ข้อผิดพลาดด้านเดียวในระบบพิสูจน์ความน่าจะเป็น

ในระบบพิสูจน์ความน่าจะเป็นส่วนใหญ่ (ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบท PCP) ข้อผิดพลาด - ความน่าจะเป็นมักจะถูกกำหนดไว้ที่ด้านข้างของผลบวก - เท็จกล่าวคือคำจำกัดความทั่วไปอาจดูเหมือน: ถ้าแล้วผู้ตรวจสอบยอมรับเสมอ กรณีอื่นความน่าจะเป็นที่จะถูกปฏิเสธอย่างน้อย 1/2$x \in L$

มีปัญหาในการอนุญาตให้ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในอีกด้านหนึ่งหรือไม่ ซึ่งหมายความว่าผู้ตรวจสอบปฏิเสธเสมอเมื่อควรและไม่เกินข้อผิดพลาดคงที่เมื่อต้องยอมรับ ความเป็นไปได้ที่ชัดเจนอีกประการหนึ่งคือการอนุญาตให้เกิดข้อผิดพลาดทั้งสอง คำจำกัดความเหล่านี้จะเทียบเท่ากับที่ได้รับตามปกติหรือไม่ หรือพวกเขาประพฤติแตกต่างกันอย่างไร หรือสำหรับเรื่องนั้นมีปัญหาของแท้ในการอนุญาตข้อผิดพลาดในด้านอื่น ๆ

การอนุญาตให้ข้อผิดพลาดครบถ้วนไม่มีปัญหาและมักถูกพิจารณา ที่นี่ชี้บางคน

ในทางกลับกันการพูดโดยทั่วไปการไม่อนุญาตให้มีข้อผิดพลาดด้านเสียงทำให้พลังของแบบจำลองลดลงอย่างมาก

ในกรณีของระบบพิสูจน์แบบโต้ตอบการไม่อนุญาตให้เกิดข้อผิดพลาดด้านเสียงทำให้การโต้ตอบไม่มีประโยชน์ยกเว้นการสื่อสารทางเดียวจากผู้ตรวจสอบไปยังผู้ตรวจสอบ นั่นคือ IP ที่มีความสมบูรณ์แบบเท่ากับ NP สิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้โดยพิจารณาจากเครื่อง NP ที่คาดเดาบิตสุ่มของตัวตรวจสอบและการถอดเสียงของการโต้ตอบซึ่งทำให้ผู้ตรวจสอบยอมรับ [FGMSZ89]

ในกรณีของระบบตรวจสอบความน่าจะเป็นที่พิสูจน์ได้ (PCP) การใช้เหตุผลแบบเดียวกันแสดงให้เห็นว่าการใช้ความสมบูรณ์แบบนั้นทำให้การสุ่มไม่มีประโยชน์ในการเลือกสถานที่ที่จะสืบค้น ยิ่งไปกว่านั้นมันสามารถแสดงให้เห็นว่า PCP ( r ( n ), q ( n ) ด้วยความครบถ้วนสมบูรณ์c ( n ) และความสมบูรณ์แบบ (แม้จะมีการค้นหาแบบปรับตัว) เท่ากับระดับCของปัญหาการตัดสินใจA = ( A _ใช่ , _{ไม่มี} ) ที่มีอยู่ภาษาB ⊆ {0,1} * × {0,1} * × {0,1} * ใน P ดังกล่าวว่า

• ถ้าx ∈ A _ใช่แล้ว Pr _{y ∈ {0,1} ^{r ( n )}} [∃ z ∈ {0,1} ^{q ( n )}เช่นนั้น ( x , y , z ) ∈ B ] ≥ c ( n ), และ
• ถ้าx ∈ A _ไม่ดังนั้น∀ y ∈ {0,1} ^{r ( n )} ∀ z ∈ {0,1} ^{q ( n )} , ( x , y , z ) ∉ B ,

โดยที่n = | x | (โปรดทราบว่าในคำจำกัดความของคลาสCกรณีใช่ไม่จำเป็นต้องเตรียมใบรับรองทั้งหมดก่อนที่ผู้ตรวจจะเลือกสตริงสุ่มyซึ่งแตกต่างจากคำนิยามปกติของระบบ PCP ใบรับรองสามารถเตรียมได้หลังจากรู้yและ ต้องการเฉพาะส่วนที่มีการสอบถามของใบรับรองซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมความยาวของzคือq ( n )) เมื่อรวมกับขอบเขตล่างที่ตรงไปตรงมาสิ่งนี้แสดงถึงสิ่งต่อไปนี้:

• PCP (บันทึก, บันทึก) พร้อมความสมบูรณ์แบบ = P
• PCP (โพลี log) ที่มีความแข็งแรงสมบูรณ์ = RP
• PCP (โพลี, โพลี) ที่มีความสมบูรณ์แบบ = NP

เมื่อเปรียบเทียบกับทฤษฎี PCP ทฤษฎีบท PCP (log, O (1)) = NP และ PCP (โพลี, O (1)) = NEXP เราจะเห็นได้ว่าต้องการความสมบูรณ์แบบของเสียงมีผลกระทบอย่างมาก

[FGMSZ89] Martin Fürer, Oded Goldreich, Yishay Mansour, Michael Sipser และ Stathis Zachos เกี่ยวกับความสมบูรณ์และความสมบูรณ์ในระบบพิสูจน์แบบโต้ตอบ ในการสุ่มและการคำนวณฉบับที่ 5 ความก้าวหน้าในการวิจัยคอมพิวเตอร์หน้า 429–442, 1989 http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/PS/fgmsz.ps