เมทริกซ์ที่คล้ายกัน

ให้เมทริกซ์n × สองตัวกับAและBปัญหาในการตัดสินใจว่ามีเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงP อยู่หรือไม่นั่นคือB = P - 1 A Pเทียบเท่ากับ(กราฟ Isomorphism) แต่ถ้าเราผ่อนคลายPให้เป็นเมทริกซ์กลับด้านแล้วความซับซ้อนคืออะไร? มีข้อ จำกัด อื่น ๆ เกี่ยวกับเมทริกซ์P invertible นอกเหนือจากการเปลี่ยนแปลงซึ่งเกี่ยวข้องกับปัญหานี้หรือปัญหาที่ยากอื่น ๆ ?$n \times n$$A$$B$$P$$B = P^{-1}AP$GI$P$$P$GI

เมทริกซ์และBซึ่งเป็นธาตุในเขตFมีความคล้ายคลึงกัน (ในF ) และถ้าหากพวกเขามีเหมือนกันแบบปกติ Frobenius ตามการค้นหาอย่างรวดเร็วมันก็ดูเหมือนว่ารูปแบบปกติ Frobenius ของn × nเมทริกซ์สามารถคำนวณได้กับ O ( n ³ ) การดำเนินงานด้าน [Sto98] และที่นี้สามารถปรับปรุงเพื่อสิ่งที่เปรียบได้กับความซับซ้อนของการคูณเมทริกซ์ [ Sto01]

[Sto98] Arne Storjohann อัลกอริทึมO ( n ³ ) สำหรับรูปแบบปกติของ Frobenius ในการประชุมวิชาการระหว่างประเทศปี 2541 เรื่องการคำนวณเชิงสัญลักษณ์และพีชคณิต (ISSAC) , หน้า 101–105, สิงหาคม 2541. DOI: 10.1145 / 281508.281570 .

[Sto01] Arne Storjohann การคำนวณแบบฟอร์มกำหนด Frobenius ในการประชุมวิชาการ IEEE ครั้งที่ 42 เรื่องรากฐานของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ (FOCS) , หน้า 368–377, ตุลาคม 2001. DOI: 10.1109 / SFCS.2001.959911 .

มีข้อ จำกัด อื่น ๆ เกี่ยวกับที่เกี่ยวข้องกับปัญหานี้กับ GI ตัวอย่างเช่นหากต้องการให้Pเป็นผลิตภัณฑ์ Kronecker (เทนเซอร์) P 1 ⊗ P 2 ⊗ P 3ปัญหาที่เกิดขึ้นนั้นจะยากเท่ากับการเทียบเคียงของเมตริกซ์3-valent ซึ่งมีความซับซ้อนเช่นเดียวกับ Linear Code Equivalence ซึ่งจะเรียกว่า GI-hard (แต่ไม่รู้ว่าเทียบเท่ากับ GI)$P$$P$$P_1 \otimes P_2 \otimes P_3$

อีกมุมมองหนึ่งสำหรับคำถามของคุณซึ่งอาจทำให้เข้าใจถึงสถานการณ์ทั่วไปมีดังนี้ สำหรับการดำเนินการใด ๆ ของกลุ่มในชุดX n (สำหรับแต่ละn ) หนึ่งสามารถถามเกี่ยวกับความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าสองจุดที่กำหนดx , y ที่∈ X nอยู่ในเดียวกันG n -orbit; เรียกสิ่งนี้ว่าปัญหาวงโคจรสำหรับการกระทำนั้น (ตระกูลของ) คำถามของคุณเป็นหลักเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหาวงโคจรที่สามารถใช้ถ้อยคำได้ดังนี้: กำหนดการกระทำเชิงเส้นของกลุ่มG nบนพื้นที่เวกเตอร์V $G_n$$X_n$$n$$x,y \in X_n$$G_n$$G_n$$V_n$พิจารณาปัญหาวงโคจรของเหนี่ยวนำให้เกิดการกระทำของ (โดยการผัน) บนX n = V n ⊗ ( V n ) *$G_n$$X_n = V_n \otimes (V_n)^*$

$G_n = S_n$$V_n = \mathbb{R}^n$$G_n = \text{GL}_n(\mathbb{F})$$V_n = \mathbb{F}^n$$G_n = \text{GL}_a \times \text{GL}_b \times \text{GL}_c$$V_n = \mathbb{F}^{a} \otimes \mathbb{F}^b \otimes \mathbb{F}^c$