacesของแต่ละ Hamming น้ำหนัก , และต้องการ สำหรับแต่ละV w ⩽ H ⊗ k 2 0 ⩽ w ⩽ k max | ψ ⟩ ∈ V$\mathsf G: \mathbf H^{\otimes k} \to \mathbf H$$\mathcal V_w \leqslant \mathcal H_2^{\otimes k}$$0 \leqslant w \leqslant k$0 ⩽ w <

$$\max_{|\psi\rangle \in \mathcal V_w}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle \;\;\leqslant\;\; \min_{|\psi\rangle \in \mathcal V_{w+1}}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle$$ $0 \leqslant w < k$<k ยังไม่ชัดเจนว่าอำนาจการคำนวณเพิ่มเติมนี้จะให้คุณได้เท่าไหร่ (หรือแม้แต่ในกรณีคลาสสิก)

ฉันไม่รู้ว่ามีอะไรน่าสนใจที่จะพูดเกี่ยวกับวงจรดังกล่าวนอกเหนือจากกรณีคลาสสิกหรือไม่ แต่สิ่งนี้ดูเหมือนว่าฉันจะเป็นคำจำกัดความของผู้สมัครที่มีแนวโน้มมากที่สุดของ

ควอนตัมแปรปรวนของผลลัพธ์ของ Razborov

พิจารณาคำอธิบายโดย Tim Gowersของผลลัพธ์ของAlon & Boppana (1987), Combinatorica 7 pp. 1-22ซึ่งเสริมสร้างผลลัพธ์ของ Razborov (และทำให้เทคนิคบางอย่างชัดเจน) สำหรับความซับซ้อนของเสียงเดียวของ CLIQUE ของขวัญนี้ในแง่ของการสร้างแบบวนซ้ำ Gowers ครอบครัวชุดจ้องมองจาก "ครึ่ง - ช่องว่าง"ของก้อนบูลสำหรับแต่ละn หากเราลบตำแหน่งที่เป็นส่วนตัวของมาตรฐานพื้นฐานในชุดฐานในการเปรียบเทียบกับQuantum Lovász Local Lemmaเราอาจพิจารณาพื้นที่ย่อยของ 1 ⩽ j ⩽ n H ⊗ n 2 n A j ⩽ H ⊗ n 2 A j = U j E

$$E_j = \Bigl\{ \mathbf x \in \{0,1\}^n \;:\; x_j = 1 \Bigr\}$$ $1 \leqslant j \leqslant n$$\mathcal H_2^{\otimes n}$เพื่อให้สอดคล้องกับข้อเสนอแบบไบนารี (ไม่ว่ารัฐจะเป็นของพื้นที่ย่อยหรือเป็นมุมฉากแทน) ซึ่งอาจเกิดขึ้นจากการวัด ตัวอย่างเช่นเราอาจพิจารณา subspacesโดย เราอนุญาตให้analogues เชิงปริมาณควอนตัมของการเชื่อมและการแยกของ subspaces: $n$$\mathcal A_j \leqslant \mathcal H_2^{\otimes n}$A ∧ B = A ∩ B ; A ∨ B = A + B = { a + $$\begin{align*} \mathcal A_j = U_j \mathcal E_j \;, & \text{ for each $1 \leqslant j \leqslant n$} \\ \text{where } &\mathcal E_j := \Bigl\{ | \mathbf x \rangle \;:\; \mathbf x \in E_j \Bigr\} ; \\ &U_j : \mathcal H_2^{\otimes n} \to \mathcal H_2^{\otimes n} \text{ a unitary of bounded complexity}. \end{align*}$$ CΠCCΠK(R)R‖ΠC-ΠK(R)‖∞ $$\begin{gather*} \mathcal A \wedge \mathcal B = \mathcal A \cap \mathcal B ; \\ \mathcal A \vee \mathcal B = \mathcal A + \mathcal B = \Bigl\{ \mathbf a + \mathbf b \,:\, \mathbf a \in \mathcal A\;,\; \mathbf b \in \mathcal B \Bigr\} . \end{gather*}$$ จากนั้นเราจะถามว่าการสร้างสันธานและการแยกช่องว่างแบบวนซ้ำเพื่อให้ได้พื้นที่เช่นนั้นโปรเจคเตอร์ไปยังแตกต่างจากโปรเจ็กเตอร์เพียงเล็กน้อยไปยังพื้นที่ที่ถูกทอดโดยฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของกราฟที่มีขนาด ; เช่นดังนั้น$C$$\Pi_C$$C$$\Pi_{K(r)}$$r$$\| \Pi_C - \Pi_{K(r)} \|_\infty <\; 1/\mathrm{poly}(n)$. ส่วนโมโนโทนิเกี่ยวข้องในการดำเนินการเชิงตรรกะเชิงควอนตัมและข้อเสนอดั้งเดิมเกี่ยวกับอินพุตนั้นก็คือควอนตัมเช่นกัน

