ปัญหาชุดคำติชมจุดสุดยอดสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามสำหรับกราฟที่มีขอบเขตแบบ 3 องศาหรือไม่?

19

ข้อเสนอแนะ Vertex Set เป็น NP-complete สำหรับกราฟทั่วไป เป็นที่ทราบกันว่า NP-complete สำหรับกราฟที่มีขอบเขต -8 องศาเนื่องจากการลดลงจากการครอบจุดสุดยอด บทความวิกิพีเดียบอกว่ามันเป็นโพลีเวลาแก้ปัญหาสำหรับปริญญา-3 กราฟล้อมรอบและมี NP-ที่สมบูรณ์แบบสำหรับการศึกษาระดับปริญญา-4 กราฟล้อมรอบ แต่ฉันไม่สามารถหาข้อพิสูจน์ใด ๆ สำหรับเรื่องนี้ได้ทุกที่ จริงป้ะ?

อะไรคือค่าต่ำสุด d เช่นนั้นที่ FVS ในกราฟที่มีขอบเขตเป็นองศาสมบูรณ์ NP คืออะไร?

— เดวิส Issac
แหล่งที่มา

1

มีใครรู้บ้างไหมว่าปัญหาที่เกิดขึ้นกับกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางแบบปกติระดับ 4?

10

อัลกอริทึมของ Li and Liu ไม่ถูกต้อง (เผยแพร่ในประเทศจีนแม้ว่าจะเป็นภาษาอังกฤษ) อัลกอริทึมของอุเอโนะและคณะนั้นถูกต้องและอัลกอริทึมที่คล้ายกันสามารถพบได้ใน Furst และคณะ 1 . อัลกอริธึมทั้งสองลดปัญหาให้กับปัญหาความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์พหุนาม - แก้ไขได้ [3]

การลดลงของ VC ช่วยให้มั่นใจว่าความแข็งของ NP สำหรับกราฟที่มีขอบเขต -6 ในฐานะที่เป็น VC แล้ว NP-hard บนลูกบาศก์กราฟ Speckenmeyer ได้อ้างว่าวิทยานิพนธ์ของเขา [4] มีหลักฐานการแข็งตัวของ FVS ในกราฟระนาบที่มีระดับสูงสุดสี่ แต่มันยากที่จะหา (ฉันจะซาบซึ้งมากถ้าใครมีสิทธิ์เข้าถึงวิทยานิพนธ์ของเขา ) โชคดีที่หลักฐานใหม่ของความแข็ง NP ของกราฟที่มีขอบเขตสี่องศาสามารถพบได้ใน2 :

ข้อสังเกตในวันที่2 : - ในความเป็นจริงเขาพิสูจน์แล้วว่าปัญหาคือ APX-hard แต่มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าการลดลงของเขายังใช้ได้สำหรับการพิสูจน์ปัญหาความแข็งของปัญหา - การลดลงไม่สามารถใช้กับกราฟภาพถ่าย

Merrick L. Furst, Jonathan L. Gross, และ Lyle A. McGeoch, "การค้นหากราฟประเภทสูงสุดฝัง," วารสารของ ACM, vol. 35, ไม่ 3, pp. 523–534, 1988. 10.1145 / 44483.44485
Rizzi, R .: ฐานวัฏจักรพื้นฐานที่หายาก อัลกอริทึม 53 (3), 402-424 (2009) 10.1007 / s00453-007-9112-8
LászlóLovász,“ ปัญหาการจับคู่ matroid,” ในวิธีพีชคณิตในทฤษฎีกราฟ, ser. Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, vol. 25, เซเกด, ฮังการี, 1980, pp. 495–517
Ewald Speckenmeyer,“ Untersuchungen zum feedback vertex ตั้งปัญหาใน ungerichteten graphen,” วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก, Universität-GH Paderborn, Reihe Informatik, Bericht, 1983

— Yixin Cao
แหล่งที่มา

9

มีเหตุผลง่ายๆหรือไม่ว่าทำไม "ไม่ถูกต้องชัดเจน"?

— Suresh Venkat

2

@SureshVenkat ขออภัยที่ตอบช้า: ฉันเพิ่งสังเกตเห็นคำถามนี้ ข้อผิดพลาดที่สำคัญอยู่ในทฤษฎีบท 4.2 ซึ่งเป็นทฤษฎีบทหลักของบทความนี้ มันอ้างว่าได้รับการจับคู่ถ้อยคำและคู่ของขอบในถ้อยคำที่ใหญ่กว่าการจับคู่แต่ไม่ได้อยู่ในพวกเขาสามารถขยายโดยการเพิ่มเพื่อMนี่เป็นสิ่งที่ผิดอย่างชัดเจนเนื่องจากคำจำกัดความของการจับคู่คำคุณศัพท์ต้องการการลบขอบทั้งหมดของการจับคู่คำวิเศษณ์ไม่ได้ตัดการเชื่อมต่อกราฟ

M

$M$

{e_{1}, e_{2}}

$\{e_1,e_2\}$

M^{'}

$M'$

M

$M$

M

$M$

{e_{1}, e_{2}}

$\{e_1,e_2\}$

M

$M$

— Yixin Cao

อย่างต่อเนื่อง ... หนึ่งสามารถได้รับการจับคู่ที่มีเพียงหนึ่งคู่ซึ่งตรงกับที่จุดสุดยอดและการจับคู่อื่นของสองคู่หนึ่งซึ่งใช้เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที่ขอบอื่น ๆ เพื่อโวลต์คู่นี้ไม่สามารถนำมาใช้เพื่อเพิ่มMยิ่งกว่านั้นเล็มม่า 4.1 ยังมีข้อผิดพลาดที่สำคัญเช่นกัน แต่ฉันจำรายละเอียดไม่ได้ในการรบครั้งนี้ (ฉันตรวจพบพวกเขาในปี 2009 ก่อนหน้านี้และฉันพยายามติดต่อผู้เขียนทันที แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่เคยได้รับคำตอบใด ๆ เลย)

M

$M$

v

$v$

M^{'}

$M'$

v

$v$

M

$M$

— Yixin Cao

9

การอ้างอิงที่เกี่ยวข้องปรากฏว่าเป็น:

อุเอโนะชูอิจิ; Kajitani, Yoji; Gotoh, Shin'ya ในปัญหาชุดแยกอิสระและปัญหาชุดข้อเสนอแนะสำหรับกราฟที่มีระดับสูงสุดไม่เกินสาม การประชุมทางวิชาการครั้งแรกของญี่ปุ่นเรื่องทฤษฎีกราฟและการใช้งาน (Hakone, 1986) คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง 72 (1988), ฉบับที่ 1-3, 355-360

หลี่เดมิง; หลิวหยานเป่ย อัลกอริธึมเชิงพหุนามสำหรับการค้นหาจุดสุดยอดข้อเสนอแนะขั้นต่ำของกราฟอย่างง่าย 3 ปกติ คณิตศาสตร์ Acta วิทย์ 19 (1999) หมายเลข 4, 375–381

(คำเตือน: ฉันยังไม่ได้อ่านอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่พวกเขาทั้งสองอ้างว่าจะแก้ปัญหาในเวลาพหุนามฉันไม่คิดว่าความแตกต่างระหว่าง 3-regular และ Max degree สามเป็นสิ่งสำคัญสำหรับปัญหานี้)

— David Eppstein
แหล่งที่มา