ในกรณีทั่วไปมีปัญหากับการปฏิบัติเช่นนี้เป็นปัญหาการคำนวณ: การแยกไม่สอดคล้องกับความรู้ใด ๆ ที่จะได้รับด้วยความมั่นใจโดยการวัดจำนวนสำเนาจำนวน จำกัด โดยใช้การวัดกล่องดำและเพียงอย่างเดียวเว้นแต่ว่าพวกเขาจะเป็นภาพของโปรเจ็คเตอร์ที่ต้องเดินทาง ปัญหาทั่วไปนี้ยังสามารถได้รับการปฏิบัติในฐานะที่เป็นผลลัพธ์ที่น่าสนใจเกี่ยวกับความซับซ้อนเชิงเรขาคณิตและอาจก่อให้เกิดผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับชาวท้องถิ่นในท้องถิ่น อย่างไรก็ตามมันอาจดูเป็นธรรมชาติมากกว่าที่จะต้องใช้ subspacesB A j U $\mathcal A$$\mathcal B$$\mathcal A_j$เกิดขึ้นจากการเปลี่ยนโปรเจ็คเตอร์ซึ่งในกรณีนี้การแยกเป็นเพียงคลาสสิกหรือผลการวัดของโปรเจ็คเตอร์เหล่านั้น จากนั้นเราอาจต้องการให้หน่วยย่อยเหมือนกันทั้งหมดและสิ่งนี้กลายเป็นปัญหาเกี่ยวกับวงจรรวม (ซึ่งก่อให้เกิด "เหตุการณ์ดั้งเดิม") ด้วยการโพสต์การประมวลผลแบบโมโนโทนเดียว (ซึ่งดำเนินการเชิงตรรกะกับเหตุการณ์เหล่านั้น)$U_j$

ยังทราบว่าถ้าเราไม่ได้กำหนดข้อ จำกัด ใด ๆ เพิ่มเติมในพื้นที่มันอาจจะเป็นสเปซที่มีการทับซ้อนกันสูงมากกับบางพื้นที่ทอดพื้นฐานมาตรฐานฯ , ซึ่งเป็นผู้สตริงไบนารีที่0E ⊥ k x ∈ ˉ E k x k =$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\mathbf x \in \bar E_k$$x_k = 0$

• หากความเป็นไปได้นี้ทำให้คุณคลื่นไส้คุณสามารถกำหนดให้มีมุมแยกออกจากอย่างน้อย (เพื่อให้ subspaces ดั้งเดิมของเรานั้นแย่ที่สุดโดยประมาณที่ไม่เอนเอียงจาก subspaces ที่บิตใดบิตหนึ่งถูกตั้งค่าเป็น 1)E ⊥ k$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\frac{\pi}{2} - 1/\mathrm{poly}(n)$

• ถ้าเราไม่กำหนดข้อ จำกัด เช่นนั้นดูเหมือนว่าการยอมรับว่าพื้นที่ย่อยที่ทับซ้อนกันสูงกับจะเป็นอุปสรรคต่อการประมาณ CLIQUE (r) ต่อไป; ไม่ว่าเราจะถูก จำกัด มากขึ้นหรือน้อยลงในการพิจารณาว่าไม่มีขอบที่แน่นอน (แทนที่จะมีอยู่แล้ว) หรือเราจะถูกบังคับให้เพิกเฉยต่อขอบใดขอบหนึ่งโดยสิ้นเชิง ดังนั้นฉันไม่เห็นว่ามันเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะกำหนดข้อ จำกัด ใด ๆ ในยกเว้นอาจเป็นไปได้ว่าพวกเขาทั้งหมดเป็นภาพของชุดโปรเจ็คเตอร์ที่ต้องเปลี่ยนไปถ้าเป้าหมายของเราคือการพิจารณาว่า " ที่แย่ที่สุดก็คือจำนวนที่คลาสสิกเพื่ออนุญาตให้ไม่ประตูที่อินพุท (และการมีพัดลมทั้งหมดเกิดขึ้นหลังจากการปฏิเสธ) A$\mathcal E_k^\bot$$\mathcal A_j$

อีกครั้งฉันยังไม่ชัดเจนว่าจะแทนที่ชุดฐานด้วย subspaces ตามอำเภอใจของก่อให้เกิดปัญหาที่น่าสนใจมากกว่าการใช้ subspaces ; แม้ว่าเราจะ จำกัด ตัวเองในกรณีของสูตร CNF (ไม่ว่าจะเป็นการเดินทางหรือไม่ใช่การเดินทาง) ผลที่เราได้รับจะสอดคล้องกับความคิดของความซับซ้อนของมิลโตเนียนที่ไม่หงุดหงิด รัฐที่เป็นตัวแทนของเก่า E$\mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal E_j$

จากความคิดเห็นของ Robin และ Tsuyoshi ความคิดของวงจรโมโนโทนนั้นดูเหมือนจะสามารถขยายไปสู่วงจรควอนตัมได้อย่างง่ายดาย

เพื่อที่จะให้คำจำกัดความที่มีความหมายของวงจรควอนตัมโมโนโทนเราจำเป็นต้องเลือกคำสั่งเกี่ยวกับสถานะควอนตัมด้วยความเคารพซึ่งมีการกำหนดโมโนโทนิค คลาสสิกเป็นตัวเลือกที่เหมาะสม (และหนึ่งซึ่งนำไปสู่ความคิดปกติของวงจรต่อเนื่อง) เป็นน้ำหนัก Hamming แต่ขอพิจารณาการสั่งซื้อที่ได้รับจากการทำงานโดยพลฉ$f$

เนื่องจากวิวัฒนาการของระบบควอนตัมแบบปิดนั้นเป็นการรวมตัวกัน (ซึ่งเราสามารถสันนิษฐานได้โดย ) จากนั้นสำหรับทุก ๆ สถานะซึ่งมีอยู่เป็นทางเลือกของรัฐดังที่แต่ที่และด้วยเหตุนี้การวิวัฒนาการจึงไม่ได้เป็นแบบโมโนโทนิก| ψ ⟩ ฉ( U | ψ ⟩ ) > F ( | ψ ⟩ ) | ไว⟩ F ( |ไว⟩ ) > F ( | ψ ⟩ ) ฉ( U | ψ ⟩ ) > F ( U |ไว⟩ ) $U$$|\psi\rangle$$f(U|\psi\rangle)>f(|\psi\rangle)$$|\phi\rangle$$f(|\phi\rangle) > f(|\psi\rangle)$$f(U|\psi\rangle)>f(U|\phi\rangle)$$U$

ดังนั้นวงจรเท่านั้นที่มีต่อเนื่องเกี่ยวกับการเป็นผู้ที่ทั้งหมด|ดังนั้นชุดใด ๆ ซึ่งเป็นประตูต่อเนื่องเกี่ยวกับการประกอบด้วยประตูซึ่งเดินทางกับฉ$f$$f(U|\psi\rangle)=f(|\psi\rangle)$$|\psi\rangle$$f$$f$

เห็นได้ชัดว่าชุดของประตูที่สามารถตอบสนองนี้ขึ้นอยู่กับความหมายของฉถ้าเป็นค่าคงที่ดังนั้นชุดของประตูทั้งหมดจะเป็นแบบโมโนโทนิกด้วยความเคารพ อย่างไรก็ตามถ้าเราเลือกเป็นน้ำหนักของรัฐหมิงแฮมในพื้นฐานการคำนวณ (ส่วนขยายค่อนข้างเป็นธรรมชาติของใช้ในกรณีคลาสสิก) เราได้รับโครงสร้างที่น่าสนใจ ข้อ จำกัด ที่กำหนดนั้นทำให้น้ำหนักของ Hamming ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง การดำเนินการที่รักษาจำนวนเงินนี้ไว้สำหรับการดำเนินการแนวทแยงหรือ SWAP บางส่วนหรือการรวมกันของสิ่งเหล่านี้ โครงสร้างนี้ปรากฏขึ้นบ่อยครั้งในวิชาฟิสิกส์ (ในรูปแบบที่มีผลผูกพัน ฯลฯ ) และคล้ายกับปัญหาการกระจัดกระจายของ Boson ที่ศึกษาโดยAaronson และ Arkhipov$f$$f$$f$$f$แม้ว่าจะไม่เหมือนกัน (เป็นปัญหาการกระเจิงที่แตกต่างกันเล็กน้อย) นอกจากนี้ยังมีวงจรสำหรับIQPและด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพในแบบคลาสสิก

คุณถามคำถามสองข้อโดยทั่วไปเกี่ยวกับความยากที่แตกต่างกันอย่างกว้างขวางที่ขอบเขตของสองเขตข้อมูลขนาดใหญ่เช่นวงจรบูลีนและการคำนวณ QM เกี่ยวกับความเป็นไปได้ของสิ่งที่บางครั้งเรียกว่า "ทฤษฎีบทสะพาน" ในคณิตศาสตร์:

• อะนาล็อกควอนตัมของวงจรเสียงเดียว

• ควอนตัมอะนาล็อกของ Razborovs thm

คำตอบที่ตรงไปตรงมาสั้น ๆ คือไม่มีหรือไม่เพื่อให้ห่างไกล

สำหรับ (1) ไม่ใช่คำถามที่ยาก แต่เห็นได้ชัดว่ายังไม่ค่อยมีการพิจารณาทำให้เกิดการอ้างอิงต่อไปนี้ซึ่งอาจนำมาเป็นกรณีที่เกี่ยวข้องในวรรณคดี

ความแข็งของการประมาณสำหรับปัญหาควอนตัมโดย Gharibian และ Kempe

พวกเขาพิจารณาปัญหา "เสียงเดียว" ในบริบทควอนตัมเช่น QMSA, "การกำหนดความพึงพอใจขั้นต่ำของควอนตัมแบบควอนตัม, QMSA" คือ SAT QM แบบอะนาล็อก; (รวมถึงปัญหาอื่น Quantum Monotone Weight Weight Word, QMW) และแสดงผลความแข็งค่าประมาณเช่นขอบเขตที่ต่ำกว่า พวกเขาไม่พิจารณาวงจรควอนตัมแบบโมโนโทนต่อความคิด แต่ความคิดอาจเป็นได้ว่าวงจรควอนตัมหรืออัลกอริทึมที่แก้ฟังก์ชันแบบโมโนโทนQMSA สามารถนำมาเป็นแบบอะนาล็อก QM

สำหรับ (2) มันจะเป็นผลลัพธ์ขั้นสูงมากถ้ามันมีอยู่ซึ่งมันดูเหมือนจะไม่ "จนถึง" thm ของ Razborov นั้นเป็นผลงานประเภท "คอขวด" ที่มีขอบเขตต่ำกว่าซึ่งถือว่าเป็นความก้าวหน้าที่แตกต่างและผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงที่สุดในทฤษฎีวงจร (เสียงเดียว)

แน่นอนว่าใช่แล้วมีคอขวดที่มีขอบเขตล่างที่พบในการคำนวณ QM เช่นที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทผลิตภัณฑ์โดยตรงสำหรับการสำรวจดูเช่น

อัลกอริธึมเชิงควอนตัมขอบเขตที่ต่ำกว่าและการแลกเปลี่ยนด้านเวลาโดย Spalek

แม้กระนั้นเนื้อหาที่ดีกว่าการคำนวณ QM ขอบเขตล่างจะทำให้ขอบเขตล่างของการดำเนินงาน qubitหรืออาจจะเป็นไปตาม "ประตู" เต็มรูปแบบเช่นประตู Toffoli สำหรับฟังก์ชั่นเสียงเดียว ฉันไม่ได้ตระหนักถึงการพิสูจน์ประเภทนี้

อีกวิธีหนึ่งอาจ จำกัด การวิเคราะห์ให้กับควอนตัม AND และ OR พิเศษด้วยบิตพิเศษ "ancilla" ที่เพิ่มเข้ามาเพื่อทำให้ประตูกลับคืนได้